Непрерывность функции в точке

Функция f (x), х є (а; b) называется непрерывной в точке х ₀ є (а; b), если

предел функции f (x) в точке х ₀ существует и равен значению функции в этой точке:

 

 

Согласно данному определению непрерывность функции f в точке х ₀ означает выполнимость следующих условий:

1) функция f (х) должна быть определена в токе х ₀;

2) у функции f (х) должен существовать предел в точке х ₀

3) предел функции f (х) в точке х ₀ совпадает со значением функции в этой точке.

 

Например, функция f (x) = х² определена на всей числовой прямой и Так как f (1) = = 1, т.е. значение f (x) = х ²в точке х = 1 совпадает с пределом при х → 1, то, согласно определению, функция f (x) = х ² непрерывна в точке х = 1.

Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Дадим другое определение непрерывности функции в точке.Функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Если функция непрерывна в точке , то точка называется точкой непрерывности. В противном случае точка - называется точкой разрыва.

Если функция имеет в точке разрыв, то для определения характера разрыва следует найти предел функции при слева и справа. В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают 2 основных вида разрыва:

1) разрыв I рода – в этом случае существуют конечные пределы

2 ) разрыв II рода – в этом случае хотя бы один из пределов или не существует или бесконечен.

 

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Найти предел функции f(x) = |x| при x®0

Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как f(x)=-x для х, удовлетворяющих неравенству x<0, то

 

.

 

Так как f(x)=x, при x>0

.

 

Таким образом, f(+0)=f(-0)=0. Так как односторонние пределы в точке нуль совпали, то предел функции f(x) в точке нуль существует и равен их общему значению, т.е.:

.

 

Пример 2. Доказать, что функция не имеет предела в точке х=1.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Вычислим односторонние пределы этой функции в точке х=1:

,

.

Итак, f(1-0)¹f(1+0). Следовательно, данная функция не имеет предела в точке х=1.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение: воспользуемся определением 1:

1) Т.к. определена на всей числовой прямой, то условие 1) выполнено;

2) ; ;

значит предел функции в точке существует и .

3) ;

Отсюда имеем, что , т.е. предел функции при равен значению функции при . Следовательно, функция в точке х=3 непрерывна.

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию в точке .

Решение: опять воспользуемся определением 1:

1) в точке функция не определена, значит нет выполнения первого условия, и непрерывности в точке нет.

Пример 5. Исследовать на непрерывность функцию

Решение: функция определена на всей числовой оси. В таких случаях удобно для исследования на непрерывность пользоваться вторым определением.

Дадим аргументу приращение и найдем приращение функции :

 

 

Найдем предел при :

Т.к. равенство справедливо при любом конечном значении , поэтому функция непрерывна при любом значении .

 

 

Пример 6. Найти точки разрыва функций и определить их характер: а) ; б) .

Решение: а) т.к. в точке функция не определена, значит ее точкой разрыва будет точка . Для определения характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при : ; . Значит, функция в точке имеет разрыв II рода.

б) Функция имеет единственную точку разрыва , в которой функция не определена. Вычислим односторонние пределы функции при : ; . Т.к. левый и правый пределы функции в точке конечны, то точка - точка разрыва I рода.

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке функции f(x), заданной графиком:

2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. , если

 

3. Исследовать на непрерывность функцию:

а) y = 2x² + 8x в точке x₀ = -1; б) y = sin x на (-∞;+∞);

 

 

4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:

а) ; б) ;

Вариант 2

1. Указать, чему равны односторонние пределы в точке функции f(x), заданной графиком:

 

 

2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. , если

 

3. Исследовать на непрерывность функцию:

а) y = -2x² + 5x в точке x₀ = 2: б) y = x³ на (-∞;+∞)

 

4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:

а) ; б) ;

 

Вариант 3

1. Указать чему равны односторонние пределы в т. функции f(x), заданной графиком:

 

2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. , если

 

 

3. Исследовать на непрерывность функцию:

а) y = x² + 7x в точке x₀ = 3; б) y =sin 2x на (-∞;+∞);

4. Найти точки разрыва функции и определить их характер:

а) ; б) ;

Вариант 4

1. Указать чему равны односторонние пределы в т. функции f(x), заданной графиком:

 

2. Выяснить, существует ли предел функции f(x) в т. , если

 

3. Исследовать на непрерывность функцию:

а) y = 4x² – 3x + 1 в точке x₀ = 2; б) y = cos 2x на (-∞;+∞);

 

4. Найти точки разрыва функции и определить их характер

а) ; б)

Контрольные вопросы

1. Дайте определение односторонних пределов функции;

2. Сформулируйте условие существования предела функции в точке;

3. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

4. Какие три условия необходимо проверить при исследовании функции на непрерывность?

5. Что такое точка непрерывности и точка разрыва?

6. Как определить характер точки разрыва?