Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-09 | 1058 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрические Приложения криволинейных интегралов.
1) Длинна кривой.
Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором , . Тогда длина выражается формулой:
где – производная, а , , – компоненты векторной функции .
Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции , в плоскости , то длина такой кривой вычисляется по формуле:
Если кривая задана в полярных координатах уравнением: , , и ф. является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением:
2) Площадь области, ограниченной замкнутой кривой.
Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется:
Здесь предполагается, что обход кривой производится против часовой стрелки.
3) Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси .
Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой , обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области вокруг оси образуется тело .
Объем данного тела определяется формулами:
Физические Приложения криволинейных интегралов.
1) Масса кривой.
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой . Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода:
2) Центр масс и моменты инерции кривой.
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой , а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности .
|
Тогда моменты инерции определяются формулами:
Координаты центра масс кривой определяются формулами:
Моменты инерции относительно осей , , определяются формулами:
3) Работа поля.
Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода:
где – сила, действующая на тело, – единичный касательный вектор. Обозначение означает скалярное произведение векторов и .
4) Закон Ампера.
Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C. Это выражается формулой:
где – магнитная проницаемость вакуума, равная .
5) Закон Фарадея.
Электродвижущая сила , наведенная в замкнутом контуре , равна скорости изменения магнитного потока , проходящего через данный контур:
Формула Грина.
Формула Грина связывает двойной и криволинейный интегралы.
Пусть – конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей (т.е. состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых). Область с присоединённой границей обозначим .
Т1.
Пусть ф. и непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. и , то справедливо соотношение:
называемое формулой Грина. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.
Формула Стокса.
Формула Стокса обобщение формулы Грина.
Пусть – ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей . Окрестностью поверхности будем называть любое открытое множество , содержащее .
Т2.
Пусть в некоторой окрестности поверхности ф. , , непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и , то справедливо соотношение:
|
называемое формулой Стокса. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.
Формула Остроградского.
Формула связывает тройной интеграл с поверхностным интегралом на границе области.
Пусть – конечная, многосвязная область в пространстве с кусочно-гладкой границей . Область с присоединённой границей будем обозначать через .
Т3.
Пусть ф. , , непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и , то справедливо соотношение:
называемое формулой Остроградского. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых выбрана внешняя по отношению к сторона.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!