Тема занятия «Понятие производной. Правила дифференцирования»

Цель занятия: Введение понятия производной функции с помощью операции предельного перехода, отработка навыков в вычислении производных.

Организационная форма занятия: практикум.

Компетенции, формируемые на занятии:

· способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

При формировании названной компетенции в результате изучения дисциплины «Математика» специалист должен знать основные правила дифференцирования и интегрирования; уметь дифференцировать с помощью формул и простейших приемов; владеть методами нахождения производных функций. Формирование у будущих специалистов этой компетенций на занятии предполагает обучение студентов

- сформулировать основные цели выполняемой работы;

- анализировать ситуации и делать выводы;

- вести поиск альтернативных средств и способов решения;

- абстрагировать содержание и выделять существенное;

- осуществлять самоконтроль за работой, объективно оценивать ее результат.

 

Вопросы, выносимые на обсуждение

1. Определение производной, ее механический и геометрический смысл.

2. Правила вычисления производной. Таблица производных основных элементарных функций.

3. Производная сложной функций.

 

Методические рекомендации

Для подготовки к занятию дома

1. Прочитайте конспект лекции, соответствующий теме занятия. Запомните основные определения. Выучите основные правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.

2. Изучите рекомендуемую литературу по вопросам, выносимым на обсуждение.

3. Найдите ответы на теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями. Подготовьтесь к ответам на эти вопросы на занятии.

4. Законспектируйте ответы на теоретические задания, которые не содержатся в Вашем конспекте лекции по указанной теме.

5. Выучите наизусть правила дифференцирования и таблицу основных производных.

6. Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.

7. Подготовьтесь к самостоятельной работе №2 по теме «Предел функции». Примерный вариант можете найти в программе дисциплины.

На занятии по указанию преподавателя

1. Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями

2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.

3. Решите самостоятельную работу №2 в соответствии с выданным Вам вариантом.

Дома закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.

 

Рекомендуемая литература

[1] глава 8 пп. 8.1. – 8.2.

[4] глава VII § 1.

[5] глава 6 § 24.

[6] ч II занятия 21 – 23.

[7] глава 2 § 2.1.

[8] глава 5 §§ 1 – 8.

[9] глава V §§ 1 – 8.

[10] глава 5 §§ 1 – 8.

 

Теоретические задания

Для развития и контроля владения компетенциями

1. Какие задачи, приводящие к понятию производной, Вам известны?

2. Дайте определение производной функции в точке.

3. Как найти производную функции y=f(x) по определению?

4. В чем состоит механический смысл производной?

5. Дайте определение непрерывной функции в точке и на отрезке. Сформулируйте свойства непрерывных функций.

6. Как связаны между собой дифференцируемость функции в некоторой точке с непрерывностью функции в этой точке?

7. Приведите пример непрерывной функции, не имеющей производной в некоторой точке.

8. Чему равна производная:

а) постоянной; б) алгебраической суммы дифференцируемых функций;

в) произведения двух дифференцируемых функций; г) дроби; д) сложной функции; е) обратной функции?

10. Запишите формулы для нахождения производных основных элементарных функций.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

1. Пользуясь определением производной найдите производные функций:

а) ; б) .

Решение:

а) По определению производной .

Поэтому для нахождения производной по определению можно воспользоваться следующим общим правилом.

1) Придаем аргументу х произвольное приращение и находим приращенное значение функции:

.

2) Находим приращение функции:

3) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4) Ищем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при .

.

Таким образом, .

б) Руководствуясь указанным общим правилом для нахождения производной по определению, для функции последовательно находим:

1) .

2) .

 

3) .

4)

2. Дана функция . Существует ли производная в точке х=0? Будет ли эта функция в точке х=0 непрерывной?

Решение:

Воспользуемся общим правилом для нахождения производной в точке х=0 по определению:

1) .

2) .

3) .

4) .

Этот предел не существует. Таким образом, функция в точке х=0 не имеет производной.

Исследуем данную функцию на непрерывность в точке х=0:

Так как бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то данная функция непрерывна в точке х=0.

Таким образом, данная функция непрерывна в точке х=0, но не имеет производной в этой точке.

 

3. Применяя правила дифференцирования и таблицу производных, найдите производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение:

а) Преобразуем данную функцию, переходя к дробным показателям, и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

.

б) I способ. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: сначала находим производную логарифмической функции, затем корня и наконец производную дроби:

II способ. Чтобы упростить дифференцирование, сначала преобразуем функцию на основании свойств логарифмов:

.

Тогда .

Замечание. Вообще, если под знаком подлежащей дифференцированию логарифмической функции содержится выражение, поддающееся логарифмированию (произведение, частное, степень, корень), то полезно сначала выполнить логарифмирование.

 

Практические задания

для развития и контроля владения компетенциями

Задания, решаемые в аудитории

1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Дана функция: . Найдите производную этой функции в точке х = 0.

 

 

3. Найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

4. Вычислите , если .

5. Покажите, что , .

 

Задания для самостоятельной работы дома

1. Пользуясь определением производной найдите производные от следующих функций:

; ; .

2. Найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

3. Вычислите , если .

Лабораторное занятие №4