Методы численного интегрирования

1.1. Метод прямоугольников

Идея численного интегрирования предельно проста и вытекает из геометрического смысла определенного интеграла – значение определенного интеграла численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х=b. Находя приближенно площадь криволинейной трапеции, мы получаем значение интеграла. Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подинтегральная функция заменяется на нем легко интегрируемой функцией, по определенной зависимости интерполирующей значения подинтегральной функции в точках разбиения. Рассмотрим теперь простейшие из численных методов интегрирования.

Итак, функция у=f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и требуется вычислить ее интеграл . Составим интегральную сумму для f(x) на сегменте [a,b]. Для этого разобьем сегмент [a,b] на n равных между собой частей с помощью точек: x₁, x₂, …, x_k, …, x_n-1.

Если длину каждой части мы обозначим через х, так что , то для каждой точки x_k будем иметь: (k=0, 1, 2, …, n).

Обозначим теперь через y_k значение подынтегральной функции f(x) при то есть положим (k=0, 1, …, n).

Тогда суммы будут интегральными для функции f(x) на отрезке [a,b]. (При составлении первой суммы мы рассматриваем значения функции y=f(x) в точках, являющихся левыми концами частичных сегментов, а при составлении второй суммы – в точках, являющихся правыми концами этих сегментов.)

По определению интеграла имеем:

и

Поэтому в качестве приближенного значения естественно взять интегральную сумму ,т.е. положить:

а также

т.е (1)

и (1')

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x) 0, формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями и высотами: y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y₁, y₂, y₃, …, y_n – в случае формулы (1') (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1') способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)| M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности R_n, которую мы допускаем, вычисляя интеграл по формуле прямоугольников может быть оценена по формуле [27]:

|R_n| M(b-a)²/2n (2)

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a)²/2n, а следовательно, и абсолютная величина погрешности R_n будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа >0, если взять

n > M(b-a)²/2 .

Следовательно, для вычисления интеграла с указанной степенью точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа M(b-a)²/2 . [27].

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

1.2. Метод трапеций

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (3а) и (3б). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (1'):

(4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подинтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис.10). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим

(5)

Формулу (5) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности R_n, возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

(6)

где М₂ – максимум модуля второй производной подинтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.

.

Следовательно, R_n убывает при по крайней мере так же быстро, как .

Абсолютная погрешность R_n будет меньше наперед заданного числа > 0, если взять .

1.3. Метод парабол (метод Симпсона)

Значительное повышение точности приближенных формул может быть достигнуто за счет повышения порядка интерполяции. Одним из таких методов приближенного интегрирования является метод парабол. Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает к кривой y=f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой, и поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных “сверху” дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y=f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций. Сущность метода заключается в следующем. Отрезок [a,b] делится на 2n равных частей. Пусть точки деления будут

х₀=а, x₁, x₂, …x_2n-2, x_2n-1, x_2n=b,

а y₀, y₁, …y_2n – соответствующие значения подинтегральной функции на отрезке [a,b]. Произведем квадратичную интерполяцию данной подинтегральной функции на каждом из отрезков разбиения (заменим дугу графика подинтегральной функции дугой параболы с вертикальной осью) (рис.11).

Приведем без вывода формулу парабол в окончательном виде:

(7)

(Подробный вывод формулы (7) см. в [13]).

Если подинтегральная функция f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную четвертую производную, то для поправочного члена формулы (7) имеет место оценка

(8)

где М₄ - максимум модуля четвертой производной подинтегральной функции на отрезке [a,b].

Cравнивая между собой оценки (6) и (8), замечаем, что с увеличением n поправочный член формулы трапеций уменьшается пропорционально величине , а для формулы парабол – пропорционально величине , т.е. метод парабол сходится значительно быстрее метода трапеций, тогда как с точки зрения техники вычислений оба метода одинаковы.