Вычисление концентрации примеси по значению удельного сопротивления

Часто возникает задача нахождения концентрации примесей по известному значению удельного сопротивления. Метод, который при этом используется, должен обеспечивать при переходах N → ρ → N для выбранного исходного значения N получение того же конечного значения этой величины. Указанные выше неопределенности при получении численных значений N или ρ непосредственно по кривым Ирвина не дают этой возможности.

При использовании математических выражений, аппроксимирующих кривые Ирвина, это принципиально возможно. Для перехода N → ρ → N достаточно обратить приведенные в разделе 2 выражения относительно ρ. Следует сразу заметить, что для выражений 1 и 2, которые позиционируются как наиболее адекватно отображающие особенности кривых Ирвина, это обращение приведет к очень громоздким, сложным для использования трансцендентным уравнениям. Эту сложность легко обойти, используя для определения значения концентрации по вычисленному значению ρ команду fsolve программы Maple.

Например, требуется определить значение ρ для электронного кремния с концентрацией мышьяка N =2,53∙10¹⁷ см^-3, а затем N по найденному значению ρ. Набор команд Maple для решения этой задачи будет следующим:

 

Ввод исходного значения концентрации примеси.

> N:=2.53e17;

Определение значения удельного сопротивления из выражения 2 раздела 5.3.

> ro:=2.01e-4+0.3418/(1+3.968e-17*N)+2.195e-2/(1+3.661e-19*N);

Определение выражения expr для вычисления x (т.е. N) по известному значению удельного сопротивления.

> expr:=2.01e-4+0.3418/(1+3.968e-17*x)+2.195e-2/(1+3.661e-19*x)=ro;

Вычисление концентрации примеси с использованием команды fsolve в интервале 1e12 - 1e21 см-3.

> Ninv:=fsolve(expr,x,1e12..1e21);

Найденное значение N полностью соответствует исходному.

 

Упрощенные аппроксимирующие выражения в 2 легко обращаются относительно N, что приводит к явным зависимостям N=f(ρ).

Для кремния n-типа:

1.

- для диапазона удельных сопротивлений 0,1 – 4500 Ом·см.

Выражение 1 хорошо воспроизводит участок кривой Ирвина в диапазоне удельных сопротивлений 0,1 – 30 Ом·см. При значениях удельных сопротивлений больших, чем 30 Ом·см, появляется некоторое расхождение между значениями удельного сопротивления, полученными при считывании их с графика и значениями N, полученными из выражения 1. Тем не менее, для неответственных вычислений выражением 1 можно пользоваться в пределах всего указанного выше диапазона ρ.

2.

- для диапазона удельных сопротивлений 0,006 – 0,1 Ом·см,

3.

- для диапазона удельных сопротивлений, меньших 0,006 Ом·см.

Для кремния p-типа:

1.

- для диапазона удельных сопротивлений 10 – 15000 Ом·см,

2.

- для диапазона удельных сопротивлений 0,2 – 10 Ом·см,

3.

- для диапазона удельных сопротивлений 0,01 – 0,2 Ом·см,

4.

- для диапазона удельных сопротивлений, меньших 0,01 Ом·см.

 

Приложение А

 

Зависимость удельного сопротивления кремния от концентрации

примесей [12, 21, 31]

 

 

Рис. А.1 Зависимость удельного сопротивления кремния от

концентрации примесей при Т = 300 К

 

Приложение Б