Некоторые линейные модели в экономике и их решение с помощью MathCAD

1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ). Макроэкономика функционирования многоотраслевого производства требует баланса между отраслями. С одной стороны, каждая отрасль выступает как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым.

Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свою однородную продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введём следующие обозначения:

х_i – общий (валовый) объём продукции i -й отрасли (i =1,2,…, п);

z_ij – объём продукции i -й отрасли, потребляемой j -й отраслью в процессе производства объёма продукции х_j (i, j =1,2,…, п);

у_i – объём конечного продукта i -й отрасли для потребления в непроизводственной сфере (так называемый продукт конечного потребления). Это личное потребление граждан, содержание государственных институтов и т. д.

Так как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой п отраслями, и конечного продукта, то

х_i= +у_i, (i =1,2,…, п). (1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Т.к. продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

а_ij= , (i, j =1,2,…, п), (2)

показывающие затраты продукции i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты а_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

z_ij=а_ijх_j, (i, j=1,2,…,п), (3)

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса (1) примут вид:

х_i= +у_i, (i=1,2,…,п). (4)

Обозначим x = , А= , y = ,

где x – вектор валового выпуска, y – вектор конечного продукта, А – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

x =А x + y. (5)

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска Х, требуется рассчитать вектор конечного продукта Y.

Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования: для периода времени Т (например, год) известен вектор y конечного продукта (потребления) и требуется определить вектор x валового выпуска. Тогда необходимо решать систему линейных уравнений с известной матрицей А и заданным вектором y. Эта задача является основной задачей межотраслевого баланса .

Перепишем уравнение (4) в виде:

(Е-А) x = y. (6)

Если матрица (Е-А) невырожденная, т.е. |Е-А| ¹0, то по формуле (4) §4.2

x = (Е-А)^-1 y. (7)

Матрица S =(Е-А)^-1 называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S= (s_ij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта y _{( 1)}=(1,0,...,0)^Т, y _{( 2 )} =(0,1,...,0)^Т, …, y _{( п )}=(0,0,...,1)^Т. Тогда по (7) соответствующие векторы валового выпуска будут

x _{( 1)}=(s ₁₁, s ₂₁,..., s_{п 1})^Т, x _{( 2 )} =(s ₁₂, s ₂₂,..., s_{п 2})^Т, …, x _{( п )}=(s _{1 п}, s _{2 п},..., s_пп)^Т.

Следовательно, каждый элемент s_ij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i -й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -й отрасли у_j= 1 (j =1,2,..., п).

В соответствии с экономическим смыслом задачизначения х_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях у_j и a_ij, где i,j= 1,2,.. .,п.

Определение. Матрица А с неотрицательными элементами называется продуктивной, если длялюбого вектора y с неотрицательными элементами существует решение x уравнения (5)с неотрицательными элементами. В этомслучае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А продуктивна, если a_ij ³0для любых i,j= 1,2 ,..., п и £l, и существует номер j такой, что < 1.

2. Линейная модель торговли. Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно х ₁, х ₂, …, х_n, расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.

Пусть a_ij – доля бюджета х_j, которую j- я страна тратит на закупку товаров у i -й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

А= (1)

Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство

=1 (2)

Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой P_i=а_{i 1} x ₁+ а_{i 2} x ₂+…+ а_inx_n. Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. P_i ³ x_i, или

а_i1x₁+а_i2x₂+…+а_inx_n³x_i, i=1,2,..., п. (3)

Докажем, что в условиях (3) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получаем

x ₁(a ₁₁+ a ₂₁+…+ a_{n 1})+ х ₂(а ₁₂ +а ₂₂+…+ a_{n 2})+...+ x_n (a _{1 n} + а _{2 n} +…+ а_пп)³ x ₁ +x ₂ +...+x_п.

Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (2). Стало быть, мы получили неравенство x ₁ +x ₂ +...+x_п³x ₁ +x ₂ +...+x_п, откуда возможен только знак равенства.

Таким образом, условия (3) принимают вид равенств:

(4)

Введем вектор бюджетов x, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (4) можно записать в матричной форме

А x = x. (5)

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l =1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.

Перепишем уравнение (5) в виде, позволяющем определить x:

(А - Е) x = 0. (6)

3. Решение примеров линейной алгебры с помощью MathCAD. Векторные и матричные операторы и функции системы MathCAD позволяют решать широкий круг задач линейной алгебры. К примеру, если заданы матрица А и вектор В для системы линейных уравнений в матричной форме Х=В, то вектор решения можно получить из выражения Х=А ^-1× В или с помощью встроенной функции isolve(А,B), а также с помощью символьной операции solve.

Пример 1. В таблице приведены данные об исполнении межотраслевого баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

№№	Отрасль	Потребление	Валовой выпуск
	Станкостроение Энергетика Промышленное и с/х машиностроение Автомобильная промышленность Газодобывающая промышленность

Вычислим:

1) Конечный продукт при данном валовом выпуске.

2) Необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление по отраслям составляет соответственно 120, 350, 70, 175 и 550 усл. ден. ед.

n Решение приведено на рис.1. Оно сопровождается комментариями, набранными с помощью команд Вставка–Текстовая область.

1. Определение вектора конечного продукта для непроизводственного потребления при заданном векторе валового продукта
	Вектор валового продукта Х, его размерность n и объём продукции Z i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью
	Определение матрицы прямых затрат
	Проверка продуктивности матрицы прямых затрат
	Конечный продукта при данном объёме валового выпуска.
Таким образом, конечный продукт при данном валовом выпуске и матрице прямых затрат должен быть следующим (в усл. ден. ед.): станкостроение 380, энергетика 450, промышленное и с/х машиностроение 270, автомобильная промышленность 80, газодобывающая промышленность 600.
2. Определение необходимого объёма валового выпуска каждой отрасли при заданном конечном потреблении
	Заданный вектор конечного продукта для непроизводственного потребления
	Матричное решение системы линейных уравнений для определения необходимого вектора валового продукта Х1
	Решение системы с применением функции isolve для определения необходимого ветора валового продукта Х1
Таким образом, чтобы обеспечить заданный вектор конечного продукта, необходимый валовый продукт должен быть следующим (в усл. ден. ед.): станкостроение 1094, энергетика 1092, промышленное и с/х машиностроение 557, автомобильная промышленность 567, газодобывающая промышленность 1143. l
Рис.1

Пример 2. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

А= .

Найдём бюджеты этих стран для сбалансированной бездефицитной торговли.

n Решение приведено на рис. 2. При этом для решения однородной системы (6) использована символьная операция solve.

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТОРГОВЛИ
	Заданная структурная матрица торговли
solve,x,y,z,u (1.222z; 1.259z; z; 0.897z)	Решение однородной системы (А-Е)Х=0, заданной в векторной форме, с помощью символьной операции solve
Здесь z может принимать любые действительные значения. Таким образом, сбалансированность торговли четырёх стран достигается при векторе национальных доходов Х=(1,22z; 1,26z; z; 0,90z), т.е. при соотношении национальных доходов примерно как 11:11,3:9:8.
Рис.2 l