Тема занятия «Приложения определенного интеграла»

Цель занятия: Показать возможность применения интегрального исчисления к решению задач различных областей естествознания.

Организационная форма занятия: семинар-консультация.

 

Компетенции, формируемые на занятии:

· способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

· способность и готовность к участию в постановке научных задач и их экспериментальной реализации (ПК-49).

Формирование у будущих специалистов этих компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать гипотезу и проверить ее в дальнейшем;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- ставить новые вопросы и видеть проблемы в традиционных ситуациях;

- абстрагировать содержание и выделять существенное;

- применение численных методов решения базовых математических задач в практической деятельности.

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Применение определенного интеграла для вычисления площадей.

2. Вычисление длины дуги.

3. Вычисление объемов.

4. Вычисление площади поверхности вращения.

5. Приложения определенного интеграла к решению задач естествознания.

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. Разберите с преподавателем вопросы, которые остались Вами не понятыми по теме этого занятия.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома. В тетради для индивидуальных домашних заданий выполните ИДЗ №3 по теме «Основные методы интегрирования. Приложения определенного интеграла» и сдайте на следующем занятии выполненное задание на проверку преподавателю.

 

Рекомендуемая литература

[1] глава 9 пп 9.10 - 9.11.

[4] глава X §§ 3 – 9.

[5] глава 8 §§ 45 – 46.

[6] часть III занятия 15 – 16.

[7] глава 5 § 5.6.

[8] глава 8 § 10.

[9] глава VIII §10.

[10] глава 6 § 11.

 

Теоретические задания

Для развития и контроля владения компетенциями

1. Подготовьтесь к самостоятельной работе №4 по теме « Определенный интеграл». Примерный вариант можете найти в программе дисциплины.

2. Что называется площадью плоской фигуры?
3. Как найти площадь плоской фигуры с помощью определенного интеграла?

4. Дайте определение полярной системы координат. Установите формулы, связывающие полярные и прямоугольные координаты точки.

5. Запишите формулу для вычисления площади плоской фигуры в полярных координатах.

5. Что называется объемом тела? Как найти объем тела вращения?

7. Что называется длиной дуги?

8. Как найти длину дуги: если функция задана:

а) в декартовых координатах?

б) в полярных координатах?

в) параметрически?

9. Какие еще приложения определенных интегралов Вы знаете?

10. Разберите примеры решения типовых задач в тетради.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

 

1. Вычислите площадь, ограниченную параболами и

Решение. Определим точки пересечения парабол и построим эти параболы: отсюда, - абсциссы точек пересечения.

Ординаты точек пересечения находим, подставляя найденные абсциссы в уравнение одной из парабол: и - точки пересечения парабол.

Из рисунка видим, что площадь искомой фигуры

Площадь ОВD расположена под осью , поэтому перед знаком интеграла берем знак «минус».

Отсюда

2. Найдите площадь одного лепестка кривой

Решение. Один лепесток кривой получаем при изменении от 0 до . По формуле вычисления площади в полярных координатах имеем

 

 

Применяя формулы тригонометрии, имеем:

 

Отсюда

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды , прямой вокруг оси

 

 

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси , определяется формулой:

 

4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси плоский фигуры, ограниченной аркой циклоиды

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением кривой вокруг оси :

Пользуясь данными параметрическими уравнениями циклоиды, преобразуем интеграл к переменной тогда при при

 

Тогда

5. Найдите длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки

Решение. Для вычисления длины дуги в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой:

Разрешим данное уравнение кривой относительно и находим

(Знаки в выражении указывают,что кривая симметрична относительно оси ).

Тогда

6. Найдите длину астроиды

Решение. Длина дуги кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле:

где .

Найдем и

Учитывая симметричность астроиды, найдем длину ее дуги при изменении от 0 до (длина дуги, расположенной в 1 четверти). Тогда длина всей дуги

7. Скорость роста некоторой популяции микроорганизмов подчинена закону где время в секундах. Найдите численность этой популяции в момент времени , если численность этой популяции в момент времени 30с была 100000 единиц.

 

Решение. Так как скорость роста популяции является производной от численности популяции , следовательно, численность популяции является первообразной для . Поэтому

или

Тогда

Практические задания

для развития и контроля владения компетенциями

Задания, решаемые в аудитории

1. Вычислите площадь, ограниченную линиями:

а) параболой и осью ;

б) параболой и прямой ;

в) кубической параболой и прямыми

г) эллипсом ;

д) кардиодой .

 

2. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

а) вокруг оси ;

б) вокруг оси .

 

3. Вычислите длину дуги кривой:

а) одной арки циклоиды и ;

б) кривой .

 

4. Найдите количество вещества , вступившего в реакцию за первые 5 секунд, если скорость химической реакции

 

5. Скорость роста некоторой популяции микроорганизмов задается формулой Найдите прирост численности популяции за промежуток времени с 10 по 25 секунду.

 

Задания для самостоятельной работы дома

1. Вычислите площадь, ограниченную линиями:

а) полукубической параболой и прямыми ;

б) первым завитком спирали Архимеда и полярной осью.

 

2. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .

 

3. Вычислите длину дуги полукубической параболы между точками и .

 

4. Выполните ИДЗ №3 по теме «Основные методы интегрирования. Приложения определенного интеграла».

Вариант 1 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 2 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 3 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 4 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 5 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 6 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 7 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 8 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 9 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 10 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 11 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 12 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 13 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 14 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 15 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 16 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 17 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 18 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 19 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 20 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 21 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 22 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 23 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 24 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 25 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 26 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 27 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 28 1. Вычислить интегралы. 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Вариант 29 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями	Вариант 30 1. Вычислить интегралы.   2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Лабораторное занятие №8

Тема занятия «Контрольная работа №1»

Цель занятия: Проверка практических умений и навыков по разделу «Функция одной переменной: дифференциальное и интегральное исчисления».

Организационная форма занятия: контрольная работа.

Компетенции, формируемые на занятии:

· способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1);

· способность и готовность к участию в постановке научных задач и их экспериментальной реализации (ПК-49).

Формирование у будущих специалистов этих компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать гипотезу и проверить ее в дальнейшем;

- сформулировать основные цели выполняемой работы;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- владеть основными методиками решения учебно-исследовательских задач;

- вести поиск альтернативных средств и способов решения;

- планировать самостоятельную работу;

- осуществлять самоконтроль за работой, объективно оценивать ее результат.

 

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Область определения функции.

2. Производная функции.

3. Применение производной к исследованию функции.

4. Методы интегрирования в неопределенном интеграле.

5. Приложения определенного интеграла.

 

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Подготовьтесь к контрольной работе, используя теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями.

2. Просмотрите решенные ранее задания по теме « Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной», обратите особое внимание на разобранные примеры решения типовых задач.

3. Повторите таблицы производных основных элементарных функций и основных интегралов.

4. Вспомните правила дифференцирования, основные методы интегрирования, применения определенного интеграла.

5. Изучите еще раз выполненные задания индивидуальных домашних работ, обратите внимание на сделанные замечания преподавателя при их проверке и сделайте работу над ошибками.

6. Прорешайте примерный вариант контрольной работы, приведенный ниже.

На занятии по указанию преподавателя решите предложенный Вам вариант контрольной работы.

Дома

1. Подготовьтесь к коллоквиуму по вопросам приведенным ниже.

2. Пройдите предварительное компьютерное тестирование в указанное преподавателем время.

3. Сдайте коллоквиум по графику, предложенному преподавателем.

 

Рекомендуемая литература

[1] главы 7-9.

[4] главы IV, VI, VII, X.

[5] главы 4,6, 8

[6] ч. II занятия 2 – 4, 9, 14 – 17, 21 – 23; часть III занятия 10, 12,15 – 16.

[7] глава 1§§ 1.1 - 1.2; глава 2 § 2.1; глава 5 §§ 5.1. – 5.4, § 5.6.

[8] главы 4-5, 8.

[9] главы IV – V, VIII.

[10] главы 4 – 6.

Теоретические задания

для развития и контроля владения компетенциями

I. Вопросы для подготовки к контрольной работе

1. Вспомните области определения основных элементарных функций.

2. Повторите метод интервалов для решения неравенств.

3. Дайте определение производной функции.

4. Запишите основные правила дифференцирования.

5. Повторите таблицу производных.

6. Какие вопросы при исследовании функций можно исследовать с помощью производной?

7. Назовите порядок исследования функции на возрастание и убывание.

8. Как исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной?

9. Повторите порядок исследования на экстремум функции с помощью второй производной.

10. Вспомните, как исследовать функцию на выпуклость и вогнутость, на наличие точек перегиба.

11. Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

12. Повторите таблицу основных интегралов и метод непосредственного интегрирования.

13. Запишите формулу замены переменных в неопределенном интеграле. Вспомните, как пересчитать дифференциал при замене переменной.

14. Запишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Вспомните основные классы интегралов, берущихся по частям.

15. Повторите определение определенного интеграла, его свойства. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

16. Как выполнить замену переменной в определенном интеграле?

17. Вспомните формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

18. Повторите формулы для нахождения площадей фигур, заданных в прямоугольной декартовой системе координат; в полярной системе координат; параметрически.

19. Какие формулы для нахождения длины кривых Вы знаете?

20. Как с помощью определенного интеграла можно вычислить объем тела?

II. Вопросы для подготовки к коллоквиуму №1