Модели банка как совокупности стохастических финансовых процессов

Общей чертой моделей излагавшихся выше подходов яв­ляется то, что они описывают деятельность банка в целом, представ­ляя его в обобщенном виде. Теперь мы остановимся на методах, ориен­тированных на более подробное изучение закономерностей процессов, протекающих внутри финансовых институтов. В частности, особое внимание будет уделено средствам решения задач, возникающих в ходе привлечения депозитных финансовых ресурсов.

Очевидно, что как внешние условия, сопутствующие деятельности банка (финансовой фирмы), так и процессы, протекающие внутри него, являются результатом сложных и неоднозначных взаимодействий ог­ромного числа факторов, причин, зависимостей и закономерностей, большинство из которых имеет случайную (вероятностную) природу. Причина этого в том, что работа банков в значительной мере сопряжена с риском и неопределенностью. В связи с этим достаточно привлекательными и конструктивными представляются идеи, касаю­щиеся использования в экономико-математических моделях банков­ских структур инструментального аппарата теории вероятностей, ма­тематической статистики и теории массового обслуживания.

Достаточно хорошо зарекомендовали себя в этой области методы, связанные с подходом к описанию банка как совокупности стохасти­ческих финансовых потоков.

Способы, с помощью которых может быть описано текущее состояние банка или какого-либо иного финансового института, весьма разнооб­разны. Однако, наверное, одним из самых логически простых и естественных будет его представление с помощью вектора состояния или, как еще говорят, вектора характеристик:

 

(2.5.1)

 

Количественный и качественный состав компонент вектора опре­деляется степенью детализации представления банка в модели. Это может быть, допустим, объем депозитов до востребования или же объем конкретного вклада, принадлежащего конкретному лицу.

Фактически данная форма описания состояния банка с содержа­тельной точки зрения адекватна обычному банковскому балансу: компоненты вектора характеристик могут интерпретироваться как обычные статьи баланса, а их количество и структура соответствуют уровню его агрегированности (ежедневный, включающий счета второ­го порядка, или укрупненный квартальный).

Конкретные значения каждой из компонент вектора состояния определяются выбором единиц измерения для соответствующего ре­сурса (характеристики). Очевидно, что в подавляющем большинстве случаев это денежные измерители в той или иной валюте, но, в прин­ципе, возможны и иные формы учета. Например, через перечисление видов, количество и номиналы облигаций или же через указание чис­ла мерных слитков, веса драгоценных камней и т. п. Для обобщения допустимых способов исчисления значений компонент вектора состо­яний может быть введено понятие ресурсных единиц. Другими словами, состояние отдельного - го ресурса отождествляется с некото­рым элементом множества неотрицательных действительных чисел , геометрическим образом которого является положитель­ная полуось вещественной прямой. Таким образом, состояние банка в целом может быть представлено некоторой точкой неотрицательно­го ортанта -мерного евклидова пространства:

 

Множество всех возможных (допустимых) точек (векторов) обра­зует пространство состояний банка.

 

.

 

На основе элементов вектора , представляющих собой первичные характеристики состояния банка, могут быть получены некоторые производные (вторичные) характеристики

 

 

Очевидно, что вектор производных характеристик при таком зада­нии представляет собой функцию от вектора исходных характеристик

 

 

В качестве типичного примера вторичных характеристик состояния банка может быть приведена система обязательных финансовых нор­мативов (коэффициентов), устанавливаемых центральными банками или иными регулирующими органами.

Для того чтобы обеспечить в модели учет фактора времени, следует задать некоторое множество , элементы которого будем назы­вать моментами времени. Особо подчеркнем высокий уровень абст­ракции такого способа ввода понятия «время», относительно которого существует и развивается моделируемая система. Очевидно, что дан­ное определение охватывает в качестве частных случаев как непре­рывное, так и дискретное время. Традиционно в качестве модели не­прерывного физического времени используется множество точек бесконечной одномерной действительной числовой оси с фиксиро­ванным началом отсчета, а множество всех учитываемых моментов времени в этом случае представляет собой некоторый отрезок на этой оси (замкнутый или открытый):

 

или

 

При задании в модели банка непрерывного времени состояние -й характеристики может рассматриваться как значение функции , определенной на множестве и принимающей значения из множества . Тогда график играет роль траектории изменения во времени -й характеристики. Соответственно состояние банка в целом есть значение векторной функции от времени

 

(2.5.2)

 

а траектория системы представляет собой некоторую кри­вую в
-мерном пространстве. Каждая точка такой траектории являет­ся элементом пространства возможных состояний банка .

На основе введенных выше понятий может быть определен принципиально новый термин – «поток». Поток (flow) – экономическая величина, которая измеряется в движении с учетом рассматриваемого временного интервала. Раз­мерность потока – это объем, деленный на время. В то же время объем (stock, volume) – величина, характеризующая значение ка­кого-либо показателя на некоторый фиксированный момент вре­мени.

Содержательная сторона понятия «поток» связана с понятием ско­рости изменения состояния системы. Если предположить, что функции , задающие траектории изменения характеристик состояния бан­ка, являются «гладкими», т. е. дифференцируемыми во всех точках промежутка , то соответствующие первые производные

 

(2.5.3)

 

могут быть интерпретированы как скорости изменения этих характе­ристик. Учитывая, что является не чем иным, как объемом -го ресурса, выраженным в некоторых ресурсных единицах (р. е.), то функция представляет собой ресурсный поток, опреде­ляющий в каждый момент времени скорость изменения величины ресурса ( -й компоненты состояния банка) в ресурсных единицах, де­ленных на единицы измерения времени. Например, в рублях в день. При рассмотрении конкретного ресурса мы получаем конкретные виды потоков: финансовый поток, денежный поток, поток налично­сти и т. п.

Динамика банка в целом может быть описана с помощью векторно­го ресурсного потока

 

 

задающего вектор скоростей изменения состояний изучаемого объек­та в пространстве . При этом значение отдельной характеристики объекта
( -й компоненты вектора состояния) для любого момента вре­мени определяется по формуле

 

. (2.5.4)

С введением понятия ресурсного потока мы получаем возможность сформулировать модель, базирующуюся на представлении банка как системы (вектора) первичных ресурсных потоков

 

, (2.5.5)

 

Модель (2.5.5) является альтернативой модели (2.5.2), в основе ко­торой лежит система (вектор) состояний. Основываясь на формулах (2.5.3) и (2.5.4), можно прийти к заключению, что оба способа форма­лизованного представления банка при выполнении условий дифференцируемости функций будут эквивалентными.

Следующий шаг в процессе совершенствования рассматриваемого класса моделей связан с учетом в них факторов риска и неопределенности.

Для описания неопределенности, присутствующей в траектории со­стояний, в которых может оказаться исследуемый объект, удобно вос­пользоваться терминологией теории случайных процессов. Под случай­ным процессом (случайной функцией времени, стохастический процесс или вероятностный процесс) понимается функция которая может иметь ту или иную конкретную реализацию (тра­екторию) из некоторого фиксированного множества возможных тра­екторий

Обобщая сказанное, получаем, что в условиях неопределенности моделью динамики состояния банка может служить векторный слу­чайный процесс

 

 

каждая компонента которого описывает стохастическую динамику -й характеристики (ресурса) банка. По аналогии фактор неопре­деленности, присутствующий в системе ресурсных потоков банка, мо­жет быть описан в формализованном виде при помощи векторного случайного процесса

 

 

Одновременно заметим, что модели, основывающиеся на задании стохастических процессов в общем виде, имеют исключительно теоре­тическое значение и предназначены лишь для изложения на принци­пиальном уровне идей применения соответствующего математическо­го аппарата. Исследования, направленные на содержательный анализ закономерностей работы банков, так или иначе должны опираться на предпосылки, конкретизирующие тип и параметры используемых в них случайных величин и функций.

Рассмотрение моделей управления привлеченными ресурсами в фи­нансовой фирме логично начать с моделей, носящих описательный ха­рактер, т. е. отражающих тенденции в поведении величины того или иного ресурса безотносительно к сознательным управляющим воздействиям на нее. Очевидно, изменения таких величин являются результатом влияния различных по своей природе факторов, носящих как по силе, так и по природе своего проявления случайный характер, что и предопределяет использование для отражения процесса изменения объемов финансовых ресурсов банка теории оптимального управления и теории случайных процессов.

Рассмотрим простейшая мультипликативная стохастическая модель динамики финансового ресурса. Исследование моделей поведения объемов ресурсов финансовой фирмы начнем с наиболее простой стохастической модели для отдельно взятого ресурса. В качестве наблюдаемого ресурса могут выступать, как привлеченные средства в целом, так и депозиты до востребования, срочные депозиты и т. д.

В основе исследуемой модели лежит предпосылка о возможности отслеживать объемы изучаемого ресурса через дискретные равноотстоящие промежутки времени . Обозначим через – объем в момент времени .

Предположим, что переход объема ресурса от момента времени к моменту времени описывается соотношением

 

, (2.5.6)

 

где – положительный коэффициент элементарного перехода от к

 

. (2.5.7)

 

Эта формула может быть интерпретирована как мультипликативная модель ресурса на дискретном отрезке времени .

Если наблюдаемые значения коэффициентов элементарных переходов интерпретировать как значения соответствующих случайных величин , то формула (2.5.7) дает следующую стохастическую мультипликативную модель динамики ресурса на дискретном отрезке времени :

 

, (2.5.8)

 

где – случайное значение величины ресурса в момент времени
.

Предположим, что все случайные коэффициенты элементарных переходов независимы, и каждый из этих коэффициентов имеет логарифмически нормальное распределение . Иными словами, предполагается, что натуральный логарифм случайной величины имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и с дисперсией

Знание плотности распределения

 

, (2.5.9)

 

случайной величины позволяет найти математическое ожидание

 

, (2.5.10)

 

второй начальный момент

 

(2.5.11)

 

и дисперсию

 

(2.5.12)

 

случайного коэффициента элементарного перехода.