Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-11-17 | 251 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть функция задана на интервале .
Определение: | Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое, что при всех , удовлетворяющих условию выполнено: . |
Определение: | Число называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке , если для любого числа существует такое, что для любого выполнено: . |
Обозначение:
§ (для левостороннего предела);
§ (для правостороннего предела).
Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах:
1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют правосторонний и левосторонний пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
2. Арифметические действия над пределами:
Если и , то справедливы утверждения:
§ ;
§ ;
§ , при условии, что .
1. Первый замечательный предел:
. (1.1)
2. Второй замечательный предел:
или . (1.2)
Раскрытие некоторых видов неопределенностей
Начинать нахождение предела надо с подстановки в функцию предельного значения аргумента. При этом можем получить неопределенности вида:
.
1. Неопределенность вида (в числителе и знаменателе – многочлены).
Примеры такого вида решаются путем почленного деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной, при этом:
а) если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Пример № 1.
,
(т.к. при )
б) если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя, то предел равен бесконечности:
Пример № 2.
,
(т.к. в пределе получили отношение конечного к бесконечно малому).
|
в) если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, то предел равен нулю:
Пример № 3.
.
2. Неопределенность вида .
а) В числителе и знаменателе – многочлены. Надо разложить числитель и знаменатель на множители, с целью выделения критического множителя, т.е. множителя, который порождает неопределенность.
Пример № 4.
.
б) Выражение содержит иррациональность в числителе или знаменателе дроби (или и в числителе и в знаменателе).
Примеры такого вида решаются путем домножения числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю (знаменателю или и числителю и знаменателю одновременно).
Пример № 5.
;
Пример № 6.
.
Пример № 7.
Вычислить: .
Решение.
Вычислим, используя первый замечательный предел . Пусть , тогда . Если , то . Используя эту замену, имеем:
.
Пример № 8.
Вычислить: .
Решение.
Используя тригонометрическое преобразование, имеем:
.
Пример № 9.
Вычислить: (неопределенность ).
Решение.
Используя тригонометрические преобразования, имеем:
.
3. Неопределенность вида . Раскрывается с помощью второго замечательного предела.
.
Пример № 10.
Вычислить: (неопределенность ).
Решение.
Для решения используем второй замечательный предел . Имеем:
.
Сделаем замену . Т. к. , то и . Тогда:
.
Отсюда:
.
Пример № 11.
Вычислить: (неопределенность ).
Решение.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!