Законы динамики вращательного тела

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

Твердое тело эквивалентно системе материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращении твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета оси отдельные его элементарные ("точечные") части с массами описывают окружности различных радиусов и имеют различные линейные скорости (рис.1.1). Однако угловая скорость вращения всех этих точек одинакова, т.е.

(1.1)

Момент импульса i -й материальной точки

(1.2)

Момент импульса L твердого тела складывается из моментов импульса всех составляющих это тело материальных точек:

(1.3)

или (1.4)

где

- (1.5)

момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

 

 

 

Рис. 1.1 Рис.1.2

 

Суммирование в выражении (1.5) проводится по всем материальным точкам, образующим тело. Для однородных тел симметричной формы момент инерции может быть вычислен путем интегрирования

 

(1.6)

где - плотность тела," - элемент объема.

На рис.1.3 указаны значения моментов инерции точечного тела однородного тонкого обруча (кольца), однородного сплошного диска, однородного шара и однородного стержня, относительно указанных на рис.1.3 осей вращения.

 

 

 

 

 

Рис. 1.3

 

Если момент инерции твердого тела относительно оси 00, проходящей через его центр инерции, известен и равен , то момент инерции относительно любой другой параллельной оси AA вычисляется на основе теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 1.4).

 

 

Рис. 1.4

 

(1.7)

Под действием приложенных к телу внешних сил момент импульса изменяется со скоростью , пропорциональной моменту внешних сил :

(1.8)

где - угловое ускорение, приобретаемое телом.

(1.9)

Здесь ~ момент силы относительно оси вращения i -й внешней силы, приложенной к телу; - проекция этой силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения тела; - плечо этой силы (рис.1.2).

Формула(1.8) выражает основной закон вращательного движения твердых тел, для которых .

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется суммированием кинетических энергий всех материальных точек, составляющих тело:

где m_i - масса i -й материальной точки;

; - скорость материальной точки;

- угловая скорость;

- расстояние от точки до оси вращения.

Если тело движется как целое и еще вращается, то его кинетическую энергию можно представить в виде суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движений

(1.11)

где - скорость центра масс (центра инерции) твердого тела;

- момент инерции относительно оcи, проходящей через центр масс.

Для определения потенциальной энергии вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела предположим, что на тело действует момент внешней силы, зависящий только от угла поворота φ тела относительно оси.

Напишем уравнение моментов

(1.12)

Умножим (1.12) на :

(1.13)

Так как

(1.14)

 

то (1.15)

Проинтегрируем это уравнение. Для этого вычислим интегралы от левой и правой частей (1.15):

(1.16)

 

 

(1.17)

Функция называется потенциальной энергией.

Так как неопределенные интегралы(1.16) и (1.17) вычислены с точностью до произвольной постоянной, то в результате интегрирования (1.15) получаем уравнение

(l.18)

выражающее закон сохранения энергии; сумма кинетической энергии и потенциальной энергии есть величина постоянная.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5