Представление результатов измерений

Следует понимать, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Любое измерение всегда дает результат, несколько отличающийся от истинного значения изучаемой величины. Принято говорить, что результат измерения содержит некоторую ошибку, или отягчен ошибкой. Поэтому в задачу измерений входит не только нахождение самой искомой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности.

 

Запись результата измерений

 

Пусть мы произвели n измерений некоторой физической величины x. Результаты этих отдельных измерений обозначим через x₁, x₂,... x_n. Истинное значение измеряемой величины (неизвестное нам) обозначим буквой X.

В соответствии с требованиями Государственных стандартов ГОСТ 8.011-72 и ГОСТ 8.207-76 [2, 3], сообщая об измеренной нами физической величине x, мы всегда должны, кроме полученного результата, указать приближенную ошибку D x наших измерений (называемую еще абсолютной погрешностью), записав результат в виде

X = < х > ± D x	(p = 0.95)	(5.1.1)

с обязательным указанием единиц измерения и надежности p, для которой ГОСТ 8.207-76 предписывает значение p = 0.95.

Запись (5.1.1) означает, что истинное значение X измеряемой величины x лежит в интервале (<x> - D x, < x > + D x) с некоторой вероятностью p (по ГОСТу эта вероятность должна быть равна 95 %).

 

Среднее значение

 

Если измерения сопровождаются разбросом экспериментальных данных, в качестве среднего значения < x > измеряемой величины x в выражении (5.1.1) принимается среднее арифметическое значение

	(5.2.1)

где n – число измерений. При использовании этой формулы нужно иметь в виду, что в ней все x независимы и равновероятны. Мы будем предполагать, что это условие всегда выполнено.

 

Истинное значение

 

Строго говоря, под «истинным» значением X измеряемой величины следует понимать среднее арифметическое значение при бесконечном числе измерений (в формуле (5.2.1) n следует устремить к ¥). Поскольку выполнить бесконечное число измерений принципиально невозможно, то следует согласиться, что экспериментатор может иметь дело только со средними арифметическими величинами < x> и принять, что X @ < x >.

 

Доверительный интервал

 

Интервал (< x > - D x, < x > + D x) - с центром в точке < x > и полушириной, равной погрешности D x - в котором с вероятностью p (p = 0.95) заключено истинное значение X измеряемой величины x, называется доверительным интервалом.

Правила и формулы, на основании которых, в соответствии с ГОСТ, по измеренным величинам x₁, x₂, …, x_n рекомендуется вычислять полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность результата D x), будут изложены в главе 8. Более подробное освещение этих вопросов будет дано на старших курсах в теории вероятностей и математической статистике.

 

Коэффициент надежности

 

Параметр p = 0.95 называется коэффициентом доверия, или коэффициентом надежности, или просто надежностью. Значение коэффициента надежности p = 0.95, предписываемое ГОСТом, означает, что вероятность попадания результатов достаточно длинной

 

ВИДЫ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

 

Точность измерений обычно ограничивается несовершенством измерительных приборов, несовершенством наших органов чувств и статистическим характером изучаемых явлений.

При косвенных измерениях, когда конечный результат находится подстановкой непосредственно измеренных величин в некоторую формулу, точность может зависеть и от того, насколько хорошо эта формула описывает зависимость изучаемой характеристики от измеряемых параметров.

,

Абсолютная погрешность

 

Абсолютной ошибкой i -го измерения D x_i называется отклонение результата i - го измерения x_i от среднего значения < x >

D xi = < x > - xi.	(6.1.1)

Абсолютной ошибкой, или абсолютной погрешностью результата всех измерений называется полуширина D x доверительного интервала (<x> - D x, < x > + D x).

 

Относительная погрешность

 

Качество результатов измерений обычно удобно характеризовать не абсолютной величиной ошибки D x, а ее отношением к измеряемой величине < x >, которое называется относительной ошибкой и обычно выражается в процентах:

D xотн = D x / < x >.	(6.2.1)

Удобство применения относительной ошибки обусловлено тем, что в большинстве приложений именно эта величина играет существенную роль. Наприм ер, будем измерять какую либо длину с точностью до 1 см. В случае, когда речь идет об определении длины карандаша, указанная точность будет весьма низкой – около 10 %. С другой стороны, если поставить перед собой задачу - с той же абсолютной погрешностью в 1 см определить расстояние от Перми до Москвы, то такая точность будет чрезмерно высокой (~ 10^{- 6} %). Проводить измерения с названной точностью в этом случае будет очень трудно, да и вряд ли необходимо.

Приведенный пример показывает, что указание абсолютной ошибки мало отражает действительную точность измерений. В противоположность этому, относительная погрешность, сопоставляющая величину ошибки с измеряемой характеристикой, дает непосредственное представление о точности измерений.

 

 

По характеру происхождения все ошибки измерений можно разделить на три типа – систематические, случайные и грубые ошибки, или промахи.

 

Систематическая ошибка

 

Систематическая ошибка – это смягченное выражение, заменяющее слова «ошибка экспериментатора».

Систематические ошибки остаются, как правило, постоянными на протяжении всей серии опытов. Величина их может быть и известной, и неизвестной заранее. Например, курс шхуны «Пилигрим»[8] содержал неизвестную Дику Сэнду, но известную Негоро систематическую ошибку.

Систематические погрешности могут быть обусловлены различными причинами:

· ограниченной точностью изготовления прибора (погрешностью прибора). Шкала линейки может быть нанесена неточно (неравномерно); взвешивание может производиться с помощью неточных гирь; положение нуля термометра может не соответствовать нулевой температуре; капилляр термометра может иметь разное сечение в разных участках шкалы; стрелка амперметра может не располагаться на нуле в отсутствие электрического тока через прибор;

· такие ошибки часто возникают из-за того, что реальная установка в чем-то отличается от идеальной, или условия эксперимента отличаются от предполагаемых теорией, а поправки на это несоответствие не делаются. Систематическая погрешность возникает при измерении массы, если не учитывается действие выталкивающей силы воздуха на взвешиваемое тело и на разновесы; при измерениях объема жидкости или газа, если не учитывается тепловое расширение; при калориметрических измерениях, если не учитывается теплообмен прибора с окружающей средой. Другими примерами эффектов, которыми может быть обусловлена обсуждаемая ошибка, являются термо-ЭДС в контактах, сопротивление подводящих проводов, «мертвое» время счетчиков частиц;

· систематические ошибки могут быть обусловлены также неправильным выбором метода измерений. Например, мы совершим такую ошибку, определяя плотность какого-то материала посредством измерений объема и веса образца, если этот образец содержит внутри пустоты, например, пузыри воздуха, попавшие туда при отливке;

· мы допускаем систематическую погрешность, округляя численную величину до какого-либо приближенного значения, например, полагая π = 3, π = 3.1, π = 3.14 и т. д. вместо π = 3.14159265…

 

При наличии скрытой систематической погрешности результат, приведенный с незначительной ошибкой, будет выглядеть вполне надежным, хотя на самом деле он является неверным.

Классическим примером может служить опыт Милликена по измерению элементарного электрического заряда e. В этом эксперименте требуется знать вязкость воздуха. Милликен взял заниженную величину вязкости и получил

 

e = (1.591 ± 0.002)∙10^{- 19} Кл.

 

В настоящее же время принято значение

 

e = (1.60210 ± 0.00002)∙10^{- 19} Кл.

 

Долгое время величины ряда других атомных констант, таких, как постоянная Планка и число Авогадро, базировались на значении элементарного электрического заряда e, полученном Милликеном, и, следовательно, содержали ошибку, превышающую 0.5 %.

Систематические ошибки не поддаются математическому анализу, и поэтому их нужно выявить и устранить. Если удается обнаружить причину и найти величину сдвига (например, вес вытесненного телом воздуха при точном взвешивании), то систематическую погрешность можно исключить введением поправки к измеренному значению. Однако общих рецептов и универсальных правил, позволяющих обнаружить систематические ошибки конкретного измерения, не существует Выявление, оценка и устранение таких ошибок требует опыта, догадки и интуиции экспериментатора. Нужно тщательно продумывать методику опытов и придирчиво выбирать аппаратуру. Иногда систематическую ошибку, обусловленную измерительным прибором, можно уменьшить, используя более точный прибор, желательно, другого типа. Наиболее действенный способ обнаружения систематических ошибок – это сравнение результатов измерений одной и той же величины, выполненных принципиально разными методами.

 

Случайная ошибка

 

Случайные ошибки проявляются в разбросе отсчетов при повторении измерений в одних и тех же доступных контролю условиях.

Величина случайных ошибок различна даже для измерений, выполненных одинаковым образом. Случайные ошибки происходят вследствие меняющихся от измерения к измерению неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не всегда может быть учтено. Даже при взвешивании одними и теми же гирями мы, вообще говоря, будем получать разные значения веса. Источниками ошибок могут быть, например, колебания воздуха, воздействующие неодинаково на чашки весов; пылинка, осевшая на одну из чашек; нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешивающего; разное трение в правом и левом подвесах чашек и множество других причин, которые практически невозможно учесть. При измерениях периода колебаний маятника с помощью секундомера скажутся погрешности моментов пуска и остановки секундомера, ошибка в величине отсчета, небольшая неравномерность движения маятника вследствие трения. Случайные погрешности вызываются также сотрясениями здания. В опытах по измерению скорости радиоактивного распада ядер сама определяемая величина определена лишь статистически, как некоторое среднее значение, и флуктуации числа распадов в равные промежутки времени будут наблюдаться даже при идеально точной аппаратуре.

Проделав измерения и используя методы обработки, основанные на теории ошибок, можно дать оценку случайной ошибки и указать вероятность, с которой истинное значение измеряемой величины находится внутри некоторого доверительного интервала.

Случайную ошибку можно уменьшить путем многократного повторения измерений.

 

Промах

 

Следует особо выделить такой вид ошибок, как грубый просчет, или промах. Под промахом понимается ошибка, сделанная вследствие неверной записи показаний прибора, недосмотра экспериментатора, или вызванная неисправностями аппаратуры. Например, неправильно записанный отсчет, замыкание электрической цепи являются промахами, которых следует по возможности избегать.

В качестве примера промаха при взвешивании можно привести запись веса 100.20 г вместо 1000.20 г. При измерениях длины метровой линейкой промах может появиться, если один из концов измеряемого предмета окажется совмещенным не с нулевым делением линейки, а, скажем, с делением 10 см.

Если серия из небольшого числа измерений содержит грубую ошибку – промах, то наличие этого промаха может сильно исказить как среднее значение < x > измеряемой величины, так и погрешность измерения D. x. Поэтому такой промах необходимо исключить из окончательного результата. Обычно промах имеет значение, резко отличающееся от других данных. Иногда промах удается выявить, повторив измерение.

Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записи данных. Как правило, грубые ошибки могут быть обнаружены, поэтому результаты таких измерений следует отбрасывать.