Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-12-09 | 341 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Ортогональные и ортонормированные базисы. Умножения векторов: скалярное, векторное, смешанное. Преобразование базисов. Норма вектора
Аксиоматика евклидова и унитарного пространства.
Вещественным евклидовым пространством называется линейное пространство на множестве вещественных чисел и задано отображение пары элементов в вещественное число, т.е. и задано отображение, которое называется скалярным отображением, удовлетворяющим следующим условиям: 1). ; 2). ; 3). ; 4). .
Унитарным евклидовым пространством называется линейное пространство, определенное над множеством комплексных чисел. На этом пространстве определено отображение пары элементов на комплексное число, которое называется скалярным отображением и удовлетворяет условиям: 1).антикоммутативность ; 2).дистрибутивность ; 3). ; 4). .
Свойства унитарного пространства, отличающие от вещественного евклидового пространства: 1). ; 2). ; 3). ; 4).в ортонорм.базисе ; 5). .
В унитарном пространстве применим метод ортоганизацииГраммыШмидта, но при этом надо помнить, что сомножители в скалярном произведении менять нельзя.
Ортогональность.
Векторы , вещественного евклидового пространства ортогональны, если их скалярное произведение равно 0.
Пусть задано векторное евклидово или унитарное пространство. Пусть - подпространство заданного пространства. Вектор ортогонален подпространству , если он ортогонален каждому вектору этого подпространства.
ТЕОРЕМА: Вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда ортогонален базисным векторам, принадлежащим
Неравенство Коши-Буняковского.
ТЕОРЕМА: Для произвольных элементов выполняется неравенство: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим …. , т.к.заданное неравенство выполняется при всех значениях , то в качестве можно принять . Тогда подставим в полученное выражение, Получим ч.т.д.
Ортонормированные базисы, их построение.
Базис – упорядоченная система из n векторов, удовлетворяющая условиям: 1). Система линейно независимая; 2).Система максимальна.
Базис называется ортогональным, если все векторы базиса попарно перпендикулярны.
Базис называется ортонормированным, если он ортоганальный и все базисные векторы имеют длину равную 1.
В евклидовом пространстве ортонормированным базисом называется линейно независимая система векторов, которые попарно ортогональны и длины векторов равны 1.
ТЕОРЕМА: в евклидовом пространстве любую линейно независимую систему можно ортонормировать и привести к ортонормированному базису (метод органализации Граммы Шмидта).
Скалярное произведение в ортонормированных базисах.
Скалярным произведением векторов и называется число, которое обозначается .
Физический смысл: Пусть задана материальная точка , на которую действует сила и перемещает эту точку на вектор , тогда работа, совершенная силой по перемещению точки на вектор , будет равна их скалярному произведению . Т.е. .
В ортонормированном базисе () заданы вектора и , тогда
Доказательство: на основании свойства (если , значит ) . Из определения скалярного произведения: . Учитывая, что , . Получаем .
ТЕОРЕМА: Скалярное произведение двух векторов евклидового пространства равно .
Преобразование ортонормированных базисов.
Рассмотрим старый базис и новый базис . Тогда переход из старого базиса в новый , C – матрица перехода (преобразования базисов).
Выразим координаты вектора в старом базисе через координаты вектора в новом базисе. , - матрица перехода.
Т.О.: ;
Структура матрицы перехода.
Норма векторов.
Нормой вектора евклидова пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора. Обозначается ||a||.
Теорема: Если a, b – векторы евклидова пространства и λϵR, то: 1).||a||≥0, причем ||a||=0 тогда и только тогда, когда a=0; 2). ||λ·a||=|λ|·||a||; 3). |a·b|≤||a||·||b|| (неравенство Коши-Буняковского); 4). |a+b|≤||a||+||b|| (неравенство треугольника);
Векторное трехмерное пространство направленных отрезков.
Векторным пространством называется множество векторов, каждый из которых может быть представлен линейной комбинацией в базисе , который называется базисом этого пространства. И для всех векторов выполняются операции сложения и умножения на число и все их свойства.
Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства .
Векторное произведение его свойства и вычисление в ортонормированном базисе.
Векторным произведением векторов и называется вектор, который обозначается .
Ориентация тройки векторов () имеет правую ориентацию, если 1).либо обход этих векторов осуществляется против часовой стрелки; 2).либо, если смотреть из конца вектора , то обход от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки; 3).либо () совмещаются соответственно с большим, указательным, средним пальцем правой руки.
Ориентация тройки векторов () имеет левую ориентацию, если 1).либо обход этих векторов осуществляется по часовой стрелке; 2).либо, если смотреть из конца вектора , то обход от вектора к вектору осуществляется по часовой стрелке; 3).либо () совмещаются соответственно с большим, указательным, средним пальцем левой руки.
Векторным произведением векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям: 1). ; 2). ; 3). - правая ориентация, или ориентация, совпадающая с базисной ориентацией ().
Свойства: 1).Геометрический смысл: длина модуля векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах; 2).Векторное произведение антикоммутативно ; 3). , ; 4).Дистрибутивность ; 5). , Следствие: ; 6).Пусть задан ортонормированный базис () и и ,тогда ,,
Смешанное произведение его свойства и вычисление в ортонормированном базисе.
Смешанным произведением векторов является .
Свойства: 1).Геометрический смысл: смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенному на этих векторах; 2) ; 3). - комплонарны, - правая ориентация, - левая ориентация; 4). меняет знак при перестановке любых двух вектор, , , ; 5).При циклической перестановке векторов знак не меняется; 6).Пусть в базисе () векторы заданы своими координатами, тогда смешанное произведение ; 7). ; 8).()= .
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!