Интегральный закон погасаний.

1. ОЦК-решетка. Базис ОЦК-решетки состоит из двух одинаковых атомов с координатами {{000}} {{ }}, т.е. для одного из атомов х₁=y₁=z₁=0, а для другого х₂=y₂=z_{2= .} Тогда структурный фактор имеет вид: F_hkl=f{1+exp[ip(h+k+l)]}, где f-рассеивающая способность отдельного атома. При четной сумме индексов (h+k+l) структурная амплитуда отлична от нуля. При нечетной сумме (h+k+l) дополнительные слагаемые (h+k+l)/2 изменяют фазу на 180⁰, изменяя знак экспоненты. В этом случае амплитуда равна нулю. Все отражения hkl с нечетной суммой индексов для структуры с ОЦК -решеткой гаснут. Физический смысл того, что в дифференциальной картине для ОЦК - решетки отсутствуют отражения (100) состоит в следующем. Для присутствия отражения необходимо чтобы, лучи, отраженные от первой и третьей плоскости (они ограничивают элементарный куб) имели разность фаз 2p. Дополнительная промежуточная плоскость в ОЦК - решетке, расположена посредине между плоскостью 1 и 3. Отраженный от нее луч сдвинут по фазе относительно луча, отраженного первой плоскостью на p, поэтому отражения от нее гасит отражение от первой плоскости. Если плоскости в ОЦК - решетке состоят из разных атомов, то такого гашения не будет.

2. ГЦК - решетка. Базис ГЦК - решетки состоит из четырех одинаковых атомов с координатами {{000}}; {{0 1/2 1/2}}; {{1/2 0 1/2}}; {{1/2 1/2 0}}. Тогда структурный фактор принимает вид

F_hkl = f{1+exp[ip(k+l)] + exp[ip(h+l)]+ exp[ip(h+k)]}. (3.10)

Если все (h+k), (h+l), (k+l) - четные, то все слагаемые равны по модулю и знаку. Это имеет место, когда hkl - либо все одновременно четные, либо все одновременно нечетные. Если индексы смешанные (т.е. одни из них четные, а другие нечетные и наоборот), то в этих случаях одна пара членов уничтожает другую и структурная амплитуда равна нулю. Таким образом, в ГЦК - решетках гаснут все отражения hkl со смешанными индексами.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновских лучей (l=1,47Å). Определить расстояние между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда лучи падают под углом j =31⁰30¢.

РЕШЕНИЕ.

Из уравнения Вульфа-Брэгга найдем межплоскостное расстояние:

.

Угол q является дополнительным углом к углу j: q = = 58⁰30`. Подставим числовые значения:

d = м=1,7 Å=0,17 нм.

ОТВЕТ: 0,17 нм.

Пример 2: Кристаллы меди имеют гранецентрированную кубическую решетку. При комнатной температуре ребро элементарного куба равно 3,608Å. Монокристалл меди вырезан параллельно одной из граней элементарного куба. Пусть на поверхность кристалла падает монохроматический пучок рентгеновских лучей с длиной волны 1,658 Å. Показать, что плоскости, параллельные поверхности, будут отражать рентгеновские лучи, если угол между пучком и поверхностью кристалла приближенно равен 27⁰ или 67⁰.

РЕШЕНИЕ.

Как известно, отражение от кристалла возникает в том случае, если выполняется условие Вульфа-Брэгга: 2d sin q = nl.

Откуда sin q = nl/2d. При n = 2: sin q = l/d = 1,658/3,608» 0,4595; q» 27⁰.

При n = 4: sin q₂ = 2l/d = 2 ×1,658/3,608» 0,9190; q» 67⁰.

ОТВЕТ: При n = 2 q»27⁰, при n = 4 q» 67⁰.

Пример 3: Какое максимальное число линий может появиться на рентгенограмме от простой кубической решетки с постоянной а=2,86×10^-8см, если исследование ведется на кобальтовом излучении с длиной волны 1,789×10^-8см.

РЕШЕНИЕ.

По формуле Вульфа-Брэгга для кубической решетки:

.

Так как максимальное значение sinq=1, то ;

(h²+k²+l²)_max=10,2. Следовательно, на рентгенограмме появятся линии от плоскостей, у которых сумма квадратов индексов Миллера не превышает 10, а именно:

(hkl) (100) (110) (111) (200) (210) (211) (220) (300) (310)

h²+k²+l² 1 2 3 4 5 6 8 9 10.

ОТВЕТ: 9 линий.

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

3.1. Определить постоянную решетки кристалла LiJ, если известно, что зеркальное отражение первого порядка рентгеновских лучей с длиной волны 2,10Å от естественной грани этого кристалла происходит при угле скольжения 10⁰5¢.

ОТВЕТ: a = 6 Å.

3.2. Известно, что длина волны характеристического рентгеновского излучения, полученного с медного анода, составляет 1,537 Å. Эти лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают дифракцию от плоскостей (111) под брэгговским углом 19⁰2¢. Алюминий имеет структуру гранецентрированного куба, плотность его 2699 кг/м³, молярная масса - 26,98 г/моль. Рассчитать число Авогодро по этим экспериментальным данным.

ОТВЕТ: N_A = 6×10²³ моль^-1.

3.3. Показать, что интерференционные максимумы от простой кубической решетки при заданном направлении падающих лучей возможны не для любых длин волн, а только для вполне определенных.

ОТВЕТ:

3.4. Показать для случая простой кубической решетки, что формула Вульфа-Брэгга является следствием условий Лауэ.

3.5. Рассчитать теоретические углы q под которыми появятся линии (101) и (110) от кристалла сегнетовой соли в несегнетоэлектрической фазе при рентгеносъемке в медном К_a-излучении. Решетка кристалла ромбическая с параметрами: а=11,878 Å; b=14,246 Å; с=6,218 Å.

ОТВЕТ: q₁ = 9⁰36^|, q₂ = 5⁰54^|.

3.6. Определить разделение дублета меди К_a1- К_a2 при углах отражения лучей 20 и 80⁰, если изменению угла q на 0,75⁰ на пленке соотвествует 1 мм.

ОТВЕТ: dq₂₀ = 9,1×10^-4; dq₈₀ = 1,42×10^-2.

3.7. Вычислить угол Брэгга q для линии (300) на дебаеграмме пирита (FeS₂) (кубическая система а = 5,42 Å), снятой на излучении железа Fe_К = 1,937 Å. Как объяснить тот факт, что на самом деле на рентгенограмме линия под таким углом появится только если излучение не отфильтрованное (Fe_Кb=1,757 Å).

ОТВЕТ: q = 10⁰27^|. Отражение (300) отсутствует, т.к. пирит обладает ГЦК решеткой, для которой hkl либо все четные, либо все нечетные.

3.8. Снята рентгенограмма вращения с тетрагонального монокристалла. Длина волны рентгеновского излучения 1,542 Å. Рентгеновский пучок перпендикулярен оси кристалла. Радиус камеры 3 см, длина 10 см. На нулевой слоевой линии видны пятна на расстояниях 0,54; 0,75; 1,08; 1,19; 1,52; 1,63; 1,71 и 1,97 см от центра пленки (место выхода прямого пучка). Расстояние первой слоевой линии от нулевой линии составляет 0,66 см. Проиндифицировать наблюдаемые пятна на нулевой линии, вычислить параметры ячейки и расстояние каждой наблюдаемой слоевой линии от нулевой линии.

ОТВЕТ: а = 8,64 Å; с = 7,18 Å. Будут видны только 1, 2 и 3-я слоевые линии на расстояниях 0,66; 1,43 и 2,53 см над нулевой слоевой линией.

3.9. Найти плотность кристалла неона (при 20К), если известно, что решетка гранецентрированной кубической сингонии. Постоянная решетки при той же температуре а = 0,452 нм, молярная масса – 20,18 г/моль.

ОТВЕТ: r = 1,46×10³ кг/м³.

3.10. Какова длина волны монохроматических рентгеновских лучей, падающих на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол между направлением падающих лучей и гранью кристалла q-3⁰. Принять, что расстояние между атомными плоскостями кристалла d = 3,0 Å.

ОТВЕТ: l = 0,31 Å.

3.11. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения 60⁰ на естественную грань монокристалла NaCl, плотность которого 2,16×10³ кг/м³. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения.

ОТВЕТ: l = 2,44Å.

3.12. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111). Определить расстояние между соседними плоскостями, если параметр решетки а = 3 Å.

ОТВЕТ: d=1,73 Å.

3.13. Определить параметр а примитивной кубической решетки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, заданных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измерении, оказалось равным 0,12 нм.

ОТВЕТ: а = 3,6 Å.

3.14. Появятся ли на рентгенограмме линии, возникшие в результате отражения от плоскостей (200) и (101) гранецентрированной кубической решетки?

ОТВЕТ: Только от плоскости (200).

3.15. Показать, что при рассеянии рентгеновских лучей атомами кристалла с пространственной объемноцентрированной решеткой в отражении на рентгенограмме не возникают линии от плоскостей, у которых значение суммы индексов h+k+l -число нечетное.

ОТВЕТ: h+k+l = 2n+1.

3.16. При съемке дебаеграммы серебра при температурах 18⁰С и 630⁰С интересующая нас линия появилась при углах 80⁰9` и 76<sup>0</sup>54`. Вычислить коэффициент термического расширения.

ОТВЕТ: a=18,8×10^-6 град^-1.

3.17. Показать, что при определении коэффициента термического расширения рентгеновским методом более точные результаты получаются при измерениях на линиях с большими брэгговскими углами.

ОТВЕТ: Изменение угла при данном изменении параметра решетки будет максимальным при q ® 90⁰.

3.18. При прецизионном определении параметров решетки b-олова методом асимметричной рентгеновской съемки на Cu-излучении были получены значения q для линий (503)_a1 и (271)_a1: q₍₅₀₃₎=79,017⁰, q₍₂₇₁₎=82,564⁰. Найти параметры решетки.

ОТВЕТ: а = 5,831 Å, с = 3,182 Å.