Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
 2017-12-10 |
 256 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Исходная матрица ai , j может в общем случае иметь на диагонали нулевые элементы. Поэтому, для применения базовой процедуры приведения к треугольному виду (***), матрицу нужно преобразовать так, чтобы на диагонали стояли ненулевые элементы.
Так, для элемента a 1,1
находим в области i ≥1, j ≥1 максимальный по модулю элемент a (i max, j max) и совершаем перестановку строк:
i max меняется с первой строкой местами, то есть строка с номером i max становится первой строкой, а первая строка становится строкой с номером i max.
Аналогичную перестановку делают для столбцов матрицы: столбец, содержащий максимальное значение, меняется со столбцом с первым номером.
При перестановке строк необходимо переставить и элементы вектора b:
x=b(j max)
b(j max)=b(1)
b(1)=1
При перестановке столбцов переставляются векторы решений:
x(j max) x(1)
Эти перестановки необходимо запоминать, чтобы после получения вектора решений по треугольной матрице восстановить правильный порядок элементов xi.
Введем вектора:
ni (n)=(1, 2, 3, …, n) – начальный порядок строк,
nj (n)=(1, 2, 3, …, n) начальный порядок столбцов.
j max 1
nj (1)=j max
nj (j max)=1
Так, если jmax =4 до перестановки nj (1, 2, 3, 4, 5, 6), после перестановки nj (4, 2, 3, 1, 5, 6).
В алгебре используется понятие характеристической функции матрицы. Характеристическая функция F(C) для матрицы A получается следующим образом:
F(C) = Det |A-E*C|,
здесь Det|A-E*C| определитель разности матрицы A и единичной матрицы E умноженной на неизвестную переменную величину C – аргумент характеристической функции. Так, например, для матрицы
характеристическая функция записывается следующим образом:
В данном случае, для матрицы 3x3 характеристическая функция представляет собой полином степени 3 и может иметь один или три действительных корня. Корни характеристического уравнения
|
|
F(C) = 0
могут быть найдены явно (в простых случаях) или численным образом при помощи методов табуляции, деления отрезка пополам, секущих и т.д. Корни характеристического уравнения называют собственными значениями соответствующей матрицы.
Пример программного кода метода Гаусса с выбором максимального элемента на языке VFP:
PROCEDURE гаусс
LPARAMETERS a2,b2,x,n
DIMENSION a2(n,n),b2(n),x(n)
LOCAL ARRAY x1(n),ix(i),a(n,n),b(n)
LOCAL i,j,k,l,m,im,jm,i1,j1,aa,s
* задаем рабочую матрицу и рабочие правые части
FOR i=1 TO n
b(i)=b2(i)
ENDFOR
FOR i=1 TO n
FOR j=1 TO n
a(i,j)=a2(i,j)
ENDFOR
ENDFOR
* массив для хранения номеров элементов вектора решений X
FOR i=1 TO n
ix(i)=i
x(i)=0
x1(i)=0
ENDFOR
FOR k=1 TO n-1
* ищем индексы максимального элемента в матрице k x k
im=k
jm=k
max_a=ABS(a(im,jm))
FOR i1 = k TO n
FOR j1 = k TO n
IF ABS(a(i1,j1))>max_a
max_a=ABS(a(i1,j1))
im=i1
jm=j1
ENDIF
ENDFOR
ENDFOR
* переставляем строки k и im
FOR l=k TO n
aa=a(k,l)
a(k,l)=a(im,l)
a(im,l)=aa
ENDFOR
aa=b(k)
b(k)=b(im)
b(im)=aa
* переставляем столбцы k и jm
FOR l=1 TO n
aa=a(l,k)
a(l,k)=a(l,jm)
a(l,jm)=aa
ENDFOR
* переставляем номера k и jm компонент вектора решений X
aa=ix(k)
ix(k)=ix(jm)
ix(jm)=aa
* приводим к треугольному виду
FOR l=k+1 TO n
p=a(l,k)/a(k,k)
FOR m=k TO n
a(l,m)=a(l,m)-a(k,m)*p
ENDFOR
b(l)=b(l)-b(k)*p
ENDFOR
ENDFOR
* вычисляем x
FOR k=n TO 1 STEP -1
s=0
FOR l=k+1 TO n
s=s+a(k,l)*x1(l)
ENDFOR
x1(k)= (b(k)-s)/a(k,k)
ENDFOR
FOR i=1 TO n
x(ix(i))=x1(i)
ENDFOR
ENDPROC
Контрольные вопросы
1. Дать определение системы линейных уравнений.
2. Дать определение вырожденной матрицы.
3. Привести алгоритм метода Гаусса.
4. Привести алгоритм метода Гаусса с выбором максимального элемента.
5. Привести алгоритм приведения матрицы к треугольному виду.
6. Привести алгоритм определения вектора решения системы линейных уравнений, приведенной к треугольному виду (обратный ход метода Гаусса).
7. Дать определение совместности системы линейных уравнений методом Гаусса.
8. Привести алгоритм табуляции характеристической функции.
|
|
Задания
Используя метод Гаусса, решить систему линейных уравнений с точностью до 0,0001.
1.
3,21 x 1 – 4,25 x 2 + 2,13 x 3 = 5,06;
7,09 x 1 + 1,17 x 2 – 2,23 x 3 = 4,75;
0,43 x 1 – 1,4 x 2 – 0,62 x 3 = – 1,05.
2.
0,42 x 1 – 1,13 x 2 + 7,05 x 3 = 6,15;
1,14 x 1 – 2,15 x 2 + 5,11 x 3 = – 4,16;
– 0,71 x 1 + 0,81 x 2 – 0,02 x 3 = – 0,17.
3.
2,5 x 1 – 3,12 x 2 – 4,03 x 3 = – 7,5;
0,61 x 1 + 0,71 x 2 – 0,05 x 3 = 0,44;
– 1,03 x 1 – 2,05 x 2 + 0,877 x 3 = – 1,16.
4.
7,09 x 1 + 1,17 x 2 – 2,23 x 3 = – 4,75;
0,43 x 1 – 1,4 x 2 – 0,62 x 3 = –1,05;
3,21 x 1 – 4,25 x 2 + 2,13 x 3 = 5,06.
5.
1,14 x 1 – 2,15 x 2 – 5,11 x 3= – 4,16;
– 0,71 x 1 + 0,81 x 2 – 0,02 x 3 = – 0,17;
0,42 x 1 – 1,13 x 2 + 7,05 x 3 = 6,15.
6.
0,61 x 1 + 0,71 x 2 – 0,05 x 3 = 0,44;
– 1,03 x 1 – 2,05 x 2 + 0,87 x 3 = – 1,16;
2,5 x 1 – 3,12 x 2 – 5,03 x 3 = – 7,5.
7.
3,11 x 1 – 1,66 x 2 – 0,60 x 3 = – 0.92;
– 1,65 x 1 + 3,51 x 2 – 0,78 x 3 = 2,57;
0,60 x 1 + 0,78 x 2 – 1,87 x 3 = 1,65.
8.
0,10 x 1 + 12 x 2 – 0,13 x 3 = 0,10;
0,12 x 1 + 0,71 x 2 + 0,15 x 3 = 0,26;
– 0,13 x 1 + 0,15 x 2 + 0,63 x 3 = 0,38.
9.
0,71 x 1 + 0,10 x 2 + 0,12 x 3 = 0,29;
0,10 x 1 + 0,34 x 2 – 0,04 x 3 = 0,32;
0,12 x 1 – 0,04 x 2 + 0,10 x 3 = – 0,10.
10.
0,34 x 1 – 0,04 x 2 + 0,10 x 3 = 0,33;
– 0,04 x 1 + 0,10 x 2 + 0,12 x 3 = – 0,05;
0,10 x 1 + 0,12 x 2 + 0,71 x 3 = 0,28.
11.
0,12 x 1 – 0,43 x 2 + 0,14 x 3 = –0,17;
–0,07 x 1 + 0,34 x 2 + 0,72 x 3 = 0,62;
1,18 x 1 – 0,08 x 2 – 0,25 x 3 = 1,12.
12.
1,17 x 1 + 0,53 x 2 – 0,84 x 3 = 1,15;
0,64 x 1 – 0,72 x 2 – 0,43 x 3 = 0,15;
0,32 x 1 + 0,43 x 2 – 0,93 x 3 = –0,48.
13.
0,66 x 1 – 1,44 x 2 – 0,18 x 3 = 1,83;
0,48 x 1 – 0,24 x 2 + 0,37 x 3 = – 0,84;
0,86 x 1 + 0,43 x 2 + 0,64 x 3 = 0,64.
14.
0,82 x 1 + 0,43 x 2 – 0,57 x 3 = 0,48;
–0,35 x 1 + 1,12 x 2 – 0,48 x 3 = 0,52;
0,48 x 1 + 0,23 x 2+0,37 x 3 = 1,44.
15.
1,6 x 1 + 0,12 x 2 + 0,57 x 3 = 0,18;
0,38 x 1 + 0,25 x 2 – 54 x 3 = 0,63;
0,28 x 1 + 0,46 x 2 – 1,12 x 3 = 0,88.
16.
1,16 x 1 + 1,3 x 2 – 1,14 x 3 = 0,43;
0,83 x 1 – 0,48 x 2 – 2,44 x 3 = –0,15;
2 x 1 – 0,16 x 2 + 1,3 x 3 = 1,5.
17.
0,10 x 1 – 0,04 x 2 – 0,13 x 3 = – 0,15;
– 0,04 x 1 + 0,34 x 2+0,05 x 3 = 0,31;
–0,13 x 1 + 0,05 x 2 + 0,63 x 3 = 0,37.
18.
0,63 x 1 + 0,05 x 2 + 0,15 x 3 = 0,34;
0,05 x 1 + 0,34 x 2 + 0,10 x 3 = 0,32;
0,15 x 1 + 0,10 x 2 + 0,71 x 3 = 0,42.
19.
1,20 x 1 – 0,20 x 2 + 0,30 x 3 = –0,60;
– 0,20 x 1 + 1,60 x 2 – 0,10 x 3 = 0,30;
– 0,30 x 1 + 0,10 x 2 – 1,5 x 3 = 0,40.
20.
0,30 x 1 + 1,20 x 2 – 0,20 x 3 = –0,60;
– 0,10 x 1 – 0,20 x 2 + 1,60 x 3 = 0,30;
–1,50 x 1 – 0,30 x 2 + 0,10 x 3 = 40.
21.
0,20 x 1 + 0,44 x 2 + 0,81 x 3 = 0,74;
0,58 x 1 – 0,29 x 2 + 0,05 x 3 = 0,02;
0,05 x 1 + 0,34 x 2 + 0,10 x 3 = 0,32.
22.
6,36 x 1 + 11,75 x 2 + 10 x 3 = –41,70;
7,42 x 1 + 19,03 x 2 + 11,75 x 3 = –49,49;
5,77 x 1 + 7,42 x 2 + 6,36 x 3 = –27,67.
23.
0,40 x 1 + 0,11 x 2 + 0,18 x 3 = 0,47;
0,28 x 1 – 0,59 x 2 + 0,03 x 3 = 0,01;
0,02 x 1 + 0,24 x 2 + 0,10 x 3 = 0,22.
24.
0,18 x 1 + 0,25 x 2 – 0,44 x 3 = 1,15;
0,42 x 1 – 0,35 x 2 + 1,12 x 3 = 0,86;
1,14 x 1 + 0,12 x 2 – 0,83 x 3 = 0,68.
25.
1,2 x 1 + 0,18 x 2 – 0,42 x 3 = 1,5;
0,44 x 1 + 0,36 x 2 + 0,12 x 3 = 1,16;
0,36 x 1 – 0,42 x 2 – 0,22 x 3 = 0,15.
26.
0,64 x 1 – 0,43 x 2 + 0,57 x 3 = 0,43;
0,56 x 1 + 0,12 x 2 – 0,27 x 3 = 0,88;
0,63 x 1 – 0,83 x 2 + 0,43 x 3 = – 0,12.
27.
1,60 x 1 + 2,18 x 2 – 0,72 x 3 = 1,15;
0,43 x 1 – 0,16 x 2 + 0,53 x 3 = 0,83;
|
|
0,34 x 1 + 0,57 x 2 – 0,83 x 3 = – 0,42.
28.
0,8 x 1 – 0,13 x 2 + 0,63 x 3 = 1,15;
0,42 x 1 + 0,57 x 2 + 0,32 x 3 = 0,84;
0,54 x 1 + 0,62 x 2 – 0,32 x 3 =0,25
|
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!