Тема 2. Теория производства и предложения благ

 

Типовые задачи с решениями

№ 1. Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией:

.

1. При каком количестве используемого труда достигается максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности труда; в) средней производительности труда.

2. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.

 

 

Решение

1а. Функция от одной переменной достигает максимума, когда ее производная равна нулю. С учетом того, что L > 0, получаем:

.

 

1б. Предельная производительность труда

достигает максимума при 10 = 3 L Þ L = 10/3.

 

1в. Средняя производительность труда

достигает максимума при L = 5.

 

2. По определению . При L = 5 средняя и предельная производительности равны 62,5; следовательно, 1.

 

№ 2. Фирма работает по технологии, отображаемой производствен­ной функцией Q = L ^0,75 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 144; r = 3. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.

 

Решение

а) . Условие равновесия фирмы MRTS_L,K = w/r.

.

Следовательно: .

б) → .

в) .

г) .

 

 

№ 3. Технология производства фирмы задана производственной функцией:

Q = 20 L ^0,5. Цена труда w = 2, а цена продукции фирмы Р = 5. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

 

Решение

а) В соответствии с технологией . Поэтому и .

По условию максимизации прибыли

.

 

б) TC = 500²/200 = 1250; в) AC = 1250/500 = 2,5;

г) MC = 500/100 = 5; д) L = 500²/400 = 625.

№ 4. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L ^0,25 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 2; r = 8 и продает свою продукцию по цене Р = 320. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки продавца.

Решение:

а) Условие равновесия фирмы:

.

В соответствии с технологией: . Следовательно:

.

Тогда . Из условия максимизации прибыли следует .

б) LTC = 8×20² = 3200; в) LAC = 3200/20 = 160;

г) LMC = 16×20 = 320; д) L = 2×400 = 800;

е) K = 0,5×400 = 200; ж) 20×320 – 3200 = 3200.

з) 0,5•20•320 = 3200

№ 5. Фирма с функцией общих затрат

может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.

1. Определите выпуск фирмы, а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль.

2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли;

б) излишка производителя.

3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.

 

Решение

1а. .

1б. .

2а. p = 20×3 – 8 – 8×3 – 2×9 = 10.

2б. D = 20×3 – 8×3 – 2×9 = 18.

3. .

№ 6. При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 1,6. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден. ед?

 

Решение

Общий вид линейной функции предложения: Q^S = m + nP.

Для нее e^S = nP*/Q* Þ n = e^SQ*/P*; m = Q* (1 – e^S).

В условиях задачи n = 2; m = 6; следовательно, функция предложения имеет вид

Q^S = – 6 + 2 P; при цене 12 объем предложения равен 18.

 

№ 7. На рынке имеются три продавца со следующими функциями предложения:

Определите эластичность рыночного предложения по цене, когда на рынке продается 11 ед. товара.

 

Решение

Для определения интервалов цен, соответствующих различным наклонам кривой рыночного предложения, перейдем от индивидуальных функций предложения к индивидуальным функциям цены предложения:

Следовательно, в интервале 0 < P £ 4 рыночное предложение представлено продавцом I; в интервале 4 < P £ 8 рыночное предложение равно сумме предложения I и III продавцов и только после P > 8 рыночное предложение равно сумме всех трех продавцов:

Отсюда видно, что 11 ед. товара будет продано по цене Р = 5; тогда e^S = 3×5/11 = 15/11.

Рис. 1. Рыночное предложение как сумма индивидуальных предложений

Задачи

 

№ 1. Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией

.

1. При каком количестве используемого труда достигается максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности труда; в) средней производительности труда.

2. Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.

 

№ 2. Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией: . Определите максимум: а) общего выпуска; б) предельной производительности труда; в) средней производительности труда.

 

№ 3. Фирма работает по технологии, отображаемой производствен­ной функцией Q = 10 L ^0,75 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 24; r = 8. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.

 

№ 4. Фирма работает по технологии, отображаемой производствен­ной функцией Q = 10 L ^0,75 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 5; r = 1. Определите в состоянии равновесия фирмы: а) среднюю производительность труда (продукт труда); б) среднюю производительность капитала (продукт капитала); в) предельную производительность труда; г) предельную производительность капитала.

№ 5. Технология производства фирмы задана производственной функцией:

Q = 10 L ^0,75. Цена труда w = 5, а цена продукции фирмы Р = 2. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

№ 6. Технология производства фирмы задана производственной функцией:

Q = 10 L ^0,75. Цена труда w = 5, а цена продукции фирмы Р = 4. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

№ 7. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L ^0,5 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 10; r = 5 и продает свою продукцию по цене Р = 100. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки производителя.

 

№ 8. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L ^0,5 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам: w = 1; r = 4 и продает свою продукцию по цене Р = 20. Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд; е) объем спроса фирмы на капитал; ж) прибыль фирмы; з) излишки производителя.

 

№ 9. Фирма с функцией общих затрат может продать любое количество своей продукции по цене Р = 24.

1. Определите выпуск фирмы, а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль.

2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка производителя.

3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.

 

№ 10. Фирма с функцией общих затрат может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.

1. Определите выпуск фирмы, а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль.

2. Рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка производителя.

3. Определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.

 

№ 11. Фирма с функцией общих затрат может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20.

1. Насколько объем выпуска, максимизирующий прибыль, больше объема выпуска, минимизирующего средние затраты?

2. Во сколько раз максимальные излишки производителя превышают максимальную прибыль?

№ 12. Общие затраты конкурентной фирмы равны . Рассчитайте, насколько при повышении цены на продукцию фирмы с 10 до 12: а) возрастет излишек производителя; б) уменьшится эластичность предложения по цене.

 

№ 13. При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 2.

1. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 12 ден. ед.?

2. При какой цене фермер предложит 30 кг яблок?

 

№ 14. При цене 10 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 15 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 2.

1. Сколько кг яблок продаст фермер, если цена будет равна 16 ден. ед?

2. При какой цене фермер предложит 45 кг яблок?

 

№ 15. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L ^0,5 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам. Определите эластичность предложения фирмы по цене.

 

№ 16. Фирма, максимизирующая прибыль, работает по технологии Q = L ^0,25 K ^0,25. Факторы производства она покупает по неизменным ценам. Определите эластичность предложения фирмы по цене.

№ 17. Фермер желает организовать производство в регионе, в котором имеется 80 га земли и можно нанять 120 ед. труда. Технология производства сельскохозяйственной продукции отображается функцией Q = L ^0,3 K ^0,6. Приняв ставку заработной платы за 1, установите такую ставку арендной платы за землю, чтобы фермер производил максимально возможный объем продукции.

№ 18. Фермер желает организовать производство в регионе, в котором имеется 80 га земли и можно нанять 200 ед. труда. Технология производства сельскохозяйственной продукции отображается функцией Q = L ^0,3 K ^0,6. Приняв ставку заработной платы за 1, установите такую ставку арендной платы за землю, чтобы фермер производил максимально возможный объем продукции.

 

№ 19. Функция общих затрат конкурентной фирмы – TC = 48 + 10 Q – Q ² + 0,5 Q ³. Во вторник фирма продала 10 ед. продукции, а в среду 12 ед. Насколько в указанный период возросла: а) цена продукции? б) прибыль фирмы?

 

№ 20. Функция общих затрат конкурентной фирмы – TC = 100 + 10 Q – 2 Q ² + 0,5 Q ³. Во вторник фирма продала 13 ед. продукции, а в среду 15 ед. Насколько в указанный период возросла: а) цена продукции? б) прибыль фирмы?

 

№ 21. Рассчитать постоянные, переменные, предельные, средние общие, средние постоянные и средние переменные затраты. Последние четыре величины изобразить графически. Зависимость общих затрат предприятия представлена в таблице:

 

Выпуск,	Общие затраты по вариантам, ден. ед.
шт.	I	II	III	IV	V	VI

№ 22. На рынке имеются три продавца со следующими функциями предложения:

1. Сколько единиц товара будет продано на рынке при Р = 10?

2. При какой цене можно будет продать 35 единиц товара?

3. Какова эластичность предложения по цене при Р = 11?

4. Какова эластичность предложения по цене при Q = 32?

№ 23. В течение года предприятие, оцениваемое в 2 млрд. ден. ед., затратило 300 млн ден. ед. на сырье и материалы, 100 млн ден. ед. на топливо и энергию и 400 млн ден. ед. на зарплату персонала. Выручка от реализации продукции за тот же период составила 1 млрд ден. ед. Владелец предприятия, являющийся одновременно его управляющим, мог бы в случае закрытия дела найти работу с месячной зарплатой в 1 млн ден. ед. Годовая ставка процента составляет 10%. Рассчитать бухгалтерскую и экономическую прибыль.

 

№ 24. Владелец небольшой фирмы работает сам и нанимает двух помощников, выплачивая им по 400 тыс. ден. ед. в месяц и 200 тыс. ден. ед. себе. Затраты на сырье составляют 3 млн ден. ед., аренда помещения обходится в 1 млн ден. ед. в месяц. Собственный капитал мог бы приносить владельцу при ином варианте его использования 500 тыс. ден. ед. в месяц, а работа по специальности в крупной корпорации – 600 тыс. ден. ед. Месячная выручка фирмы составляет 6 млн ден. ед. Стоит ли предпринимателю продолжать дело?

 

Тема 3. Ценообразование на рынке совершенной конкуренции

 

Типовые задачи с решениями

 

№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие при спросе Q^D = 150 – 3 P и предложении Q^S = –15 + 12 P. В результате увеличения доходов потребителей они стали покупать на 30 ед. товара больше при каждой цене.

1. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде? б) цена в коротком периоде? в) объем продаж в длительном периоде при неизменных ценах на факторы и технологии производства?

2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.

 

Решение

1а. В исходных условиях 150 – 3 P = –15 + 12 P Þ P = 11; Q = 117.

В мгновенном периоде объем предложения не изменится; поэтому 180 – 3 P = 117 Þ P = 21; D P = 10.

1б. В коротком периоде 180 – 3 P = –15 + 12 P Þ P = 13; D P = 2.

1в. Цена вернется к исходному уровню; поэтому

Q = 180 – 3×11= 147; D Q = 30.

2а. e^D = –0,282; e^S = 1,128; 2б) e^D = –0,351; e^S = 1,106.

 

№ 2. На рынке установилось равновесие при спросе

Q^D = 20 – P и предложении Q^S = –4 + 2 P. Для пополнения бюджета государство обязало производителей платить 3 ден. ед. с каждой единицы проданной продукции. Определите: а) насколько изменились цена и объем продаж; б) на сколько сокращение суммы излишков производителей и потребителей превышает сумму собранных налогов; в) долю налога, уплачиваемую потребителями; г) чистые потери общества от введения налога.

 

Решение

 

а) До введения налога 20 – P = –4 + 2 P ® P = 8;

Q = 12; после введения налога 20 – P = –4 + 2(P – 3) ® P = 10; Q = 10. Следовательно: D P = 2; D Q = –2.

б) Собрано налогов 3×10 = 30. Сумма излишков до введения налога: (20 – 8)×12/2 + (8 – 2) ×12/2 = 108; после

(20 – 10)×10/2 + (7 – 2) ×10/2 = 75. Следовательно:

(108 – 75) – 30 = 3.

в) D P/t = 2/3.

г) Чистые потери общества: (10 - 7) ∙ (12 - 10)∙1/2 = 3

Рис. 5. Последствия введения акциза

№ 3. Функция спроса на товар имеет вид: Q^D = 9 – P,

а функция его предложения – Q^S = – 3 + 3 P.

1. Сколько единиц товара будет продано, если установить такую ставку налога на единицу товара, чтобы сумма собранного налога была максимальной?

2. Какова будет сумма налогов?

 

Решение

 

Пусть с каждой проданной пачки взимается t ден. ед. Тогда условие равновесия на рынке достигается при

9 – P = – 3 + 3(P – t); P = 3 + 0,75 t; Q = 6 – 0,75 t. Сумма собранных налогов равна T = tQ = 6 t – 0,75 t ². Она достигает максимума при 6 – 1,5 t = 0 Þ t = 4. Тогда P * = 6; Q * = 3, а сумма T = 4×3 = 12.

 

 

№ 4. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности и одинаковым бюджетом – М = 500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 4. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

 

Решение

 

а) Выведем функцию спроса на благо А каждого покупателя из условия равновесия потребителя и бюджетного уравнения (см., например, решение задачи №4 темы 2):

и функцию предложения каждой фирмы из условия максимизации прибыли (см., например, решение задачи №4 темы 1): . Тогда

 

б) Спрос каждого покупателя ; при заданной цене 25 ед. Тогда рыночный спрос равен 5000 ед.

 

 

№ 5. Функция спроса на розы имеет вид , а функция их предложения , где

t = 0, 1,...,6 (дни недели от понедельника до субботы).

1. Определить равновесную цену роз.

2. Какие цены на розы будут по дням недели, если в воскресенье на рынке была равновесная цена, а в понедельник спрос возрос таким образом, что при каждом значении цены покупали на 30 роз больше?

3. Какова равновесная цена после увеличения спроса?

 

Решение

1. Цену равновесия найдем из равенства , которое выполняется при P_t = P_{t –1}. В этом случае получим 0,5 P – 10 = 200 – P Þ P * = 140; Q * = 60.

2. Понедельник: = 230 – P ₁, а = 60, отсюда

P ₁= 230 – 60 = 170. Вторник: = 0,5×170 – 10 = 75; P ₂= 230 – 75 = 155. Среда: = 0,5×155 – 10 = 67,5;

P ₃= 230 – 67,5 = 162,5. Четверг: = 0,5×162.5 – 10 = 71,3; P ₄= 230 – 71,3 = 158,8. Пятница: = 0,5×158,8 – 10 = 69,4; P ₅ = 230 – 69,4 =160,6. Суббота: = 0,5×160,6 – 10 = 70,3; P ₆= 230 – 70,3 = 159,7.

3. Равновесная цена определяется из выражения

0,5 P – 10 = 230 – P Þ P ^* = 160; Q ^* = 70.

№ 6. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D =120 – 3 P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 20 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат

TC = 10 + 8 Q – 4 Q ² + Q ³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

Решение

1. Выведем функцию предложения фирмы по цене из условия максимизации прибыли MC (Q) = P:

.

Когда в отрасли будет работать 20 фирм, тогда функция отраслевого предложения примет вид .

При заданном спросе на рынке установится равновесие с ценой, обеспечивающей равенство

120 – 3 P = ® P * = 16,7; Q * = 69,9.

2) В условиях совершенной конкуренции в длинном периоде отраслевое равновесие устанавливается при P = MC = AC _min. Определим, при каком значении Q средние затраты минимальны:

(AC)¢ = 2 Q – 4 –10/ Q ² = 0 ® Q = 2,69.

При таком объеме выпуска

AC = 2,69² – 4×2,69 + 8 + 10/2,69 = 8,2. Следовательно, в длинном периоде цена будет равна 8,2 ден. ед., а объем спроса составит 120 – 3×8,2 = 95,4 ед. Число фирм, удовлетворяющих при такой цене отраслевой спрос, определится из равенства

.

Рис. 6. Равновесие фирмы и отрасли

№ 7. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС ₁ = 4 + 6 Q + Q ², либо ТС ₂ = 256 – 25 Q + Q ². Определите цену и объем продаж в длительном периоде при отраслевом спросе; а) Q^D = 12,5 – 0,25 Р; б) Q^D = 35,5 – 0,5 Р.

 

Решение

а) В длительном периоде P = min AC. Минимум AC ₁ достигается при

,

то есть min AC ₁ = 4/2 + 6 + 2 = 10. Минимум AC ₂ достигается при

,

то есть min AC ₂ = 256/16 – 25 + 16 = 7. Следовательно, при P = 10 объем спроса должен быть не меньше2 единиц, а при P = 7 – не меньше16 единиц. При заданном спросе по цене P = 7 спрашивают только 10,75 ед. Поэтому фирмы будут использовать технологию с затратами TC ₁. Равновесие установится при P = 10; Q = 10.

б) Теперь по цене P = 7 спрашивают 32 ед. Равновесие установится при P = 7; Q = 32.

P

Рис. 7. Последствия изменения отраслевого спроса

 

№ 8. Спрос на морковь отображается функцией Q^D = 30 – P. Ее продают в условиях совершенной конкуренции 3 группы фермеров. Из-за различий в плодородии земли они имеют разные затраты. Первая группа может произвести 6 ед. моркови при TC ₁ = 8 q, вторая – 7 ед. при TC ₂ = 10 q, третья – 9 ед. при TC ₃ = 12 q.

1. Определите: а) общую сумму экономических затрат на проданную морковь; б) сумму альтернативных затрат.

2. На сколько возрастут средние экономические затраты и сумма альтернативных затрат, если покупатели из-за увеличения доходов при каждой цене будут спрашивать на 3 ед. моркови больше?

 

Решение

1. В заданных условиях функция цены предложения имеет вид:

 

 

Кривая отраслевого спроса пересекает кривую предложения при P = 12; Q = 18. Следовательно, 1-я и 2-я группы фермеров смогут продать весь свой урожай, а 3-я группа только 5 ед. моркови. Общие экономические затраты: 12×18 = 216. Альтернативные затраты (ренту) имеют только 1-я и 2-я группы фермеров в виде разницы между ценой и фактическими затратами; сумма альтернативных затрат: (12 – 8)6 + (12 – 10)7 = 38.

 

2. Теперь кривая отраслевого спроса пересекает кривую предложения при P = 12; Q = 21.

Прирост спроса удовлетворяется 3-й группой фермеров. Поэтому ни средние экономические затраты, ни сумма альтернативных затрат не изменятся.

 

Рис. 8. Альтернативные и экономические затраты

 

Задачи

 

№ 1. На рынке совершенной конкуренции установилось равновесие при спросе Q^D = 200 – 2 P и предложении

Q^S = –10 + 6 P. В результате увеличения доходов потребителей они стали покупать на 40 ед. товара больше при каждой цене. Насколько возрастет: а) цена в мгновенном периоде? б) цена в коротком периоде? в) объем продаж в длительном периоде при неизменных ценах на факторы и технологии производства?

2. Рассчитайте коэффициенты эластичности спроса и предложения по цене: а) до увеличения доходов потребителей; б) после увеличения их доходов в коротком периоде.

 

№ 2. На рынке пива установилось равновесие при спросе Q^D = 200 – 5 P и предложении Q^S = –10 + 5 P, а на рынке минеральной воды – при Q^D = 150 – 8 P и предложении Q^S = –4 + 2 P. Государство обязало производителей пива платить 4 ден. ед. с каждой проданной бутылки, а производителям минеральной воды стало доплачивать 2 ден. ед. за каждую проданную бутылку. Определите чистые экономические потери общества в результате указанных фискальных мероприятий государства.

 

№ 3. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P = 20; Q = 150; e^D = –2; e^S = 1,5. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов.

 

№ 4. На рынке с линейными функциями спроса и предложения установилось равновесие при P = 20; Q = 80;

e^D = –2; e^S = 1,25. Определите: а) излишки потребителей; б) излишки производителей; в) акциз на единицу продукции, максимизирующий сумму налогов; г) цену и объем продаж после введения такого акциза д) чистые экономические потери общества от акциза.

 

№ 5. Потребности в благе А 200 покупателей с одинаковой у всех функцией полезности вида и одинаковым бюджетом – М = 500 удовлетворяют 40 фирм с одинаковой у всех производственной функцией ; фирмы могут покупать любое количество труда по цене w = 1. Определите: а) цену и объем продаж блага А при Р_В = 10; б) объем рыночного спроса на благо В.

№ 6. В двух соседних регионах выращивают и потребляют картофель при следующих функциях спроса и предложения:

 

Перевозка единицы картофеля из одного региона в другой обходится в 9 ден. ед.

1. Насколько больше выращивается картофеля, когда его перевозка разрешена по сравнению с тем, когда она запрещена?

2. Какая цена транспортировки картофеля эквивалентна запрету на его перевозку?

 

№7. Рыночный спрос отображается формулой , а рыночное предложение – . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 10 ед. при любой цене.

1. Определите цену и объем продаж в 3-м периоде в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

2. Насколько возросла равновесная цена в результате увеличения спроса?

 

№8. Отраслевой спрос на продукцию характеризуется функцией Q^D = 270 – 5 P.

1. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано, если в отрасли работают 31 конкурирующих фирм с одинаковой у всех функцией общих затрат TC = 48 + 10 Q – 5 Q ² + Q ³?

2. Сколько таких фирм будет в отрасли в длительном периоде?

3. По какой цене и сколько единиц продукции будет продано в длительном периоде?

 

№ 9. Рыночный спрос – , а рыночное предложение – . В нулевом периоде на рынке существовало равновесие, а в 1-м периоде из-за повышения доходов покупателей объем спроса увеличился на 40 ед. при любой цене.

Определите цены на рынке с 1-го по 5-й периоды включительно в соответствии с паутинообразной моделью ценообразования.

№ 10. Отраслевой спрос отображается функцией Q^D = 250 – 10 Р. Отрасль функционирует в условиях совершенной конкуренции.

1. Какое количество фирм будет работать в этой отрасли в длительном периоде, если общие затраты на производство продукции равны LTC = 30 Q – 10 Q ² + Q ³?

2. Определите цену и объем продаж на рынке в длительном периоде.

 

№ 11. Рыночный спрос отображается функцией:

Q^D = 12,5 – 0,25 Р. В зависимости от объема используемого капитала общие затраты фирмы, продающей продукцию в условиях совершенной конкуренции, равны либо ТС ₁ = 4 + 6 Q + Q ², либо ТС ₂ = 98 – 10 Q + 0,5 Q ². На сколько возрастет объем продаж в длительном периоде, если в результате увеличения доходов потребителей они будут спрашивать на 16,5 ед. больше при каждой цене?

№ 12. Спрос на огурцы отображается функцией Q^D = 50 –2 P. Выращивать огурцы и продавать их в условиях совершенной конкуренции могут 3 группы фермеров. Из-за различий в плодородии земли они имеют разные затраты. Первая группа может произвести 10 т огурцов при TC ₁ = 5 q, вторая – 15 т при TC ₂ = 8 q, третья – 20 т при TC ₃ = 10 q. Определите средние экономические и предельные затраты на проданные огурцы.

 

№ 13. Какую сумму налогов получит государство при введении акциза на сахар в размере 2 руб за кг., если известно, что: а) сахар производят 120 конкурентных фирм; фирмы работают по технологии и могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w = 2, r = 18; б) покупают сахар 54 потребителя с одинаковыми функциями полезности и одинаковыми бюджетами М = 60?

 

№ 14. На рынке подсолнечного масла имеется 50 бедных покупателей с бюджетом 80 ден. ед. у каждого и 25 зажиточных покупателей, у каждого из которых бюджет равен 120 ден. ед. Предпочтения подсолнечного масла растительным жирам у всех покупателей одинаковые и характеризуются функцией полезности , где Q_m – количество масла в литрах; Q_g – количество жира в килограммах. Масло производится по технологии конкурентными фирмами, которые могут покупать труд и капитал в любом количестве по фиксированным ценам w=20, r = 5. Сколько растительного масла купит каждый бедный и каждый богатый покупатель, если цена растительного жира равна 10 ден. ед?

 

Тема 4. Ценообразование на рынке несовершенной конкуренции (монополия, монополистическая конкуренция, олигополия)

 

Типовые задачи с решениями

№ 1. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 4 + 2 q_i + 0,5 . Отраслевой спрос задан функцией: Q^D = 52 – 2 P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2. Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + q_i = P Þ = –2 + P.

Тогда совместное предложение 10 фирм:

.

В отрасли установится равновесие при:

– 20 +10 Р = 52 – 2 Р Þ P =6; Q = 40; q_i =4; p = 6×4 – 4 – 2×4 – 0,5×16 = 4.

Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определиться из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии нужно учитывать, что Q = 10 q_i. Поэтому TC = 20 + 0,2 Q + 0,5(Q /10)² = 20 + 0,2 Q + 0,05 Q²; тогда из условия максимизации прибыли получаем:

26 – Q = 0,2 + 0,1 Q Þ Q = 23,45; Р = 14,27.

Прибыль монополиста:

p = 15,1×21,82 – 40 – 2×21,82 – 0,05×21,82² = 222.

После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (222 – 72) = 150, то есть его прибыль возрастет в 150/4 = 37,5 раза.

 

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

 

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих затрат монополии

TC = 100 + 4 Q + 0,25 Q ².

1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2. На сколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3. Какова сумма получаемого налога?

4. На сколько сократятся излишки потребителей?

5. На сколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

 

Решение

1. Определим значение e^D и выведем функцию отраслевого спроса

 

 

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0,5 Q, то после введения акциза MC = 11 + 0,5 Q; максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5 Q = 39 – 3 Q Þ

Q * = 8; P * = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

 

2. В исходных условиях p = 24×10 – 100 – 40 – 25 = 75; После введения акциза p = 27×8 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3. Сумма налога: (8×7) = 56 ден. ед.

 

4. Теперь отраслевой спрос , а

MR = 49,5 – 3 Q. Максимум прибыли монополия получает при 11 + 0,5 Q = 49,5 – 3 Q Þ Q * = 11; P * = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.

 

№ 3. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса:

=160 – P _1;