Теорема Кронекера - Капелле. Решение произвольных линейных систем.

Теорема Кронекера-Капелли: система линалгур-ий совместна, когда rangA=rang (волнистая). Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совместсист< числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений.

Правило решения СУ.

1)найти ранг основной и расширенной матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна.

2) если rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r.

3)Берём rур-ий из коэфкоторых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа.

4)Найти выражения главныхнеизв через свободные. Получено общее решение системы

5)Придавая свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главннеизв, т.е. найдём частные решения.

 

14. Система однородных линейных уравнений.

АХ=В – система и параллельно рассмотрим систему АХ=0. (АХ=В – Неоднородн. СЛАУ, АХ=0 – однородн. СДАУ).

Одновременно выполняется:

1. АХ=0 имеет тольок тривиальное решение, АХ=В имеет единственное решение или не имеет решений совсем.

2. АХ=0 имеет нетривиальное решение, АХ=В имеет бесконечное число решений.

Рассмотрим подробнее 2-ой случай: r(A) = r(A с волной сверху)<m..

M – r(A) – дефект, количество свободных неизвестных.

Пример: ,

б.м: х₁, х₂

св.м: х₃, х₄.

х₂ + х₃ +2х₄ = 1., х₂ = 1 – а – 2b, х₃ = а, х₄ = b.

х₁ = -2х₂ – х₃ + х₄ + 1 = -2 + 2а +4b – а + b+1 = -1 + а + 5b.

Ответ: (-1 + а + 5b., 1 – а – 2b, а, b)^Т.

15. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений

1. Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и подставляем его в остальные уравнения.

2. Получаем новую систему, в которой число уравнений и неизвестных на 1 меньше.

3. С новой системой поступаем таким же образом и так продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко решается.

4. Когда получено значение последнего неизвестного x_n, подставляем его в уравнение, которое позволяет найти x_{n – 1} по x_n.

5. Понайденным x_{n – 1} и x_n находим x_{n – 2} и таким образом находим последовательно все неизвестные.

16. Размерность и базис линейного пространства.

Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов. Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора. 17. Вектор. Проекция вектора на ось.

Вектор – направленный отрезок, т.е. раз есть слово отрезок, значит есть начало и конец.

1. перенос отрезка при помощи параллельного переноса, не изменяет вектор.

2. вектор задается «длиной вектора» и направления.

3. если у вектора изменить направление на противоположное, то получаем противоположный вектор.

4. нулевой вектор – вектор, длина которого = 0 или начальная конечная точки совпадают. (у нулевого вектора направление неопределенно).

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарны е векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

18. Линейные операции над векторами.

1. умножение вектора на число:

Результатом будет вектор, коллинеарный исходному (соноправленный в случае положительного множителя и противоположно-направленный – в случае отрицательного множителя), длина которого равна произведению модуля числового множителя на длину исходного модуля.

2. сумма двух векторов:

Есть вектор, получаемый из слагаемых при помощи правила параллелограмма или правила треугольника.

19. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Определение линейной зависимости системы векторов. Система векторов A₁,A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор

чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,прикотором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение.
Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_nотлично от нуля.

Определение линейной независимости системы векторов. Система векторов A₁,A₂,...,A_n называется линейно независимой, если линейная комбинацияэтих векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ_1, λ₂,...,λ_n, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет единственное нулевое решение.

 

 

20. Теорема об единственности разложения вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат.

Базис пространства -совокупность линнезавис векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.

Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.

Если образуют базис в пространстве, то любой вектор из этого пространства может быть представлен:

Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .

Проще всего это сделать когда базис является ортонормированным.

Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.

(перпендикулярность и длина=1).

В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.

Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1.

21. Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между точками A (x ₁, y ₁) и B (x ₂, y ₂) плоскости определяется по формуле:

22. Деление отрезка в данном отношении.

Если x ₁ и y ₁ - координаты точки A, а x ₂ и y ₂ - координаты точки B, то координаты x и y точки C, делящей отрезок AB в отношении , определяются по формулам Если , то точка C (x, y) делит отрезок AB пополам, и тогда координаты x и y середины отрезка AB определяются по формулам ;

23. Направление вектора в пространстве.

Вектором называется упорядоченная пара точек. Перваяточка называется началомвектора, вторая — концом вектора. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым,его длина равна нулю.Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.Ненулевой вектор можно определить также как направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора). Направление нулевого вектора, естественно, не определено.