Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-12-09 | 292 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Группы. Кольца. Поля.
Алгеброй называется множество с операциями.
Понятие Группы.
Группой называется алгебра с одной бинарной ассоциативной операцией, относительно которой определен правый нейтральный элемент и для каждого элемента множества существует правый симметричный элемент из этого множества.
- группа, если: 1). - бинарная ассоциативная; 2). ; 3). .
Группа называется абелевой., если бинарная операция , определенная на множестве является коммутативной, т.е. .
Порядком группы называется количество элементов, принадлежащих основному множеству группы, или просто принадлежащих группе.
Свойства: 1).Существует единственный элемент , симметричный элементу группы ; 2).В группе существует единственный нейтральный элемент.
Группа преобразований множества.
Подгруппы
Подгруппой группы называется подмножество множества , замкнутая относительно операции, определенной в группе . Другими словами, подгруппа группы сама является группой.
Смежные классы
Пусть задана группа и ее подгруппа .
Определение: произведением элемента на множество () называется множество, состоящее из произведений элемента на каждый элемент множества , т.е. .
Если (слева), то - левый смежный класс группы по подгруппе .
Если (справа), то - правый смежный класс группы по подгруппе .
ТЕОРЕМА: Смежный класс порождается любым своим элементом.
СЛЕДСТВИЕ: любые два смежных класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.
Определение: множество левых(правых) классов группы по подгруппе называется левосторонним(правосторонним) разложением группы по подгруппе .
Замечание: Если элемент и , то .
Замечание: Если группа абелева, то левостороннее разложение всегда совпадает с правосторонним разложением.
|
Теорема Лагранжа: Порядок подгруппы конечной группы делит нацело порядок группы (т.е. делится нацело на ).
Нормальная подгруппа
Подгруппа группы называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой, если левостороннее разложение совпадает с правосторонним.
Если - нормальный делитель, то множество группы можно разложить на смежные классы по нормальному делителю . Это разложение называется фактор-множеством множества по подмножеству .
Произведением множеств А и В называется множество, которое состоит из всех возможных произведений элементов множества А на элементы множества В.
Фактор-группа
Фактор-множество по множеству с определенной на нем операцией умножения множеств является группой, которая называется фактор-группой.
Теорема: порядок фактор-группы делит нацело порядок группы.
Гомоморфизмы групп
- ядро гомоморфизма - множество элементов, которые отображаются в нейтральный элемент .
Естественным гомоморфизмом называется гомоморфизм группы на ее фактор-группу.
ТЕОРЕМА: Ядро гомоморфизма является подгруппой группы , причем эта подгруппа инвариантная, т.е. - нормальный делитель.
ТЕОРЕМА (о гомоморфизмах): Пусть задан гомоморфизм группы в группу , - ядро гомоморфизма, тогда существует изоморфизм группы на фактор-группу группы по нормальному делителю такой, что композиция гомоморфизма и изоморфизма является естественным гомоморфизмом группы на фактор-группу этой группы.
Понятие Кольца.
Непустое множество К называется кольцом, если на нем определены две бинарные операции – сложение и умножение; сложение ассоциативно и коммутативно, т.е. "(a,b,c)Î K: a+b = b+a и (a+b)+c = a+(b+c); есть нейтральный элемент 0 относительно операции сложения; для каждого элемента есть симметричный ему элемент относительно сложения, т.е. "xÎ K: (-x)Î K,что x+(-x) = (-x)+x = 0; сложение с умножением связано дистрибутивным законом, т.е. a∙(b+c) = a∙b+a∙c (левый) и (b+c)∙a = b∙a+c∙a (правый).
|
Кольцо К называется кольцом с единицей, если на множестве К есть нейтральный элемент относительно умножения, т.е. "аÎ K: еÎ K, что а∙е = е∙а = а.
Коммутативное кольцо – кольцо, в котором операция умножения является коммутативной, т.е. "(a,b)Î K: a∙b = b∙a.
Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R в кольцо S — это функцияf:R->S, такая что 1).f(a+b)=f(a)+f(b), 2).f(ab)=f(a)f(b)
В случае колец с единицей иногда требуют также условия f(1)=1.
Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом
Если f:R->S — гомоморфизм колец, множество элементов R переходящих в ноль, называется ядром f (обозначается kerf). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом. С другой стороны, образ f не всегда является идеалом, но является подкольцом S (обозначается imf).
Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца R по двустороннему идеалу I — это множество классов смежности аддитивной группы R по аддитивной подгруппе I со следующими операциями: 1).(a+I)+(b+I)=(a+b)+I; 2).(a+I)(b+I)=(ab)+I.
гомоморфизм p:R->R/I задаваемый как x->x+I. Ядром при этом является идеал I
Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть f:R->R’ тогда Imf изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма Imf ≈A/Kerf.
Примеры колец
При обычных операциях сложения и умножения кольцом является: 1).Множество целых чисел.2).Множество рациональных чисел. 3).Множество действительных чисел. 4).Множество рациональных чисел. 5). Множество, состоящее лишь из одного числа 0. 6).Множество четных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу n. 7).Множество комплексных чисел a + bi с целыми a и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел). И т.д.
Понятие алгебраического Поля.
Поле P – это коммутативное кольцо с единицей 1≠ 0, в котором каждый элемент а ≠ 0 обратим.
Поле представляет собой гибрид двух абелевых групп – аддитивной и мультипликативной, связанных законом дистрибутивности.
|
Свойства: 1).Для любого элемента поля a∙0 = 0∙a = 0; 2).Для ненулевых элементов a и b поля a∙b ≠ 0; 3).Для любых элементов a и b поля a+b ≠ 0; 4).Если a∙b = a∙c и a ≠ 0, то b = c.
ТЕОРЕМА: Поле делителей нуля не имеет. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть Р - поле, a,bÎ Р, a∙b=0 и a ≠ 0. Тогда по определению поля Ǝ a-1Î Р, 0 = a-1 ∙a∙b = 1∙b, откуда следует, что b = 0, следовательно в поле нет делителей нуля.
Теорема: Всякое конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем.
Подполем F поля P называется подкольцо в P, само являющееся полем. Подполе поля Р, отличное от Р, называется собственным подполем.
Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Поля P и P’ называются изоморфными, если они изоморфны как кольца.
По определению f (0) = 0’ f (1) = 1’ для любого изоморфного отображения f. Не имеет смысла говорить о гомоморфизмах поле, так как Ker f ≠ 0Þ f (a) = 0, a ≠ 0 Þ f (1) = f (aa-1) = f (a) f (a-1) = 0∙ f (a-1) = 0 Þ"b f (b) = f (1∙b) = f (1) f (b) = 0∙ f (b) = 0 ÞKer f = P. Напротив, автоморфизмы, т.е. изоморфные отображения поля P на себя, связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств.
Характеристика поля — наименьшее положительное целое число n такое, что сумма n копий единицы равна нулю: n∙1= 0.
Если такого числа не существует, то характеристика равна 0 по определению.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!