Поиск максимального и минимального значения функции одной переменной методом последовательного перебора

Большинство итерационных алгоритмов определения максимума или минимума функции, как одной, так и нескольких переменных, применяются для определения локального максимума (минимума). «Локальный максимум (минимум)» означает, что в рассматриваемой области должен быть только один максимум или минимум. «Найти максимум или минимум» означает вычислить максимальное или минимальное значаение функции и значение аргумента.

Математическим условием максимума или минимума функции f(х) в точке х₀ является равенство нулю первой производной данной функции в точке х₀.

Численно посчитать значение первой производной некоторой функции можно по следующим разностным формулам:

(1)

(2)

. (3)

Формула (1) – разностаная формула для производной «разность вперед», (2) – разностная формула для производной «разность назад», (3) – разностная формула для производной «центральная разность».

В точке максимума или минимума функции ее производная равна нулю. Более того, знак производной функции определяет характер поведения функции в любой данной точке: если производная положительна – функция возрастает, если производная отрицательна – функция убывает.

Чтобы определить примерное расположение интересующего нас максимума (минимума) можно использовать табулирование функции или основанные на табулировании методы прямого перебора значений функции на некоторой сетке аргумента (или аргументов, в случае многомерной функции).

Простейшие методы определения максимума или минимума основываются на построении таблицы значений разностной производной исследуемой функции и определении координат нуля производной. Чаще всего используется формула (1). Точность определения максимума или минимума функции определяется величиной шага при определении разностной производной, чем меньше шаг – тем точнее локализован максимум или минимум.

На практике при табулировании функции точный ноль производной получить практически невозможно. Поэтому ноль производной вычисляют с некоторой допустимой погрешностью как разницу между ближайшими близкими к нулю положительным и отрицательным значениями производной в данной точке. При этом погрешность может быть учтена как для значений производной функции (по оси Y), так и для значения координаты точки (по оси Х).

 

Рассмотрим функцию одной переменной f(x). Пусть эта функция имеет максимум f_m=f(x_m) в точке x_m на отрезке a<x<b.

 

Описание алгоритма определения максимального (минимального) значения функции одной переменной методом последовательного перебора:

Задаем начальные значения рабочего шага h₀, точность определения максимума (минимума) d, начального значения аргумента функции x₀.

Вычисляем значение функции в начальной точке f₀=f(x₀).

В цикле вычисляем:

новое приближение х: x ₁= x₀ + d;

новое значение функции f ₁ в точке x₁;

производную функции df =(f ₁ -f₀)/(x ₁ -x₀);

в соответствии со знаком производной определяем рабочий шаг h =знак(df)× h₀;

если производная меньше нуля, то рабочий шаг h будет равен:– h₀;

если значение функции в начальной точке f₀ меньше значения функции в следующей f ₁точке и если h₀ меньше шага d, то максимум найден,

иначе делим h₀ пополам и продолжаем вычисления в цикле.

Если цикл завершен, то печатать сообщение, что максимум (минимум) не найден.

 

Алгоритм определения максимального (минимального) значения функции одной переменной методом последовательного перебора на естественном языке:

 

d=0.01

x0=0.5

h0=1

max_k=10000

 

f0=функция(x0)

 

Цикл по k от 1 до max_k

x1=x0+d

f1=функция(x1)

df=(f1-f0)/(x1-x0)

h=знак(df)*h0

x0=x0+h

f0=функция(x0)

 

Если f0<f1 то

 

Если h0<d то

Печать "Максимум x0=", x0

Печать " f0= ", f0," x1=",x1, " f1=", f1

Выход Из Программы

Конец Если

h0=h0/5

Конец Если

Конец Цикла

 

Печать "Максимум не найден"

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ функция

Параметр x

Возврат -10*(x-20)*(x-400)

 

Обозначяение знак(df) в данном алгоритме – стандартная функция, возвращающая знак своего аргумента.

 

Пример решения на языке VFP:

 

_screen.FontSize = 10

clear

 

d=0.01

x0=0.5

 

h0=1

f0=функция(x0)

 

FOR k=1 TO 10000

x1=x0+d

f1=функция(x1)

df=(f1-f0)/(x1-x0)

h=SIGN(df)*h0

x0=x0+h

f0=функция(x0)

 

IF f0<f1

 

IF h0<d

? "Максимум x0=", x0, " f0= ", f0," x1=",x1, " f1=", f1

RETURN

endif

h0=h0/5

ENDIF

endfor

 

? "Максимум не найден"

 

FUNCTION функция

LPARAMETERS x

RETURN -10*(x-20)*(x-40)

 

Пример решения на языке VBA:

 

Sub maxf()

 

d = 0.01

x0 = 0.5

h0 = 1

f0 = функция(x0)

 

For k = 1 To 10000

x1 = x0 + d

f1 = функция (x1)

df = (f1 - f0) / (x1 - x0)

h = Sgn(df) * h0

x0 = x0 + h

f0 = функция (x0)

 

If f0 < f1 Then

If h0 < d Then

Debug.Print "Максимум найден за " & k & " итераций!"

Debug.Print "x0= " & x0 & ": f0= " & f0 & ": x1= " & x1 & ": f1= " & f1

Exit Sub

End If

 

h0 = h0 / 5

End If

Next

 

Debug.Print "Максимум не найден"

End Sub

 

Function функция (x)

функция = -10 * (x - 20) * (x - 40)

End Function

 

Результат работы программы на VBA:

Максимум найден за 42 итераций!

x0= 29,988: f0= 999,99856: x1= 30,006: f1= 999,99964

 

Определение максимального и минимального значения функции двух переменных методом градиентного спуска (подъема)

В случае многомерных функций поиск максимального или минимального значений функции ведется на координатной сетке, заданной количеством измерений координат функции. Для двумерной функции f(x,y) координатной сеткой будет плоскость (x,y), для функции трех переменных f(x,y,z) сеткой будет пространство (x,y,z) и т.д.

Для многомерного случая в качастве аналога производной используется понятие «градиента».

Градиентом функции называется вектор, компоненты которого являются частными производными функции по соответствующим координатам. Так, например, для функции двух переменных f(x,y) градиент определяется как вектор с компонентами: и . Обозначается градиент функции либо без значка вектора.

Градиент функции f(x₁, x₂,..., x_n) в каждой точке направлен в сторону наискорейшего локального возрастания этой функции. Для поиска минимума необходимо двигаться в направлении противоположном градиенту функции.

При численных расчетах градиент функции можно определить приближенно , где , – единичные вектора по направлениям осей X и Y, , , – приращение x, – приращение y.

Вектор градиента указывает, подобно производной одномерной функции, направление на ближайший локальный максимум функции в данной точке, вектор – направление на ближайший локальный минимум.

Метод определения максимума (минимума) функции, основанный на вычислении градиента функции называется методом наискорейшего подъема (спуска). В данном итерационном методе вектор шага определяется направлением вектора градиента:

. (4)

Параметр а, определяет длину шага в направлении подъема, а также этот параметр определяет погрешность нахождения максимума (минимума) на сетке. Чем меньше значения параметра а, тем точнее вычисляются значения максимума (минимума). С другой стороны, при малых значениях параметра а итерационный процесс будет продолжаться достаточно долго. Поэтому можно использовать следующий прием: на первом этапе находим максимум (минимум) при относительно больших значениях параметра а, далее, из ближайшей точки повторяем итерации и при уменьшении значения модуля градиента (т.е. мы двигаемся в нужном направлении) дробим значения параметра а до достижения необходимой точности вычислений. Условие останова данного итерацеонного метода заключается в том, что модуль градиента в формуле (4) будет точно равен нулю в точке максимума (минимума). Поэтому достаточно вычислить значение модуля градиента близкое к нулю с некоторой погрешностью.

 

Рассмотрим многомерную функцию, имеющую вид колокола:

, (5)

где точка – точка максимума функции.

В области изменений функция имеет вид:

 

Аналогичные функции можно построить в многомерном пространстве. Например, если размерность пространства n, то функция «n-мерный колокол» будет иметь вид:

. (6)

Точка максимума этой функции - . Функция «n-мерного колокола» (6) при n=2 превращается в (5).

 

Описание алгоритма нахождения максимального (минимального) значения функции двух переменных методом градиентного спуска (подъема):

Задаем размерность n массива аргументов минимизируемой (максимизируемой) многомерной функции, погрешность вычислений ε _, начальные значения шага d по X и Y, координаты начальной точки поиска x₀, y₀, определяем вспомогательный массив для запоминания значений аргументов при дроблении шага х₁, y₁, массив для составляющих градиента функции df.

Вычисляем значение функции в точке с координатами (x₀, y₀).

Вычисляем х и y компоненты вектора градиента функции по формулам:

gx=(f(x₀+dx, y₀)-f(x₀,y₀))/dx;

gy=(f(x₀, y₀+dy)-f(x₀,y₀))/dy.

Вычисляем модуль градиента функции.

Вычисляем новое значение функции и сравниваем с предыдущим. Если максимум (минимум) не найден, продолжаем итерации.

Если второе условие не выполнилось, уменьшаем шаг.

 

Алгоритм на естественном языке приведем для функции «n-мерного колокола».

Строки «комментарии» будем начинать с символа «*».

Для функции с координатами точки максимума: (2, 3, 4, …, n+1) для пространства размерности n.

Определить n как целое, где n – количество аргументов функции.

n=2

Определить массивы x0(n), x1(n), x2(n), df(n), h(n)

* массивы x0, x1, х2 – рабочие массивы координат точек (0), (1),

* (2). Массивы df – компоненты вектора градиента функции,

* h – компоненты векторов шага

Определить глобальный массив xс(n)

* массив xс-массив координат точки максимума функции

 

eps=0.01

d=0.01

 

* в данном цикле задаются координаты точки максимума

Цикл по i от 1 до n

xc(i)=1+i

Конец Цикла

 

* здесь задаются координаты начальной точки для определения

* максимума

Цикл по i от 1 до n

x0(i)=0.1+i

Конец Цикла

 

h0=0.5

 

f0=колокол(@x0,n)

 

Цикл по k от 1 до 10000

Печать "k=",x0(1),x0(2),f0,h0

 

Цикл по j от 1 до n

Цикл по i от 1 до n

x1(i)=x0(i)

Конец Цикла

x1(j)=x0(j)+d

 

f1=колокол(@x1,n)

df(j)=(f1-f0)/d

Конец Цикла

* нормирование градиента

lendf=0

Цикл по i от 1 до n

lendf = lendf + df(i)^2

Конец Цикла

lendf = Корень(lendf)

Цикл по i от 1 до n

df(i)=df(i)/lendf

Конец Цикла

 

Цикл по i от 1 до n

x0(i)=x0(i)+df(i)*h0

Конец Цикла

 

f0_1=колокол(@x0,n)

 

Если f0_1=<f0

Печать " нашли max"

 

Если h0<eps

Печать "найден max x0=(",

Цикл по i от 1 до n

Печать x0(i)

Конец Цикла

Печать ")"

Печать " f0= ", f0

Печать "за ",k," итераций"

Выход Из Программы

Конец Если

 

h0=h0/2

 

Конец Если

 

f0=f0_1

 

Конец Цикла

 

Печать "максимум не найден x="

Цикл по i от 1 до n

Печать x0(i)

Конец Цикла

 

ОПРЕДЕЛИТЬ ФУНКЦИЮ колокол

Параметры x, n

определить массив x(n)

определить локальную переменную r2

r2=0

Цикл по i от 1 до n

r2=r2+(x(i)-xc(i))^2

Конец Цикла

Если r2>10

r2=10

Конец Если

Вернуть 5*(EXP(-0.1*r2))

 

Пример решения на языке VFP:

 

CLEAR

SET DECIMALS TO 15

n=10

DIMENSION x0(n), x1(n), df(n), h(n), x2(n)

PUBLIC ARRAY xc(n)

 

FOR i=1 TO n

xc(i)=1+i

ENDFOR

 

eps=0.01

d=0.01

 

FOR i=1 TO n

x0(i)=1.1+i

ENDFOR

 

h0=0.5

 

f0=функция(@x0,n)

 

FOR k=1 TO 10000

? "k=",STR(x0(1),5,2),STR(x0(2),5,2),f0,h0

 

FOR j=1 TO n

FOR i=1 TO n

x1(i)=x0(i)

ENDFOR

x1(j)=x0(j)+d

 

f1=функция(@x1,n)

df(j)=(f1-f0)/d

ENDFOR

* нормирование градиента

lendf=0

FOR i=1 TO n

lendf = lendf + df(i)^2

ENDFOR

lendf = SQRT(lendf)

FOR i=1 TO n

df(i)=df(i)/lendf

ENDFOR

 

FOR i=1 TO n

x0(i)=x0(i)+df(i)*h0

ENDFOR

 

f0_1=функция(@x0,n)

 

IF f0_1=<f0

? " нашли max"

 

IF h0<eps

? "найден max x0=(",

FOR i=1 TO n

??x0(i)

ENDFOR

??")"

?" f0= ", f0

? "за ",k," итераций"

RETURN

endif

 

h0=h0/2

 

ENDIF

 

f0=f0_1

 

endfor

 

? "максимум не найден x="

FOR i=1 TO n

??x0(i)

ENDFOR

 

FUNCTION функция

LPARAMETERS x, n

DIMENSION x(n)

LOCAL r2

r2=0

FOR i=1 TO n

r2=r2+(x(i)-xc(i))^2

ENDFOR

IF r2>10

r2=10

ENDIF

RETURN 5*(EXP(-0.1*r2))

Пример решения на языке VBA:

'объявление глобального массива xc() неопределенной длины

Public xc()

Sub grd()

Dim x0(), x1(), df(), h(), x2()

 

n = 10

ReDim x0(n), x1(n), df(n), h(n), x2(n)

ReDim xc(n)

 

For i = 1 To n

xc(i) = 1 + i

Next

 

eps = 0.01

d = 0.01

 

For i = 1 To n

x0(i) = 1.1 + i

Next

 

h0 = 0.5

 

f0 = f2(x0, n)

 

For k = 1 To 10000

Debug.Print "k= " & k & ": " & x0(1) & ": " & x0(2) & ": " & f0 & ": " & h0

 

For j = 1 To n

For i = 1 To n

x1(i) = x0(i)

Next

x1(j) = x0(j) + d

 

f1 = f2(x1, n)

df(j) = (f1 - f0) / d

Next

' нормирование градиента

lendf = 0

For i = 1 To n

lendf = lendf + df(i) ^ 2

Next

 

lendf = Sqr(lendf)

For i = 1 To n

df(i) = df(i) / lendf

Next

 

For i = 1 To n

x0(i) = x0(i) + df(i) * h0

Next i

 

 

f0_1 = f2(x0, n)

 

If f0_1 <= f0 Then

If h0 < eps Then

s = ""

For i = 1 To n - 1

s = s & x0(i) & ","

Next i

s = s & x0(n)

 

Debug.Print "Максимум найден за " & k & " итераций!"

Debug.Print "x0=(" & s & ")"

Debug.Print "f0= " & f0

 

Exit Sub

End If

 

h0 = h0 / 2

 

End If

 

f0 = f0_1

 

Next k

 

 

Debug.Print "максимум не найден!"

 

End Sub

 

Function f2(ByRef x, n)

Dim r2

r2 = 0

For i = 1 To n

r2 = r2 + (x(i) - xc(i)) ^ 2

Next

If r2 > 10 Then

r2 = 10

End If

f2 = 5 * (Exp(-0.1 * r2))

End Function

 

Результат работы программы на VBA:

k= 1: 2,1: 3,1: 4,95024916874584: 0,5

k= 2: 1,94188611699158: 2,94188611699158: 4,98314236503072: 0,5

k= 3: 2,1: 3,1: 4,95024916874584: 0,25

k= 4: 2,02094305849579: 3,02094305849579: 4,99780742238446: 0,25

k= 5: 1,94188611699158: 2,94188611699158: 4,98314236503072: 0,125

k= 6: 1,98141458774369: 2,98141458774369: 4,99827321050518: 0,125

k= 7: 2,02094305849579: 3,02094305849579: 4,99780742238446: 0,0625

k= 8: 2,00117882311974: 3,00117882311974: 4,99999305188509: 0,0625

k= 9: 1,98141458774369: 2,98141458774369: 4,99827321050518: 0,03125

k= 10: 1,99129670543171: 2,99129670543171: 4,99962127766207: 0,03125

k= 11: 2,00117882311974: 3,00117882311974: 4,99999305188509: 0,03125

k= 12: 1,99129670543171: 2,99129670543171: 4,99962127766207: 0,015625

k= 13: 1,99623776427573: 2,99623776427573: 4,99992922841264: 0,015625

k= 14: 1,99129670543171: 2,99129670543171: 4,99962127766207: 0,0078125

k= 15: 1,99376723485372: 2,99376723485372: 4,9998057669659: 0,0078125

k= 16: 1,99623776427565: 2,99623776427565: 4,99992922841264: 0,0078125

Максимум найден за 16 итераций!

x0=(1,99376723485379; 2,99376723485379; 3,99376723485379; 4,99376723485379; 5,99376723485379; 6,99376723485379; 7,99376723485361; 8,99376723485361; 9,99376723485361; 10,9937672348536)

f0= 4,99992922841264

Контрольные вопросы

1. Дать определение функции одной переменной. Привести примеры функции одной переменной.

2. Дать определение функции двух переменных. Привести примеры функции двух переменных.

3. Дать определение экстремума функции.

4. Дать определение максимума, минимума функции.

5. Дать определение локального максимума, минимума функции.

6. Дать определение глобального максимума, минимума функции.

7. Дать определение монотонности функции.

8. Объяснить процедуру определения направления роста функции.

9. Дать определение производной функции.

10. Графический смысл производной функции.

11. Дать понятие разностной производной.

12. Получить формулу определения знака шага процедуры определения максимума/минимума функции методом последовательного перебора.

13. Объяснить алгоритм определения максимума/минимума функции методом последовательного перебора.

14. Дать определение точности нахождения максимума/минимума функции.

15. Объяснить алгоритм определения максимума/минимума функций специального вида («полочка», «ступенька»).

16. Дать определение градиента функции нескольких переменных.

17. Получить разностную формулу градиента функции.

18. Дать численное определение х-компоненты вектора градиента функции.

19. Объяснить, что такое направление градиента вектора функции.

20. Объяснить алгоритм метода градиентного спуска, подъема.

21. Дать определение гладкой и разрывной функции.

22. Что является критерием окончания итерационного процесса метода градиентного спуска (подъема)?

 

Задания

1. Проанализировать поведение функции, построить график, приближенно определить положение максимума или минимума функции. Найти максимум (минимум) заданной функции одной переменной численным методом. Точность определения экстремума задать самостоятельно:

1. f (x)=(x+ 1)²/ (x –1)

2. f (x)=(x+ 1)³/ (x –1)²

3. f (x)=2 x ² – x ⁴

4. f (x)=0,1 x ³ – 2 x ² + 10 x

5. f (x)=(x ² + 1) /(x ‑ 1)

6. f (x)=0,4 x ³ – 3 x ² + 8 x

7. f (x)=0,1 x ³ – 2 +x ² ‑ 10 x

8. f (x)=(2 x ² + 1) / (x – 1)

9. f (x)= (x ² + 3) / (x ‑ 1)

10. f (x)= (2 x ² + 1) / (x ‑ 2)

11. f (x)=0,3 x ³ – 2 x ² + 6 x

12. f (x)= x ³ – 6 x ² + 9 x –4

13. f (x)= x (x –1)²(x– 2)

14. f (x)= x+ 1/ x

15. f (x)=2 x /(1 + x ²)

16. f (x)=(x ² – 3 x+ 2)/(x ² + 2 x+ 1)

17. f (x)=(2 x – x ²)^1/2

18. f (x)= x (x– 1) ^1/3

19. f (x)= xe ^{– x}

20. f (x)= x ^1/2 ln (x)

21. f (x)= xln ²(x)

22. f (x)=cos(x) + 0.5 cos(2 x)

23. f (x)=10/(1+sin² x)

24. f (x)= e^x sin(x)

25. f (x)= x ² – 4 x+ 6

26. f (x)=(5 – 4 x)^1/2

27. f (x)=3 x – x ³

28. f (x)=(x – 2)(x ² + 1)^1/2

29. f (x)=2 x – tg(x)

30. f (x)=(x + 2) e ^{1/ x}

31. f (x)=sin(x) + 1/3sin3 x

32. f (x)=(x ⁴ + 8)/(x ³ + 1)

33. f (x)=(x – 3) x ^1/2

2. Построить график функции (поверхность), приближенно определить положение максимума или минимума функции. Найти максимум (минимум) заданной функции двух переменных методом градиентного спуска (подъема). Точность определения экстремума задать самостоятельно.

1. z(x,y)= x ² + (y –1)²

2. z(x,y)= x ² – (y –1)²

3. z(x,y)=(x – y+ 1)²

4. z(x,y)= x ² – xy + y ²–2 x + y

5. z(x,y)= x ² y ³(6– x – y)

6. z(x,y)= x ³ + y ³–3 xy

7. z(x,y)= x ⁴ + y ⁴– x ²–2 xy – y ²

8. z(x,y)=2 x ⁴ + y ⁴– x ² –2 y ²

9. z(x,y)= x y +50/ x +50/ y

10. z(x,y)=1–(x ²+ y ²)^1/2

11. z(x,y)= (5–2 x + y)exp(x ²– y)

12. z(x,y)=(8 x ²–6 xy +3 y ²) exp(2 x +3 y)

13. z(x,y)=(5 x +7 y –25) exp(–(x ²+ xy + y ²))

14. z(x,y)= x ²+ xy + y ²–4ln x –10ln y

15. z(x,y)=sin x +cos y +cos(x – y)

16. z(x,y)=sin x sin y sin(x + y)

17. z(x,y)= xy ln(x ²+ y ²)

18. z(x,y)= x + y +4 sin x sin y

19. z(x,y)=(x ²+ y ²) exp(– (x ²– y ²))

20. z(x,y)= x ²+2 y ²–ln(x + y ²)