Операции над множествами и их свойства.

Операции над множествами и их свойства.

1.1. Основные определения.

Множество есть набор любых объектов. Объекты, из которых множество состоит, называются элементами множества. Для каждого множества указывают его имя (обозначение): . Синонимы слова «множество»: совокупность, класс, система, мешок.

Если является элементом множества, то это записывается так: (читается: принадлежит множеству ). Если не является элементом множества , то это записывается так: (читается: не принадлежит множеству ). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

В традиционных курсах математики для технических университетов множества обычно изучают, опираясь на интуицию и здравый смысл.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: .

Для задания (описания) множеств чаще всего используются два способа.

Способ 1. Явное перечисление всех элементов множества.

.

В фигурных скобках перечисляются через запятую все элементы множества . Элементы в списке не должны повторяться. Этот способ удобен для описания (задания) конечных множеств с небольшим числом элементов.

Пример 1.1. . Видно, что , , , .

Способ 2. Указание свойства , которым обладают все элементы множества.

.

Читается так: множество состоит из всех элементов , которые обладает свойством (свойство указывается после вертикальной черты). Этот способ удобен для описания (задания) конечных множеств с большим числом элементов или бесконечных множеств.

Пример 1.2. . Перейти от второго способа задания множества к первому способу задания этого же множества.

Решение.

Ясно, что (см. пример 1.1).

Операции над множествами.

Операция 1 (). Включение множеств.

множество содержится в множестве множество часть множества все элементы множества являются элементами множества . Считается, что . Ясно, что . Видно также, что верно утверждение: . Если , то говорят, что множество является подмножеством множества .

Операция 2 (. Объединение (сумма) двух множеств.

объединение или сумма множеств и .

Другими словами, объединением или суммой множеств и называется такое множество , элементами которого являются те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или (рис.1.2). Ясно, что .

Операция 3 (. Пересечение (произведение) двух множеств.

пересечение или произведение множеств и (точка обычно опускается).

Другими словами, пересечением или произведением множеств и называется такое множество , элементами которого являются те и только те элементы, которые принадлежат одновременно обоим этим множествам. Говорят также, что это общая часть множеств и (рис.1.1). Ясно, что .

Операция 4 (). Разность двух множеств.

разность множеств и .

Другими словами, разностью множеств и является множество элементами которого являются те и только те элементы, которые одновременно являются элементами множества и не являются элементами множества (рис.1.1). Говорят также, что множество получается из множества удалением всех элементов, попадающих в множество . Ясно, что .

Операция 5( черта сверху). Дополнение множеств.

Предположим, что все изучаемые нами множества содержатся в одном множестве . Будем называть множество универсальным множеством. Такая ситуация возникает в теории вероятностей. Итак, пусть .

дополнение к множеству (в ) (рис.1.2).

Видно, что верны утверждения: , ; если , то , т.е. ; , ; , .

Операция 6 . Объединение (сумма) множеств.

 

, ,

,

……………………………………………………………

.

Такое определение возможно из-за двух обстоятельств:

1)объединение (сумма) двух множеств уже определена;

2) объединение (сумма) двух множеств обладает свойством ассоциативности (см. свойства операций над множествами).

Другими словами, объединением или суммой множеств целое, называется такое множество , элементами которого являются те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств целое.

Естественно считать, что .

Операция 7 . Пересечение (произведение) множеств.

 

, ,

,

……………………………………………………………

.

Такое определение возможно из-за двух обстоятельств:

1)пересечение (произведение) двух множеств уже определено;

2) пересечение (произведение) двух множеств обладает свойством ассоциативности (см. свойства операций над множествами).

Другими словами, произведением множеств целое, называется такое множество , элементами которого являются те и только те элементы, которые принадлежат всем множествам целое.

Естественно считать, что .

Операция 8 (, для двух множеств). Пусть и непустые множества. Множество всех упорядоченных пар двух объектов, где первый объект берется из множества , а второй объект берется из множества , называется прямым произведением множеств и .

Обозначение: прямое произведение двух множеств и .

Видно, что .

Операция 9 (, для множеств). Пусть непустые множества, . Множество всех упорядоченных наборов объектов, где первый объект берется из множества , второй объект берется из множества , ый объект берется из множества , называется прямым произведением множеств

Обозначение: прямое произведение множеств

Видно, что .

Рис. 1.1. Геометрическая интерпретация операций 3,4 с множествами.

 

Пример 1.3. Пусть даны два множества:

и . Найти множества: , , , .

Решение.

Ясно, что – это множество целых решений неравенства , а – множество целых решений уравнения . Неравенство и уравнение легко решаются. Это позволяет перейти от второго способа описания множеств и к первому способу:

,

После этого легко находятся множества , , , , если применить определения соответствующих операций:

, , .

 

Размещения без повторений.

Предположим, что в урне лежат разных объектов, которых будем называть буквами. Из этой урны без возвращения вытаскиваем последовательно букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется размещением без повторений из элементов по элементов.

число всех размещений без повторений из элементов по элементов,

где , , , , …, (читается: эн факториал). Если , то получается одно пустое слово и .

Пример 3.1. Пусть , и в урне лежат три буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех размещений из элементов по элемента: ; .

2) .

Размещения с повторениями.

Предположим, что в урне лежат разных объектов, которых будем называть буквами. Из этой урны с возвращением вытаскиваем последовательно букв. Получается слово длины , если буква, появившаяся при вытаскивании с номером , вставляется в это слово на место с таким же номером . Полученное слово называется размещением с повторением из элементов по элементов.

число всех размещений с повторениями из элементов по элементов.

Если , то получается одно пустое слово и .

Пример 3.2. Пусть , и в урне лежат три буквы . Найти .

Решение.

1)Нахождение с помощью явного указания всех размещений из элементов по элемента: ; .

2) .

 

Сочетания без повторений.

Рассмотрим конечное непустое множество , где . Ясно, что . Пусть и , . Подмножество множества называется сочетанием без повторений из элементов по элементов.

число всех сочетаний без повторений из элементов по элементов.

Если , то получается одно подмножество и .

Пример 4.1. Пусть и . Найти , .

Решение.

Множество сочетаний и их количество выглядят так: , ;

, ; , ; , .

 

Треугольник Паскаля.

Свойство 4.1. Верны утверждения:

1) ,если ; 2) , если ;

3) , если и .

 

Свойство 4.1. позволяет построить бесконечный треугольник, который называется треугольником Паскаля. Он выглядит так:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

……………………………………….

В треугольнике Паскаля в строке с номером находятся числа , где . В частности, в третьей строке:

, , , .

Каждое внутреннее число строки, начиная со второйстроки, равно сумме двух ближайших чисел из предыдущей строки (см. третье утверждение свойства 4.1). Каждое крайнее число строкиравно единице (см. первое равенство из первого утверждения свойства 4.1).

Бином Ньютона.

Свойство 4.2. Верны утверждения:

1) , где , , целое число;

2) , где , , целое число;

 

§5. Классическая вероятностная схема. Основные свойства вероятности события. Прикладные задачи. Элементарные события как возможные исходы некоторого испытания (опыта).

5.1. Основные определения. Вероятность события и ее свойства.

Рассмотрим конечное непустое множество , где . Его элементы будем называть элементарными событиями, а само множество будем называть пространством элементарных событий.

Определение. Любое подмножество множества называется событием.

Другими словами, множество событие .

Так как , то пустое множество является событием и называется невозможным событием.

Так как , то пространство элементарных событий является событием и называется достоверным событием.

Ввиду того, что число событий, состоящих из элементарных событий, то число всех событий в силу формулы бинома Ньютона равно

.

Видно, что все изучаемые нами события (специальные множества, состоящие из элементарных событий) содержатся в одном универсальном множестве . При таких условиях можно применять пять основных операций над событиями, при этом используется следующая терминология: если событие, то событие называется противоположным к событию ; если , то говорят, что события и несовместны.

Определение. Для любого события число

(5.1)

называется вероятностью события (вероятностной мерой события ).

Рассмотрим основные свойства вероятности события , опираясь на свойства другой меры события (числа элементов события ).

Свойство 5.1. для любого события .

Свойство 5.2 (вероятность достоверного события). .

Свойство 5.3( теорема сложения или свойство конечной аддитивности вероятности ). Верны утверждения:

1)если , то ;

2)если , и , то ;

3)если , ,

то .

Замечание. Интересно, что свойства 5.4 5.9 можно вывести из свойств 5.1 5.3. Если вместо формулы (5.1) вероятность вводится по-другому, то она тоже должна удовлетворять свойствам 5.1 5.3, а значит и свойствам 5.4 5.9.

Поэтому свойства 5.1 5.3 обычно объявляют аксиомами теории вероятностей, причем требуют, чтобы третье утверждение свойства 3 выполнялось и при .

Если не удается ввести вероятность события для всех событий, то ее вводят для избранных событий (см. [6]).

Свойство 5.4( вероятность объединения).

Верны утверждения:

1) ;

2) .

Свойство 5.5( вероятность разности).

Верны утверждения:

1) ;

2) ;

3) если , то .

Свойство 5.6 ( свойство монотонности вероятности ).

Верны утверждения:

1)если , то ;

2) , ;

3) ,

Свойство 5.7 (вероятность противоположного события).

.

Свойство 5.8 (вероятность невозможного события). .

Свойство 5.9. для любого события .

Свойство 5.10 (о вероятностях элементарных событий).

, т.е. вероятности всех элементарных событий равны.

 

5.2. Прикладные задачи. Элементарные события как возможные исходы некоторого испытания (опыта).

Проводится некоторое испытание (опыт) с конечным числом возможных исходов и это испытание может повторяться любое число раз. Если в результате испытания возникает некоторый возможный исход , , то говорят, что он появляется или наступает. Предполагается, что выполнены следующие условия:

а) обязательно хотя бы один из возможных исходов , , наступит;

б) возможные исходы , , с разными номерами одновременно наступить не могут;

в) возможные исходы имеют одинаковые шансы появиться, т.е. нет оснований предполагать, что одни из них появляются чаще, чем другие.

Последнее условие необходимо в силу свойства 5.10, которое было выведено из формулы (5.1). Если вероятность события вводится по другой формуле, то это условие надо поменять на другое. В прикладных задачах при их формулировке часто для соблюдения условия в) применяют следующие слова: «наугад», «симметричный», «одинаковый» и др.

После таких предположений можно говорить о множестве всех возможных исходов и следовать традиционной интерпретации терминов из предыдущей теории:

1)элементарные события отождествляются с возможными исходами;

2) событие наступает (появляется), если наступает (появляется) элементарное событие в него входящее;

3) если элементарное событие есть элемент события (входит в событие ), то говорят, что это элементарное событие благоприятствует событию .

4)достоверное событие наступает всегда, так как состоит из всех элементарных событий;

5) невозможное событие никогда не наступает, так как в нем нет элементарных событий;

6) тогда и только тогда, когда верно утверждение: если наступает событие , то наступает событие ;

7) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

8) событие наступает тогда и только тогда, когда хотя бы одно из событий или наступает;

9) событие наступает тогда и только тогда, когда события и наступают одновременно;

10) если наступает событие , то событие не наступает;

11)вероятность события это оценка шансов наступления события .

Пример 5.1. Симметричный игральный кубик наугад бросается один раз на гладкий стол. Найти вероятность того, что на верхней грани появится число, делящееся на три.

Решение.

Испытание это однократное бросание кубика на гладкий стол наугад.

Шесть возможных исходов:

;

на верхней грани появился целый номер .

пространство элементарных событий.

Событие на верхней грани появится число, делящееся на три. В силу формулы (5.1) искомая вероятность равна

.

 

Решение.

Элементарные события−это сочетания без повторений из 36 элементов по 5 элементов (пятиэлементные множества из номеров ). Пусть пространство элементарных событий.

число всех элементарных событий. Следует подчеркнуть, что число вычислялось с помощью сокращения факториалов , и , что позволило избежать операций с большими числами. Пусть число элементарных событий, входящих в событие (благоприятствующих событию ). Так как среди элементарных событий избранное множество встречается один раз, то . Вероятность события равна .

Задача 7.2. (о двух стандартах). В партии из деталей имеются окрашенных деталей. Наугад из этой партии деталей выбираются деталей. Найти вероятность того, что в наборе из выбранных деталей появятся ровно окрашенные детали.

Решение.

Элементарные события−это сочетания без повторений из элементов по элементов ( элементные множества, составленные из элементов). Пусть пространство элементарных событий.

число всех элементарных событий.

Событие состоит из элементарных событий, составленных из окрашенных деталей и неокрашенных деталей. Если набор неокрашенных деталей в элементарном событии фиксирован, то окрашенных деталей дают еще новых элементарных событий. Аналогично, если набор окрашенных деталей в элементарном событии фиксирован, то неокрашенных деталей дают еще новых элементарных событий. Пусть число элементарных событий, входящих в событие (благоприятствующих событию ).

По правилу произведения .

Вероятность события равна .

Осталось учесть, что , , , .

.

Следует подчеркнуть, что числа , и вычислялось с помощью сокращения факториалов, что позволило избежать операций с большими числами.

 

Схема Бернулли.

9.1. Основные определения.

Из урны, в которой лежат две буквы и , последовательно с возвращением вытаскивают одну букву и ра