Перестановки без повторений (см. 3.1) .

Размещение без повторенийиз элементов по элементов называется перестановкой из элементов.

число всех перестановок из элементов.

Пример 3.3. Пусть и в урне лежат три буквы . Найти .

 

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех перестановок из трех элементов:

; .

2) .

Можно показать, что все перестановки можно получить так:

а) выбираем одну (любую) перестановку;

б) переставляем всеми способами буквы в избранной перестановке.

Перестановки с повторениями.

Предположим, что имеется разных букв и в урне лежат следующие объекты: штук, штук, … штук.

Из этой урны с возвращением вытаскиваем последовательно все букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется перестановкой с повторениями и параметрами .

число всех разных перестановок с повторениями и параметрами .

Пример 3.4. Пусть в урне лежат две буквы и две буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех перестановок с повторениями и параметрами , :

; .

2) .

Доказательство формулы из 3.2.

Пусть множество всех букв, лежащих в урне, а множество всех размещений с повторениями из элементов по элементов. Ясно, что (всего множителей). По правилу произведения .

 

Сочетания без повторений. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Сочетания без повторений.

Рассмотрим конечное непустое множество , где . Ясно, что . Пусть и , . Подмножество множества называется сочетанием без повторений из элементов по элементов.

число всех сочетаний без повторений из элементов по элементов.

Если , то получается одно подмножество и .

Пример 4.1. Пусть и . Найти , .

Решение.

Множество сочетаний и их количество выглядят так: , ;

, ; , ; , .

 

Треугольник Паскаля.

Свойство 4.1. Верны утверждения:

1) ,если ; 2) , если ;

3) , если и .

 

Свойство 4.1. позволяет построить бесконечный треугольник, который называется треугольником Паскаля. Он выглядит так:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……………………………………….

В треугольнике Паскаля в строке с номером находятся числа , где . В частности, в третьей строке:

, , , .

Каждое внутреннее число строки, начиная со второйстроки, равно сумме двух ближайших чисел из предыдущей строки (см. третье утверждение свойства 4.1). Каждое крайнее число строкиравно единице (см. первое равенство из первого утверждения свойства 4.1).

Бином Ньютона.

Свойство 4.2. Верны утверждения:

1) , где , , целое число;

2) , где , , целое число;

 

§5. Классическая вероятностная схема. Основные свойства вероятности события. Прикладные задачи. Элементарные события как возможные исходы некоторого испытания (опыта).

5.1. Основные определения. Вероятность события и ее свойства.

Рассмотрим конечное непустое множество , где . Его элементы будем называть элементарными событиями, а само множество будем называть пространством элементарных событий.

Определение. Любое подмножество множества называется событием.

Другими словами, множество событие .

Так как , то пустое множество является событием и называется невозможным событием.

Так как , то пространство элементарных событий является событием и называется достоверным событием.

Ввиду того, что число событий, состоящих из элементарных событий, то число всех событий в силу формулы бинома Ньютона равно

.

Видно, что все изучаемые нами события (специальные множества, состоящие из элементарных событий) содержатся в одном универсальном множестве . При таких условиях можно применять пять основных операций над событиями, при этом используется следующая терминология: если событие, то событие называется противоположным к событию ; если , то говорят, что события и несовместны.

Определение. Для любого события число

(5.1)

называется вероятностью события (вероятностной мерой события ).

Рассмотрим основные свойства вероятности события , опираясь на свойства другой меры события (числа элементов события ).

Свойство 5.1. для любого события .

Свойство 5.2 (вероятность достоверного события). .

Свойство 5.3( теорема сложения или свойство конечной аддитивности вероятности ). Верны утверждения:

1)если , то ;

2)если , и , то ;

3)если , ,

то .

Замечание. Интересно, что свойства 5.4 5.9 можно вывести из свойств 5.1 5.3. Если вместо формулы (5.1) вероятность вводится по-другому, то она тоже должна удовлетворять свойствам 5.1 5.3, а значит и свойствам 5.4 5.9.

Поэтому свойства 5.1 5.3 обычно объявляют аксиомами теории вероятностей, причем требуют, чтобы третье утверждение свойства 3 выполнялось и при .

Если не удается ввести вероятность события для всех событий, то ее вводят для избранных событий (см. [6]).

Свойство 5.4( вероятность объединения).

Верны утверждения:

1) ;

2) .

Свойство 5.5( вероятность разности).

Верны утверждения:

1) ;

2) ;

3) если , то .

Свойство 5.6 ( свойство монотонности вероятности ).

Верны утверждения:

1)если , то ;

2) , ;

3) ,

Свойство 5.7 (вероятность противоположного события).

.

Свойство 5.8 (вероятность невозможного события). .

Свойство 5.9. для любого события .

Свойство 5.10 (о вероятностях элементарных событий).

, т.е. вероятности всех элементарных событий равны.

 

5.2. Прикладные задачи. Элементарные события как возможные исходы некоторого испытания (опыта).

Проводится некоторое испытание (опыт) с конечным числом возможных исходов и это испытание может повторяться любое число раз. Если в результате испытания возникает некоторый возможный исход , , то говорят, что он появляется или наступает. Предполагается, что выполнены следующие условия:

а) обязательно хотя бы один из возможных исходов , , наступит;

б) возможные исходы , , с разными номерами одновременно наступить не могут;

в) возможные исходы имеют одинаковые шансы появиться, т.е. нет оснований предполагать, что одни из них появляются чаще, чем другие.

Последнее условие необходимо в силу свойства 5.10, которое было выведено из формулы (5.1). Если вероятность события вводится по другой формуле, то это условие надо поменять на другое. В прикладных задачах при их формулировке часто для соблюдения условия в) применяют следующие слова: «наугад», «симметричный», «одинаковый» и др.

После таких предположений можно говорить о множестве всех возможных исходов и следовать традиционной интерпретации терминов из предыдущей теории:

1)элементарные события отождествляются с возможными исходами;

2) событие наступает (появляется), если наступает (появляется) элементарное событие в него входящее;

3) если элементарное событие есть элемент события (входит в событие ), то говорят, что это элементарное событие благоприятствует событию .

4)достоверное событие наступает всегда, так как состоит из всех элементарных событий;

5) невозможное событие никогда не наступает, так как в нем нет элементарных событий;

6) тогда и только тогда, когда верно утверждение: если наступает событие , то наступает событие ;

7) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

8) событие наступает тогда и только тогда, когда хотя бы одно из событий или наступает;

9) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

10) если наступает событие , то событие не наступает;

11)вероятность события это оценка шансов наступления события .

Пример 5.1. Симметричный игральный кубик наугад бросается один раз на гладкий стол. Найти вероятность того, что на верхней грани появится число, делящееся на три.

Решение.

Испытание это однократное бросание кубика на гладкий стол наугад.

Шесть возможных исходов:

;

на верхней грани появился целый номер .

пространство элементарных событий.

Событие на верхней грани появится число, делящееся на три. В силу формулы (5.1) искомая вероятность равна

.