История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-11-17 | 246 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.
В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:
(4.1)
при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.
Решением дифференциального уравнения (4.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общим решением дифференциального уравнения (4.1) -го порядка называется такое его решение:
(4.2)
которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).
Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи экономики, физики, биологии, экологии и т.п.
v Уравнения, интегрируемые непосредственно.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением, интегрируемым непосредственно, если оно может быть представлено в виде:
(4.3)
или в виде:
(4.4)
где , , - некоторые функции переменной .
В этом случае уравнение (4.3) можно проинтегрировать непосредственно, т. е.
(4.5)
Уравнение (4.4) можно привести к виду (4.3):
,
тогда
. (4.6)
Пример
Решить уравнение .
Решение.
.
Проинтегрируем непосредственно:
.
Итак,
.
Пример
Решить уравнение .
Решение.
|
Преобразуем уравнение:
;
.
Итак,
.
Дифференциальные уравнения первого порядка
v Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
(4.7)
или в виде:
(4.8)
где - некоторые функции переменной ; - функции переменной .
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример
Решить уравнение .
Решение.
.
Умножим обе части равенства на .
.
Получившееся равенство разделим на .
;
откуда:
; ; ; .
v Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:
, (4.9)
где - некоторая функция (одной переменной).
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени , если для произвольного числа выполняется равенство:
(4.10)
Однородные уравнения при помощи подстановки приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Так как , то уравнение имеет вид (4.9) при . Положим , отсюда и . Подставим в преобразованное уравнение:
,
.
Получим уравнение с разделяющимися переменными:
.
Разделим обе части равенства на и умножим на (, т.е. , но следует отметить, что является решением исходного уравнения).
.
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:
,
,
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:
, откуда (при получаем решение ).
v Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(4.11)
где и - некоторые (непрерывные) функции переменной .
Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения: будем искать решение в виде , тем самым искомыми становятся функции и , одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения (4.11). Т.е. используется в решении замена .
|
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть , , тогда уравнение примет вид:
или .
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например ) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.
или ; откуда: .
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при , откуда .
При исходное уравнение обратится в уравнение:
или .
Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем:
.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!