Определение спектральной плотности через ковариационную функцию

Суть данного способа состоит в применении преобразования Фурье к предварительно вычисленной ковариационной функции. Пусть имеем два процесса X(t) и Y(t).

Ковариационные функции этих процессов:

Взаимокорреляционные функции (ВКФ) будут обозначаться как:

и

Функции спектральной плотности будут равняться:

Функции спектральной плотности для ВКФ:

Функции S_xx(f) и S_yy(f) называются двусторонними спектральными плотностями случайных процессов x(t) и y(t), так как согласно представленной формуле они определены для положительных и отрицательных частот.

Функции S_xy(f) и S_yx(f) называют двусторонними взаимными спектральными плотностями случайных процессов X(t) и Y(t).

Обратными преобразованиями Фурье будут следующие функции:

(1)

Эти четыре соотношения называют соотношениями Винера-Хинчина. Они имеют фундаментальное значение для анализа случайных сигналов, так как устанавливают связь между представлением случайного процесса во временной области (с помощью ковариационных функций) и в частотной области (с помощью спектральной плотности).

Если в (1) , то

Интеграл по всем частотам в правой части данного выражения равен ковариационной функции при , т.е. средней энергии процесса. Таким образом функция спектральной плотности характеризует распределение средней энергии случайного процесса по частотам. Однако в случае нестационарного процесса корреляционные функции не могут быть восстановлены по известной спектральной плотности.

Для определения ряда характеристик случайного процесса рассмотрим основные свойства функции взаимной спектральной плотности:

1.

Это свойство показывает, что вместо вычисления двух функций достаточно вычислить одну из них.

2. действительная часть от данной функции является четной.

3. мнимая часть является нечетной.

4. Для всех частот выполняется следующее соотношение:

Так функция спектральной плотности является комплексным числом, то ее можно записать так:

Две последние формулы соответственно определяют взаимный спектр амплитуд и взаимный спектр фаз. Спектр амплитуд характеризует энергетическое взаимодействие гармонических компонент двух процессов, а спектр фаз – временной сдвиг между компонентами.

На практике, как правило, вместо двусторонней спектральной плотности используют одностороннюю спектральную плотность:

Аналогичным образом определяется односторонняя взаимная спектральная плотность .

Второй способ определения взаимной спектральной плотности, называемый определение спектров через преобразование Фурье, является трудоемким для дискретных сигналов, каковыми являются медицинские сигналы. Поэтому его не рассматриваем.

Процедура нахождения спектральной плотности и взаимной спектральной плотности для дискретных сигналов аналогична нахождению на первом этапе ковариационной функции, а на втором этапе – дискретного или быстрого преобразования Фурье.

Функция когерентности

Функция когерентности определяется следующим образом:

Функция когерентности является аналогом коэффициента корреляции в частотной области и отражает степень линейной взаимосвязи гармонических компонент рассматриваемых процессов. Чем ближе функция когерентности к 1 на конкретной частоте f, тем больше совпадения гармонических составляющих на этой частоте. Как правило, именно функция когерентности, а не взаимная спектральная плотность используется в практических приложениях для анализа связанности процессов в частотной области.

Лекция 4. Wavelet-анализ.

 

Вейвлет анализ широко используется для нестационарных случайных процессов. Он показал свою эффективность для решения широкого класса задач, связанных с подавлением шумов, сжатием больших объемов информации.

Вейвлет анализ, как и преобразование Фурье, состоит в вычислении корреляции между анализируемым временным рядом и базисной функцией преобразования. Вейвлет преобразование, состоящее в разложении ряда по базису, сконструированному из обладающих определенными свойствами функций, называется Вейвлетом (маленькая волна) посредством ее масштабных изменений и переносов. Каждая вейвлет функция базиса характеризуется определенным масштабом (частотой) и локализацией во времени. В отличие от преобразования Фурье вейвлет преобразование дает двумерную развертку одномерного процесса, при этом частота и время рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства процесса одновременно в частотной и временной областях. В основе вейвлет преобразования лежит идея многомасштабного анализа, который заключается в последовательном огрублении исходной информации, содержащейся в процессе.

Данный подход позволяет выявлять локальные области процесса и классифицировать их по интенсивности; отслеживать динамику частотного состава процесса во времени. Операция огрубления исходной информации осуществляется путем сглаживания исходного ряда с помощью функции вейвлета . Термин вейвлет обозначает локализованные во временной и частотной областях функции, обладающие следующими свойствами:

1) Вейвлет имеет среднее значение, равное нулю:

.

2) Ограниченность функции вейвлета, т.е. она быстро убывает при

3) Автомодельность, т.е. при любых масштабных изменениях вейвлета его форма (количество экстремумов) не меняется.

Данные свойства определяют большой класс действительных и комплексных функций, которые являются вейвлетами. Вейвлет локализован сразу в двух областях: временной и частотной. Для осуществления вейвлет преобразования произвольного временного ряда x(t) необходимо предусмотреть возможность сдвигов функции вейвлета вдоль временной оси и масштабных преобразований в частотной области путем сжатия или растяжения исходного вейвлета. Такую возможность реализует базисная функция следующего вида:

.

Соответственно, вейвлет преобразование сигнала имеет вид:

(4.1)

В этой формуле a и b являются действительными числами и определяют масштаб (величину обратно пропорциональную частоте) и временной сдвиг соответственно.

На основе этой базисной функции вейвлет преобразование временного ряда x(t) определенного на всей временной оси () записывается в виде (4.1). В формуле (4.1) параметр «b» меняется в интервале от до , пробегая всю временную ось, т.е. всю временную область, на которой определена функция x(t). Параметр «a» меняется от 0 до . При использовании действительной функции вейвлета в результате преобразования получается двумерный массив коэффициентов W(a,b), а при применении комплексной функции вейвлета в результате получаются двумерные массивы модуля и фазы:

Алгоритм вычисления коэффициента вейвлет преобразования по формуле (4.1) для каждой пары параметров «a» и «b» выглядит следующим образом:

1) растянуть вейвлет в a раз по горизонтали в 1/a раз по вертикали;

2) сдвинуть вейвлет в точку по оси времени;

3) произвести вычисление вейвлета по (4.1) и усреднить значение полученной функции по ширине окна самого вейвлета;

Далее процедура повторяется для другой пары параметров «a» и «b» до тех пор, пока не будут рассчитаны вейвлет преобразования для всех значений «a» и «b». Полученные результаты W_ab представляются на графике преобразования следующим образом:

 

Результат кодируется цветом. Два наиболее распространенных вейвлета, применяемых в медицинских целях называются Сомбреро и Вейвлет Морле.

Вейвлет Морле

 

Сомбреро

 

 

Для дискретных сигналов формула расчета вейвлет-преобразования имеет вид:

(4.2)

сигнал, представленный в виде дискретных цифровых отсчетов;

вейвлет;

длительность окна вейвлет преобразования.

В медицинских целях вейвлет преобразование может применяться для сжатия исходных сигналов. В этом случае необходимо знать формулу обратного вейвлет преобразования, позволяющего восстановить исходный временной ряд:

нормализующий коэффициент.

Лекция 5. Основные характеристики линейных дискретных систем. Введение в цифровые фильтры. Основные определения и классификация цифровых фильтров.

 

Основные понятия линейной дискретной системы.

 

Линейная система – система обладающая следующими свойствами:

1) Аддитивность: x = x1 +x2; F(x) = F(x1) + F(x2) т.е. реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие.

2) Однородностность: F(ax) = aF(x).

Линейная система называется дискретной, если воздействие и реакция представляют собой дисперсные сигналы, которые могут быть как вещественными, так и комплексными: x(nT)→Y(nT)

x(nT) ЛДС Y(nT)

 

 

Импульсной характеристикой h(nT) линейной дискретной системы (ЛДС) называется ее реакция на единичный цифровой импульс U₀(nT) при нулевых начальных условиях. Нулевые начальные условия – отсутствие реакции при отсутствии воздействия. Импульсная характеристика это одна из основных характеристик ЛДС, т.к. с ее помощью легко определяется реакция на произвольное воздействие. При описании ЛДС во временной области, помимо импульсной используют переходную характеристику g(nT) т.е. реакция ЛДС на единичный цифровой скачок при нулевых начальных условиях.

 

U(T) U(T)

 

U0

 

Соотношение вход – выход отображает взаимосвязь между ее входным x(nT) и выходным Y(nT) сигналами, т.е. реакцию ЛДС на произвольное воздействие. Во временной области соотношение вход - выход описывается линейными уравнениями: 1) формулой свертки (5.1), если используется импульсная характеристика; 2) разностным уравнением, если не используется импульсная характеристика (5.2).

(5.1)

Если известны параметры ЛДС, взаимосвязь между реакцией x(nT) и воздействием Y(nT) описывается разностным уравнением:

 

(5.2)

где b_i и a_k - коэффициенты уравнения;

i и k – значения задержки для воздействия реакции;

M и N – константы определяющие порядок уравнения или порядок фильтра;

x((n– i)T) и y((n–k)T) – реакции и воздействия в соответствующие периоды дискретизации.

 

Введение в цифровые фильтры. Основные определения и классификация.

Под цифровыми фильтрами понимают любую цифровую систему или цепь, которая согласно заданному алгоритму y(n) =F(x'(n)) осуществляет извлечение цифрового сигнала x (n), либо его параметров, из действующей на входе системы смеси сигналов:

x'(n) = x(n)+ g(n), где x(n) – извлекаемый цифровой сигнал, g(n) – помеха. В соответствии с этим, под фильтром можно понимать амплитудные и фазовые корректоры, дифференциаторы, адаптивные фильтры и т.д.

Цифровой фильтр в узком понимании - частотная избирательная цепь, которая обеспечивает селекцию цифровых сигналов по частоте. К таким фильтрам относятся ФНЧ, ФВЧ, полосовой и режекторный.

 

x(n)+ g(n) y(n)

F(x'(n))

 

 

Цифровые фильтры (ЦФ) делятся на 2 больших класса: нерекурсивные (БИХ) и рекурсивные (КИХ). Они могут быть реализованы аппаратно, программно или аппаратно – программно, что определяется местом назначения и целью расположения предполагаемого фильтра в системе. Аппаратная реализация подразумевает рациональное использование разнообразных функциональных блоков (сумматоров, умножителей и т.д.). Программная реализация подразумевает, что фильтр написан на каком – либо языке программирования (на языке высокого уровня для ПК или на языке ассемблера). Аппаратно – программная реализация подразумевает синтез двух первых методов.

Под проектированием цифрового фильтра понимают процесс, результатом которого является программа или цифровое устройство, отвечающее заданным требованиям и ограничениям. Процесс проектирования включает в себя следующие этапы:

1) Синтез, результатом которого является функциональная схема фильтра с рассчитываемыми коэффициентами. Процедура синтеза КИХ- и БИХ-фильтров существенно различаются, но имеют одинаковую последовательность действий:

a) Задание требований к фильтрам;

b) Решение задачи аппроксимации характеристик фильтра;

c) Конструирование функциональной схемы цифрового фильтра.

2) Выбор или разработка алгоритмов вычисления. Алгоритм зависит от метода реализации (с плавающей или фиксированной точкой), разрядности, возможности распараллеливания операций и т.д. Конечной целью этого этапа является обеспечение функционирования фильтра в реальном времени при минимальных потерях качества обработки сигналов;

3) Проверка работоспособности фильтра моделированием. Проверка подразумевает использование различных программных средств, позволяющих симулировать работу фильтра, и ее задача состоит в обнаружении и устранении возможных логических и других ошибок, а также испытаний сконструированного фильтра в заданных характеристиках, включая частотные, шумовые и временные;

4) Практическая реализация и отладка.

 

Лекция 6. Синтез цифровых фильтров и задание требований к цифровым фильтрам. Типы избирательных фильтров и задание требований к ним.

Синтез цифровых фильтров и задание требований к цифровым фильтрам

 

Требования к ЦФ могут формироваться как во временной, так и в частотной областях, что определяется назначением фильтра и областью его описания. Во временной области требования могут задаваться к импульсной или переходной характеристике. Согласованные фильтры целиком определяются импульсной характеристикой, а высокоскоростные системы весьма критичны к длительности переходных процессов и в подобных системах особые требования предъявляются к переходным характеристикам ЦФ. В частотной области требования могут предъявляться:

1) только к АЧХ без каких–либо ограничений на ФЧХ;

2) только к ФЧХ, когда важно сохранить фазовые особенности сигнала (такие устройства называют фазовыми корректорами);

3) одновременно к АЧХ и к ФЧХ.

Рассмотрим в качестве примера задание требований к частотно – избирательным ЦФ (ФНЧ, ФВЧ, полосовой, режекторный). Рассмотрим их АЧХ:

 

 

1) ФНЧ

 

 

2) ФВЧ

 

 

3) Полосовой фильтр

 

4) Режекторный фильтр

 

Вследствие физической невозможности реализации АЧХ таких фильтров необходимо задавать допуски для АЧХ, зависящие от ряда практических ограничений. Эти ограничения связаны прежде всего с назначением синтезированного ЦФ. Все ограничения и допуски составляют требования, предъявляемые к ЦФ. Требования включают в себя:

1) задание частоты дискретизации - ;

2) задание типа избирательности фильтра;

3) задание требований к АЧХ - , или к характеристике ослабления , представляют собой АЧХ, выраженных в логарифмическом масштабе. Их связь выражена:

4) выбор метода аппроксимации АЧХ фильтра.

При задании требований следует помнить что:

- необходимо установить все граничные частоты фильтра только в основной полосе его рабочих частот:

< < .

- требования к фильтрам не задаются в переходных областях избирательных фильтров.

- требования формулируются в виде допустимых отклонений от нормированной АЧХ и отображаются на диаграмме допусков.

- размерность выражается в абсолютных единицах, размерность выражается в децибелах.

Типы избирательных фильтров и задание требований к ним

1. ФНЧ имеет три частотные полосы: полосу пропускания, полосу задерживания или ослабления и переходную полосу:

Полоса пропускания ограничивается частотой среза . Ширина полосы пропускания

В соответствии с методом синтеза фильтров отклонение АЧХ от единицы в полосе пропускания задается симметрично и находится в пределе:

Для БИХ – фильтров задается только в одну сторону так, чтобы АЧХ не превышало 1. максимально допустимое отклонение от 1.

Полоса задерживания лежит в пределах от граничных частот до значения верхней максимально возможной частоты . Ширина полосы задерживания Допустимые отклонения АЧХ в полосе задерживания для КИХ-фильтров и БИХ-фильтров:

максимально допустимое отклонение АЧХ от нуля.

Переходная полоса расположена между полосой пропускания и полосой задерживания. Ее ширина , так как в этой полосе требования не задаются, то удовлетворительным окажется любое решение, если оно соответствует требованиям в полосе пропускания и полосе задержки.

2. ФВЧ, как и ФНЧ, имеет три частотные полосы, которые расположены в обратном относительно ФНЧ порядке. Полоса задерживания ФВЧ находится . Ширина полосы задерживания .

Переходная полоса находится в пределе , ширина . Полоса пропускания: , ширина

3. Полосовой фильтр характеризуется пятью частотными полосами:

граничная частота ПЗ1, ширина ПЗ1

левая частота среза полосы пропускания;

правая частота среза ПП;

граничная частота ПЗ2;

Переходные полосы имеют ширину:

4. Режекторный фильтр характеризуется пятью полосами, из которых две полосы пропускания, одна полоса задерживания и две переходные полосы: