![](/img/CyberPedia.jpg)
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
![]() |
![]() |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
точка а Сz называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) аналитическая и однозначная (регулярная) в кольце {z:0<|z–a|< }, а в самой точке ане определена.
Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции f (z), если f (z) регулярна в некоторой окрестности {R<|z|< } точки z=
и функция
имеет в точке =0 изолированную особую точку однозначного характера.
В зависимости от поведения функции f (z) вблизи точки а различают следующие три типа особых точек.
Изолированная особая точка а функции f (z) называется
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
б) полюсом, если
в) существенно особой точкой, если
не существует.
Заметим, что типы особых точек z= функции f (z) и =0 функции совпадают, ибо
Пусть функция f (z) регулярна в точке а (и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки). Число т, т 1, называется кратностью (или порядком) нуля функции f (z) в точке а, если выполнены условия
f (a)=f (a)=…=f (m-1)(a)=0,
f (m)(a) 0.
При т=1 точка а называется простым нулем функции f (z), при m>1-кратным.
Порядком (или кратностью) полюса функции g(z) в точке а называется кратность нуля в точке а регулярной функции
Если а – простой нуль f (z), то точка а называется простым полюсом функции g(z).
Замечание.
Вообще, если
, где P(z) и Q(z) – полиномы, не имеющие общих корней, то корни полинома Q(z) (и только они) являются полюсами функции f (z).
Порядок полюса f (z) совпадает с кратностью соответствующих корней полинома Q(z).
Точка z= называется нулем кратности m
1 для функции f (z), регулярной в этой точке, если функция
имеет нуль кратности т в точке =0.
|
Если z=а – изолированная особая точка однозначного характера для функции f (z), то f (z) регулярна в некотором кольце {z: 0<|z-a|<r} и ее можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в этом кольце,
.
Тип изолированной особой точки однозначного характера определяется видом лорановского разложения функции в проколотой окрестности этой точки.
1. Для того чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки а не содержало главной части.
2. Для того чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержала лишь конечное число членов (причем полюсом порядка т 1, если главная часть имеет вид
, где ст
0.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой, когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.
Разложение функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана имеет вид
Здесь роль главной части играют члены с положительными степенями z, а члены с отрицательными степенями образуют правильную часть.
Опираясь на приведенные критерии типа особой точки и определение вычета в точке z= , рекомендуем читателю сформулировать соответствующие утверждения для точки z=
.
60.Вычеты и их приложения
Вычетом функции в изолированной точке
называется интеграл
![]() | (66) |
где - замкнутый контур, содержащий одну особую точку
. Эквивалентное определение вычета можно получить, сравнивая (66) с выражением для коэффициентов ряда Лорана (61), тогда вычетом функции
называется значение коэффициента
ряда Лорана в окрестности точки
:
![]() | (67) |
Из определений вычета следует, что если - правильная точка функции
, то
. Если точка
является полюсом, то удобно рассмотреть отдельные случаи:
-полюс первого порядка:
|
![]() | (68) |
так как в случае полюса первого порядка функция может быть представлена в виде , причем
- ноль первого порядка функции
, то
![]() | (69) |
-полюс порядка :
![]() | (70) |
Вычетом функции в точке
называется интеграл
![]() | (71) |
причем во внешней части контура функция
не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от
. Эквивалентно, с помощью коэффициентов ряда Лорана в окрестности бесконечности,
.
![]() | (72) |
На основе этих определений можно показать, что имеет место следующая теорема:если функция является аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых точек (включая бесконечную)
, тогда
![]() | (73) |
Вычисление вычетов
Вычеты и их применение
- вычет функции f(z) относительно изолированной особой точки z0:
(в круге нет других особых точек).
Если то
Вычисление вычетов
1. z0 - устранимая особая точка:
2. z0 - полюс:
а) z0 - простой полюс:
В частности, если то
б) z0 - полюс порядка m:
(формула также верна, если z0 - полюс порядка не выше m).
3. z0 - существенно особая точка. Вычет находится по разложению в ряд Лорана.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!