Проверка статистических гипотез о законах распределения

гр. Е-341 Александров Александр Алексеевич

Цель работы: Ознакомление с методом статистических испытаний. Определение вида и параметров закона распределения случайной величины – скорости сквозного пробития преграды. Определение гарантированной скорости сквозного пробития.

Метод исследования: метод статистических испытаний заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

калибр [м] 0.0370 0.0002

масса [кг] 0.7200 0.0048

высота головной части [м] 0.0300 0.0015

толщина преграды [м] 0.0300 0.0002

предел текучести мат. преграды [Па] 910000000 9100

плотность мат. преграды [кг/м³] 7800.0000 100.0000

диаметр притупления головной части [м] 0.0200 0.0002

количество опытов 500

количество разрядов гистограммы 10

Результаты расчета

V_min V_max V_sr

511.21 543.00 524.45

Дисперсия Среднеквадратичное

отклонение

26.75 5.17

N gr V(i) V(i+1) N

--------------------------------------

1.00 511.21 514.39 12.00

2.00 514.39 517.57 35.00

3.00 517.57 520.74 72.00

4.00 520.74 523.92 111.00

5.00 523.92 527.10 108.00

6.00 527.10 530.28 89.00

7.00 530.28 533.46 52.00

8.00 533.46 536.64 18.00

9.00 536.64 539.82 1.00

10.00 539.82 543.00 1.00

Статистическая обработка результатов

Для аппроксимации полученного выборочного распределения с помощью нормального закона необходимо заменить теоретические параметры нормального распределения т_х и s_х их выборочными значениями т_х^* и sx^*, полученными в результате расчета

т_х^* = 524,47 м / с

s_х^* = 5,17 м / с

Для определения меры расхождения теоретического и эмпирического законов распределения необходимо вычислить вероятность:

Р_i = Ф [(V_i+1 - m_x^* ) / s _х^*] - Ф [(V_i - m_x^* ) / s _х^* ] = Ф_i+1 - Ф_i

Ф - табулированная функция, (см. приложение 1).

Результаты расчетов сведем в таблицу:

i	V(i), м / с	V(i+1), м / с	(Vi - mx* )/ s х*	(Vi+1 - mx*)/ s х*	Фi	Фi+1	Рi	n´ Рi	Ni	c 2
1	511,21	514,39	-2,56	-1,95	0,0054	0,0256	0,0202	10	12	0,3574
2	514,39	517,57	-1,95	-1,33	0,0256	0,0885	0,0629	31	35	0,4007
3	517,57	520,74	-1,33	-0,72	0,0885	0,2266	0,1381	69	72	0,1260
4	520,74	523,92	-0,72	-0,11	0,2266	0,4404	0,2138	107	111	0,1572
5	523,92	527,10	-0,11	0,51	0,4404	0,6736	0,2332	117	108	0,6343
6	527,10	530,28	0,51	1,2	0,6736	0,8531	0,1795	90	89	0,0063
7	530,28	533,46	1,2	1,74	0,8531	0,9505	0,0974	49	52	0,2236
8	533,46	536,64	1,74	2,35	0,9505	0,9878	0,0373	19	18	0,0227
9	536,64	539,82	2,35	2,97	0,9878	0,9978	0,01	5	1	3,2000
10	539,82	543,00	2,97	3,58	0,9978	0,9997	0,0019	1	1	0,0026

å= 5,1309

На графике представлена сравнительная гистограмма, показывающая расхождение между теоретической частотой попадания значений в соответствующие разряды n´ Р_i и полученной в численном эксперименте N_i

Рассчитаем критерий Пирсона c ² по формуле:

c ² = å (N_i - n´ p_i) ² / п´ р _i = 5,1309

Оценочными значениями заменены 2 параметра нормального распределения s, т (s=2), поэтому число степеней свободы:

k= n - 1 - s = 10 - 1 - 2 = 7

Из таблиц (приложение2) для уровня значимости a=0,05 и k=7 находим критическое c²_k.a=14,1.

Сравнивая критическое значение с расчитаным выше, можем убедиться, в том, что гипотезу распределения скорости пробития по нормальному закону можно считать правдоподобной.

Среднее значение скорости пробития V_ср=524,45 м/с, что соответствует вероятности 0,5. Поскольку скорость предела сквозного пробития соответствует вероятности 0,7 (т.е. два пробития из трех попыток), то для этой вероятности из таблиц находим значение l=0,525.

Тогда скоростьV_псп будет вычисляться по формуле:

V_псп=V_ср + l´s_х*=524,45+ 0,525´ 5,17=527,16 м/с.

Определим доверительный интервал по формуле:

D=tb s_х* /Ö N = 2,09´ 5,17/ Ö 500=0,48

Таким образом, можем записать окончательный результат:

V_псп=527,2± 0,48 м/с.

Выводы:

1. Гипотезу распределения скорости пробития по нормальному закону можно считать правдоподобной так как значение параметра c²=5,13< c²_k.a =14,1

2. В результате расчета была определена скорость и доверительный интервал скорости сквозного пробития, соответствующей вероятности 0,7.

Лабораторная работа №3.

Определение характеристик случайных процессов.

Цель работы: Установить вид и параметры случайного процесса.

 

Постановка задачи

Исследуется случайная функция X(t). Получено n =12 опытных реализаций, представленных в табл.1 своими сечениями с интервалом D t =0.4 секунды. Требуется на основе полученных опытных данных определить математическое ожидание процесса mx(t) и его корелляционную функцию Kx(t,t').

Таблица 1