Тема 3. Модели управления запасами

Для нормальной работы любого торгового или промышленного предприятия необходимо иметь некоторый запас товара, сырья или расходных материалов. Очевидно, что экономически невыгодно иметь как чрезмерный, так и недостаточный запас. В первом случае в излишнем количестве запаса замораживается капитал, который не приносит прибыль (омертвение средств), а также возрастают расходы на хранение запаса. Во втором случае возможны потери, связанные с нарушением производственного процесса или процесса торговли. Проблема управления запасами состоит в определении размера создаваемого запаса и момента времени его пополнения, при которых суммарные затраты, связанные с приобретением и содержанием запасов, а также с потерями от дефицита, были бы минимальными.

Виды затрат в задачах управления запасами:

1. Затраты на содержание запасов (условно-переменные). Включают стоимость аренды складских помещений, амортизации оборудования, отопления, освещения, вентиляции и охраны складов, стоимость складской переработки материалов, издержки учета и инвентаризации, потери от изменения цен за время хранения, потери от порчи и т.д. Эти затраты находятся в прямой зависимости от размера запасов. Обозначим:

h – стоимость хранения на складе единицы запаса в единицу времени.

(Например: стоимость хранения на складе одной тонны сахара в сутки).

2. Затраты на организацию и реализацию заказа партии товара (условно-постоянные). Включают расходы на оформление заказов, заключение договоров (почтово-телеграфные, командировочные расходы), погрузочно-разгрузочные операции, транспорт. Считается, что расходы на организацию и реализацию одного заказа не зависят от размера заказываемой партии (это упрощение модели). Обозначим:

K – стоимость организации заказа одной партии товара.

(Отметим, что это не стоимость самого товара, а стоимость доставки его на склад)

3. Затраты, связанные с дефицитом. Это потери из-за задержек в удовлетворении спроса на товары. Включают денежные штрафы за несвоевременную поставку или недопоставку товара, расходы, связанные с экстренной доставкой, потери от простоя оборудования и рабочей силы из-за отсутствия сырья или материалов и т.д.

 

Модель Уилсона определения оптимального размера заказываемой партии

В модели Уилсона рассматривается идеальный склад, для которого принимаются следующие предположения (упрощения реальной действительности):

1) Затраты на организацию заказа партии товара (K) не зависят от объема партии.

2) Запас со склада расходуется равномерно, с известной постоянной скоростью (M).

3) Объем заказываемой партии постоянен и равен Q (ед.товара).

4) Запас пополняется мгновенно (пренебрегаем временем доставки, разгрузки, оформления документов).

5) Дефицит товара не допустим. Поэтому и затраты, связанные с дефицитом, в модели не рассматриваются.

6) На складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Как только объем запаса достигает нуля, происходит мгновенное пополнение запаса до максимального уровня Q. Интервал между двумя поставками T (ед. времени) постоянен.

График такой идеальной работы склада в форме зависимости величины запаса y от времени t имеет вид, показанный на рис.3.1.

 

Рисунок 3.1 – График идеальной работы склада

 

Известными считаются следующие параметры:

M – скорость расходования запаса со склада (ед.товара/ед.времени);

h - стоимость хранения на складе единицы запаса в единицу времени. (денежных ед./ед. времени);

K - стоимость организации заказа одной партии товара (денежных ед.).

Требуется найти оптимальный объем заказываемой партии Q^*, при котором суммарные затраты на хранение и организацию заказов товара были бы минимальными. Также при этом определяется оптимальный интервал времени между поставками товара T^*.

Затраты на хранение зависят от времени хранения, а затраты на организацию заказов зависят от количества поставок. Чтобы можно было их сравнивать, нужно привести их одной единице измерения. Поэтому в качестве критерия оптимальности в данной модели будем рассматривать общие затраты склада в единицу времени (определение критерия оптимальности дано в п.1.1).

Общие затраты в единицу времени Z - это сумма затрат на хранение в единицу времени Z₁ и затрат на организацию заказов в единицу времени Z₂: Z=Z₁+Z₂.

Очевидно, что если увеличивать объем партии товара, то затраты на хранение в единицу времени (Z₁) будут расти (поскольку в каждый момент на складе находится больший объем товара). Причем, как будет показано ниже, эта зависимость является линейной. Она показана на рис.3.2 в виде прямой Z₁.

 

Рисунок 3.2 – Зависимость затрат в единицу времени от объема партии

 

Затраты на организацию заказов в единицу времени (Z₂) при увеличении объема партии будут уменьшаться (поскольку нужно реже завозить товар). При этом зависимость затрат на организацию заказов в единицу времени от объема партии товара выражается обратной функцией. На рис. 3.2. она показана в виде кривой Z₂.

Суммарные затраты в единицу времени Z могут быть получены как сумма графиков Z₁ и Z₂. На рисунке видно, что функция Z имеет минимум в той точке, где пересекаются графики функций Z₁ и Z₂. Эта точка соответствует оптимальному объему партии товара.

Выведем формулу расчета этого оптимального объема.

Средний уровень запаса за интервал времени T равен , а затраты на хранение за интервал времени T равны . Разделив эту величину на интервал времени T, получим затраты на хранение в единицу времени:

(3.1)

Чтобы определить затраты на заказ товара в единицу времени, нужно разделить стоимость заказа одной партии (К) на время, в течение которого хватает этого запаса (T): . Учитывая, что за время T полностью израсходуется вся доставленная партия товара Q, а скорость расходования товара со склада известна и равна M, можно записать равенство: . Подставив это выражение в формулу для Z₂, получим:

(3.2)

 

Оптимальный объем партии товара соответствует точке, в которой равны затраты на хранение и заказ в единицу времени. Таким образом, его можно найти из соотношения:

Выразив из этого соотношения , получим:

(3.3)

Формула (3.3) называется формулой Уилсона и дает возможность рассчитать оптимальный объем партии товара для идеального склада.

Если объем партии товара будет больше, чем рассчитанный по формуле Уилсона оптимальный объем, то возрастают издержки на хранение в единицу времени. И хотя издержки на организацию заказов уменьшаются, но гораздо меньше, так что общие издержки склада возрастут.

Если взять объем партии меньше, чем оптимальный, то общие издержки возрастут за счет издержек на организацию заказов.

 

Пример 3.1 На склад доставляют цемент на барже по 1000 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т. цемента. Накладные расходы по организации доставки партии цемента равны 2 тыс. руб. Издержки хранения 1 т. цемента в течение суток равны 0,1 руб. Требуется определить:

· период поставки и среднесуточные общие издержки склада на организацию поставки и хранение цемента;

· какой должна быть вместимость баржи, чтобы общие среднесуточные издержки склада были минимальны?

Решение. По условию задачи можно записать следующие значения параметров задачи:

т цемента – объем фактической партии поставки;

т цемента в сутки – скорость расходования запаса со склада;

руб – стоимость организации доставки одной партии;

руб в сутки – стоимость хранения одной тонны цемента в течение одних суток.

При доставке партиями по 1000 т цемента интервал между поставками равен:

(дней)

Среднесуточные издержки склада на хранение составят по формуле (3.1)

(руб)

Среднесуточные издержки склада на организацию и реализацию заказа партии товара составят по формуле (3.2)

(руб)

Тогда общие среднесуточные издержки склада при использовании партии в 1000 т цемента:

(руб)

Рассчитаем оптимальный размер партии цемента по формуле Уилсона (3.3):

(т цемента)

При таком объеме партии следует завозить цемент на склад каждые

(дня)

Среднесуточные издержки склада на хранение в оптимальном режиме:

(руб. в сутки)

Среднесуточные издержки склада на организацию заказа партии товара в оптимальном режиме:

(руб. в сутки)

Очевидно, что в оптимальном режиме среднесуточные издержки склада на хранение и организацию заказов равны.

Общие среднесуточные издержки склада при использовании оптимального размера партии цемента:

(руб. в сутки),

что меньше соответствующего значения при размере партии в 1000 т.

Фактический объем поставки меньше оптимального, поэтому поставки должны быть организованы чаще. Это ведет к увеличению среднесуточных издержек на организацию и реализацию заказа партии товара (см. для обоих размеров партии). Таким образом, общие издержки склада возрастают именно за счет издержек на организацию заказов. Складу рекомендуется организовать поставки партиями по 1414 т, если есть возможность использовать соответствующий размер баржи.

 

Примеры тестовых заданий по теме 3

1. Что является критерием оптимальности в модели Уилсона?

a) объем партии товара

b) скорость расходования товара со склада

c) общие затраты склада в единицу времени

d) затраты склада на хранение в единицу времени

e) затраты склада на заказ одной партии товара

f) интервал времени между поставками

Ответ: c)

2. Стоимость организации заказа одной партии товара равна 100 у.е. Объем поставляемой партии – 50 шт. По формуле Уилсона рассчитан оптимальный объем партии, равный 20 шт. Какова будет стоимость организации заказа такой партии?

a) 20 у.е.

b) 40 у.е

c) 50 у.е.

d) 100 у.е.

e) 2000 у.е.

Ответ: 100 у.е., т.к. в модели Уилсона стоимость заказа одной партии товара не зависит от ее объема.

3. Какой показатель соответствует обозначению h в формуле Уилсона?

a) оптимальный объем партии товара

b) стоимость хранения единицы запаса в единицу времени

c) стоимость организации заказа одной партии товара

d) скорость расходования товара со склада

e) интервал времени между поставками товара

Ответ: b)

ТЕМА 4. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы, в которых возникают массовые запросы на выполнение каких-либо услуг, а также происходит удовлетворение этих запросов.

Система массового обслуживания – это система, предназначенная для обслуживания потока заявок (требований) специальными каналами обслуживания (обслуживающими устройствами).

Примеры заявок: покупатели, приходящие в магазин; клиенты в парикмахерской; телефонные вызовы в сети; бытовая техника, поступающая на ремонт в мастерскую. Примеры каналов обслуживания: продавец в магазине, кассир за кассой, мастер по ремонту бытовой техники, парикмахер и т.д.

Заявки поступают в систему в заранее неизвестные, случайные моменты времени. Время обслуживания каждой заявки также является случайной величиной и зависит от многих факторов (например, от характера поломки бытового прибора зависит время его ремонта, от запросов и возраста покупателя – время его обслуживания продавцом и т.д.).

Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания обуславливает неравномерность загрузки системы: на входе могут накапливаться ожидающие обслуживания заявки, и образуется очередь, либо заявок нет, и каналы простаивают.

Структура СМО показана схематически на рисунке 4.1.

 

 

1 – входящий поток заявок;

2 – очередь;

3 – каналы обслуживания;

4 – выходящий поток обслуженных заявок;

5 – заявки, получившие отказ в обслуживании.

 

Рисунок 4.1 – Структура системы массового обслуживания

 

Целью теории массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению СМО. Например, требуется определить рациональное число каналов обслуживания, при которых с одной стороны, не возникает бесконечных очередей и время ожидания в очереди является приемлемой величиной, а с другой – нет значительных простоев каналов, поскольку организация каждого канала связана с материальными затратами. Так, например, при организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек определенного профиля, численность продавцов, необходимые размеры торгового зала и другие параметры.

Существует несколько признаков классификации СМО:

1. По числу каналов обслуживания различают одноканальные, многоканальные и многофазные СМО. Если каналы выполняют параллельную обработку сразу нескольких заявок, то система называется многоканальной (кассовые аппараты в магазине самообслуживания). В многофазной системе процесс обслуживания заявки состоит из нескольких этапов, выполняемых последовательно друг за другом на различных каналах обслуживания (партия изделий последовательно обрабатывается в ряде цехов).

2. По правилам обслуживания различают три класса СМО:

1) СМО с отказами -если нет свободных каналов, заявка покидает систему (например, если занята телефонная линия и в трубке раздаются короткие гудки, то абонент получает отказ в обслуживании: кладет трубку)

2) СМО с ожиданием -если нет свободных каналов, заявка ожидает в очереди (это обычные очереди в магазине, поликлинике)

3) СМО с ограниченной длиной очереди – число мест для ожидания в очереди ограничено. Отказ в обслуживании происходит, если все каналы заняты и нет мест в очереди. Например, в автосервисе имеется определенное число мест для парковки ожидающих машин. Если все эти места заняты, то очередной приехавший автомобиль получает отказ в обслуживании.

3. По дисциплине очереди (способу отбора заявок из очереди на обслуживание) различают:

1) Очередь FIFO (первый пришел - первый обслужен).

2) Очередь LIFO (последний пришел – первый обслужен).

3) Очередь с приоритетом. Некоторые заявки на основании каких-то признаков получают преимущество (приоритет) в выборе на обслуживание перед другими. Например, ветераны и участники войны в поликлинике пропускаются без очереди.

4. По характеру входящего потока заявок различают:

1) Замкнутые СМО, в которых обслуженная заявка через какой-то промежуток времени вновь возвращается в систему (отремонтированный станок в цеху опять ломается, посуда в общественной столовой опять загрязняется и т.д.).

2) Разомкнутые (открытые) СМО, в которых входящий поток заявок не зависит от выходящего и ничем не ограничивается. (Заявки поступают в систему извне, от некоторого бесконечного источника заявок).

В настоящее время теоретически наиболее исследованы системы массового обслуживания, которые называются простейшими. Простейшей системой массового обслуживания называется такая система, в которой:

1) входящий поток заявок является простейшим (пуассоновским);

2) время обслуживания заявки каждым каналом имеет экспоненциальный закон распределения.

Простейший (пуассоновский) входящий поток заявокобладает тремя основными свойствами:

1) ординарность означает, что практически невозможно одновременное поступление двух и более заявок (невозможен одновременный выход из строя двух станков, одновременный приход двух покупателей и т.д.).

2) стационарность означает, что среднее число заявок, поступающих в единицу времени, постоянно. Таким образом, хотя заявки и поступают в случайные моменты времени, в среднем поток является равномерным.

Обозначим: - среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени (например, среднее число телевизоров, поступающих в мастерскую по ремонту за день).

3) отсутствие последействия означает, что количество заявок, уже поступивших в систему, не определяет того, сколько заявок поступит далее (например, если произошел обрыв нити на ткацком станке, то это не означает, что его не будет в следующий момент времени, и, тем более, что его не будет на других станках).

Экспоненциальный закон времени обслуживания заявок имеет параметр , который обозначает среднее число заявок, которое может обслужить один канал за единицу времени. Например, - это среднее число телевизоров, которые может отремонтировать один мастер за день. Величина обратно пропорциональна среднему времени обслуживания одной заявки Т_об:

.

Для простейшей системы массового обслуживания всегда рассчитывается величина

.

Если рассматривается система с ожиданием в очереди, причем размер очереди не ограничен, то означает среднее число каналов, которые необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие заявки.

Пусть n - число действительно имеющихся в системе каналов обслуживания (например, число мастеров в телеателье). Тогда условием работоспособности простейшей СМО с ожиданием является выполнение соотношения:

.

Если это условие не выполняется, то каналы не будут справляться с обслуживанием всех заявок, очередь будет расти бесконечно, и система просто захлебнется в потоке заявок.

При оценке качества работы СМО рассчитывается ряд показателей эффективности работы системы:

1) среднее время ожидания в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (не получит отказ);

4) среднее число занятых обслуживанием каналов;

5) среднее число заявок, которые обслуживаются системой за единицу времени (интенсивность выходящего потока обслуженных заявок);

6) и др.

По совокупности значений этих показателей можно судить о том, насколько эффективно организована работа системы. Величина средней длины очереди важна также для расчета площадей торговых залов или складских помещений (например, предназначенных для хранения бытовых приборов, ожидающих ремонта).

Примеры тестовых заданий по теме 4

 

1. В пункте обмена валют работает один оператор и по соображениям безопасности должно находиться не более трех клиентов. Если очередной клиент приходит в тот момент, когда помещение заполнено, его не пропускает охранник, и он уходит в другой банк. Определите тип данной системы массового обслуживания. Возможно несколько правильных ответов.

1) одноканальная;

2) многоканальная;

3) с отказами;

4) с ожиданием;

5) с неограниченной очередью;

6) с ограниченнной очередью

Верные ответы 1), 4) и 6).

2. Какая характеристика простейшей системы массового обслуживания обозначается буквой ?

1) среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени;

2) среднее число заявок, которые может обслужить канал за единицу времени;

3) среднее число каналов в системе, которое нужно иметь, чтобы за единицу времени обслуживать все поступающие требования;

4) среднее время обслуживания одной заявки;

5) число каналов в системе.

Ответ: 2).

3. Как называется свойство простейшего потока заявок, которое означает, что среднее число заявок, поступающих в единицу времени, постоянно?

1) открытость

2) замкнутость

3) ординарность

4) динамичность

5) стационарность

6) отсутствие последействия

7) отсутствие очереди

Ответ: 5).

 

ТЕМА 5. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

Основные понятия теории игр

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации, реализующейся в условиях неопределенности.

Например, при определении объема выпуска продукции на одном предприятии нельзя не учитывать размеров выпуска аналогичной продукции на других предприятиях. Каждое из конкурирующих предприятий преследует свои цели, поэтому имеет место конфликтная ситуация. Однако невозможно полностью контролировать деятельность конкурентов, можно только предполагать возможные варианты их действий. Поэтому решение приходится принимать в условиях неопределенности.

Исследованием конфликтных ситуаций занимается теория игр. В игре могут сталкиваться интересы двух (игра парная) или нескольких (игра множественная) противников; существуют игры с бесконечным множеством игроков.

По характеру выигрышей выделяют игры с нулевой суммой и с ненулевой суммой. В первых общий капитал игроков не изменяется, а лишь перераспределяется в ходе игры, поэтому сумма выигрышей равна нулю (проигрыш рассматривается как отрицательный выигрыш). В играх с ненулевой суммой сумма выигрышей отлична от нуля. Например, при организации лотереи часть общего взноса участников не участвует в формировании призового фонда, а идет организатору лотереи.

Игры, в которых оба участника сознательно стремятся добиться для себя наилучшего результата, называются стратегическими. В экономической практике нередко приходится моделировать ситуации, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют статистическими или играми с природой. Под термином “природа” понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение (погодные условия, спрос на определенный товар, состояние валютной биржи и т.д.). Особенность игр с природой в том, что решение достаточно найти только для сознательного игрока, поскольку природа наши рекомендации воспринять не может. Как правило, игры с природой решаются на основании различных критериев.

Рассмотрим стратегическую парную игру с нулевой суммой. Такая игра ведется по определенным правилам. Каждый участник игры имеет несколько вариантов возможных действий (чистых стратегий). Из них он выбирает такие варианты, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход игры). Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша или платежной функцией. Такая функция задается либо таблицей (платежная матрица), либо аналитическим выражением.

Пусть в игре участвуют два игрока: A и B. Игрок А имеет m чистых стратегий: A₁, A₂, …, A_m (они записываются как заголовки строк платежной матрицы); а игрок B – n чистых стратегий: B₁, B₂, …, B_n (они записываются как заголовки столбцов платежной матрицы). На пересечении строки и столбца платежной матрицы указывается величина a_ij - выигрыш игрока А (в то же время это проигрыш игрока B), в ситуации, когда игрок A выберет свою чистую стратегию A_i, а игрок B применит стратегию B_j.

Например, а₁₂ – это величина выигрыша игрока А, если он выберет свою первую стратегию, а игрок В применит свою вторую стратегию. Если известны значения a_ij для всех пар чистых стратегий (A_i,B_j), то они образуют платежную матрицу размерности m´n (табл. 5.1).

 

Таблица 5.1 – Платежная матрица игры

	В1	В2	...	Вn
А1	а11	а12	...	а1n
A2	а21	а22	...	а2n
…	...	...	...	...
Аm	am1	am2	...	аmn

 

Принцип минимакса

Пусть дана игра, заданная платежной матрицей размерности m´n. Решить матричную игру означает определить наилучшую стратегию игрока A, а также наилучшую стратегию игрока B. Если рассматривается стратегическая игра, то предполагается, что противники одинаково разумны, и каждый из них делает все для того, чтобы добиться своей цели. Поэтому каждый из игроков должен рассчитывать на то, что противник ответит самым неблагоприятным образом, т.е. должен быть пессимистом. Именно в этом расчете «на худший результат» и состоит принцип минимакса.

Используя этот принцип, найдем наилучшую стратегию игрока A. Выбирая стратегию A_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок B ответит на нее той из своих стратегий, для которой выигрыш игрока A будет минимальным. Поэтому для каждой стратегии A_i найдем

где a_i – минимальный гарантированный выигрыш игрока А при применении им стратегии А_i.

Очевидно, что желающий перестраховаться игрок A должен предпочесть другим стратегиям ту, для которой гарантированный выигрыш a_i максимален. Обозначим

.

Величина a называется нижней ценой игры или максимином. Соответствующая стратегия называется максиминной. Если игрок А будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры при любом поведении игрока В.

Аналогично определим наилучшую стратегию игрока В. С его точки зрения, в платежной матрице записаны проигрыши. Выбирая худший результат для своей стратегии B_j, он должен найти максимальное значение проигрыша в соответствующем столбце:

Выбирать стратегию игроку B следует так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т.е. обеспечить . Величина

называется верхней ценой игры (минимаксом), а соответствующая ей чистая стратегия – минимаксной. Если игрок В будет придерживаться этой стратегии, то в любом случае он проиграет не больше верхней цены игры .

Можно показать, что максимин всегда не превосходит минимакс, т.е. .

Если нижняя цена игры равна верхней (a=b), то говорят, что игра имеет седловую точку и чистую цену игры g=a=b. Такая игра решается в чистых стратегиях, т.е. каждому игроку рекомендуется применять одну оптимальную стратегию (максиминную для А и минимаксную для В). Если же нижняя и верхняя цены игры не равны (), то игра в чистых стратегиях не решается. Ее можно решать в смешанных стратегиях, но только в том случае, когда игра повторяется многократно. Тогда каждый игрок может применять несколько стратегий с определенными частотами (например, 40% случаев – стратегию А₂, а 60% случаев – стратегию А₄).

Пример 5.1. В игре принимают участие два игрока. Платежная матрица игры имеет вид, показанный в табл. 5.2. Необходимо найти нижнюю и верхнюю цены игры, и определить, решается ли эта игра в чистых стратегиях.

 

Таблица 5.2 – Пример платежной матрицы игры

Стратегии игрока А	B1	B2	B3	B3
A1
A2
A3

Решение. a₂₃ =6 означает, что если игрок А применит стратегию A₂, а игрок В – стратегию B₃, то выигрыш игрока А составит 6 единиц (это же величина проигрыша игрока B).

Добавим к матрице дополнительный столбец, в котором рассчитаем худший результат для каждой стратегии игрока А (минимум в строке). Также добавим дополнительную строку, в которой рассчитаем худший результат для каждой стратегии игрока В, т.е. максимум в столбце (см. табл. 5.3).

 

Таблица 5.3 – Расчеты нижней и верхней цены игры для примера

Стратегии игрока А	B1	B2	B3	B3
A1
A2
A3

 

Минимальный гарантированный выигрыш игрока А при применении им первой стратегии равен четырем: =min(4; 7; 12; 6)= 4. Аналогичные значения найдем для второй стратегии: = min(3; 8; 6; 10)=3, и для третьей стратегии игрока А: =min (2; 5; 9; 4)=2.

Нижняя цена игры (максимин) находится как максимальное значение из гарантированных для каждой стратегии выигрышей:

.

Максиминной стратегией, является стратегия А_1. Если игрок А будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш, не меньший 4 единиц, при любом поведении игрока В.

Аналогично определим наилучшую стратегию игрока В. Для этого найдем максимальные проигрыши для каждой стратегии игрока В, и запишем их в дополнительной строке матрицы.

Для игрока В значения элементов составят соответственно = max(4; 3; 2)=4, = max(7; 8; 5)=8, = max(12; 6; 9)=12, = max(6; 10; 4)=10.

Верхняя цена игры определяется как наименьший гарантированный проигрыш игрока В:

Следовательно, минимаксной стратегией игрока В будет первая стратегия, гарантирующая ему проигрыш, не больший четырех единиц.

Так как a = b, то данная игра имеет седловую точку, она решается в чистых стратегиях. Таким образом, следует рекомендовать игроку А применять стратегию А₁, а игроку В – стратегию В₁.

 

Игры с природой

Игра с природой – это такая игровая модель, в которой один из участников безразличен к результату игры. Свои чистые стратегии такой участник игры реализует не целенаправленно, а случайным образом. Под термином “природа” понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение. Так, под “природой” могут пониматься погодные условия, спрос на рынке, состояние валютной биржи и т.д.

В играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком возрастает. “Природа”, будучи безразличной в отношении выигрыша, может реализовать такие стратегии, которые выгодны сознательному игроку. Поэтому в таких играх решение принять сложнее, а выиграть можно больше.

Игра с природой задается платежной матрицей, в которой строки соответствуют стратегиям сознательного игрока, а столбцы – состояниям “природы”.

Пример 5.2. Туристическая фирма "Топ Тур" реализует туристические путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 6 до 9 ед. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то фирма может заказать недостающее количество. При этом возникнут дополнительные расходы в размере 5 ден. ед. за каждую новую путевку. А если количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованную путевку составят 6 ден.ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 10 ден.ед.

Требуется определить, какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

Решение. Построим платежную матрицу игры. Сознательный игрок А имеет 4 возможные стратегии:

A₁ – заказать 6 путевок;

A₂ – заказать 7 путевок;

А₃ – заказать 8 путевок;

А₄ – заказать 9 путевок.

Потребительский спрос выступает в качестве второго игрока, “природы”. Возможны следующие состояния природы:

П₁ -“купят 6 путевок”;

П₂ - “купят 7 путевок”;

П₃ - “купят 8 путевок”;

П₄– “купят 9 путевок”.

Результаты расчета платежной матрицы игры показаны в таблице 5.4.

 

Таблица 5.4 - Платежная матрица игры с природой

	П1 (купят 6)	П2 (купят 7)	П3 (купят 8)	П4 (купят 9)
А1 (заказать6)
А2 (заказать7)
А3 (заказать8)
А4 (заказать9)

 

Поясним расчеты некоторых элементов платежной матрицы.

Элемент a₁₁ означает прибыль сознательного игрока A (фирмы) в ситуации, когда закажут 6 путевок (стратегия A₁), и спрос на них составит 6 штук (стратегия П₁). Поскольку при этом все путевки будут проданы, а прибыль от одной путевки равна 10 ден.ед., то общая прибыль составит a₁₁=6∙10=60 ден.ед.

Элемент a₁₂ есть выигрыш игрока A (прибыль фирмы), если будет заказано 6 путевок, а спрос составит 7 штук. Тогда шесть заранее заказанных путевок будут проданы и принесут прибыль 6∙10=60 ден.ед., а седьмая путевка будет экстренно заказана. При этом возникнут дополнительные расходы в 5 ден.ед., так что прибыль от этой путевки окажется уже не 10, а 10-5=5 ден.ед. Общая прибыль фирмы составит a₁₂=60+5=65 ден.ед.

Элем