Лекция 11. Дисперсионный анализ.

1). Назначение и сущность дисперсного анализа. Классификация по видам.

2). Однофакторный дисперсный анализ.

Назначение и сущность дисперсионного анализа. Классификация по видам.

Дисперсионный анализ представляет собою совокупность методов обработки результатов испытаний, зависящих от различных одновременно действующих количественных факторов с целью установления значимости их влияния на дисперсный отклик. При этом количественные факторы также рассматриваются как качественные.

Сущность дисперсионного анализа заключается в разложении с помощью специальных правил общей дисперсии результата испытаний на независимые слагаемые, каждый из которых характеризует влияние того или иного фактора. Последующее сравнение этих слагаемых между собой и с общей дисперсией позволяет оценивать влияние каждого из факторов на результат испытаний.

Пусть, например, ожидаемый результат наблюдений есть случайная величина Y, зависящая от двух факторов Х1 и Х2. Будем полагать известным математическое ожидание My. Тогда отклонение Δ=Y-My, которое может проявиться на опыте, также является величиной случайной, состоящей из трех слагаемых:

Δ =А+В+Г,

где А – отклонение, обусловленное влиянием фактора Х1,

В – отклонение, обусловленное влиянием фактора Х2,

Г - отклонение, обусловленное влиянием латентных факторов.

Предположим, что А, В и Г являя.тся независимыми случайными величинами с дисперсиями Dα, Dβ, Dγ соответственно.

Тогда:

D [Δ]= Dα + Dβ + Dγ

Но: D [Δ]= D [Y-My]=Dy

Следовательно, общая дисперсия отклика предстает в виде

Dy = Dα + Dβ + Dγ

Это соотношение между дисперсиями как раз и отражает сущность дисперсионного анализа. Сопоставляя Dα и Dβ между собою, можно судить о степени влияния учитываемых факторов по сравнению с латентными.

Существующие правила разложения общей дисперсии отклика на составляющие разработаны на основе ряда допущений, основным из которых является допущение о нормальном распределении отклика. На первый взгляд может показаться, что такое допущение существенно сужает область применимости правил дисперсного анализа. Но на самом деле это не так в силу двух важных обстоятельств: нормальное распределение широко распространено в практике испытаний технических изделий и, кроме того, в тех случаях, когда результаты наблюдений имеют распределение, отличное от нормального, можно прибегнуть к известным процедурам их нормализации.

Существует достаточно много видов дисперсионного анализа, соответствующих классификации, представленной в таблице 11.1.

Таблица 11.1

Классификация видов дисперсного анализа.

Признак классификации	Вид дисперсионного анализа
Число факторов	Однофакторный Многофакторный
Характер уровня факторов	С фиксированными уровнями факторов Со случайными уровнями факторов
Наличие пересечения факторов	С непересекающимися факторами С пересекающимися факторами
Число наблюдений результата	С одним наблюдением в ячейке С несколькими наблюдениями в ячейке
Число откликов	Одномерный Многомерный
Организация процесса наблюдения	С полным планом наблюдений С неполным планом наблюдений

 

Смысловое содержание понятий, определяющих тот или иной вид дисперсионного анализа, удобно рассмотреть на следующем примере.

Пусть результаты наблюдений получены при использовании M1 типов приборов M2 наблюдателями в M3 условиях наблюдения. Как видно, все три фактора являются качественными: Х1 – тип прибора, Х2 – квалификация наблюдателя, Х3 – вид условий наблюдения. Если дисперсионный анализ проводить с учетом всех факторов, то будет иметь место многофакторный анализ. При этом числа M1, M2, M3 будут фигурировать в качестве фиксированных уровней факторов, если они заданы заранее, и в качестве случайных уровней, если они выбираются случайным образом из некоторого множества возможных значений.

Если каждый наблюдатель будет получать результаты с помощью каждого типа приборов, то факторы Х1 и Х2 будут пересекающимися. Если же каждый наблюдатель использует только свой, для него предназначенный тип прибора, то эти факторы не будут пересекающимися. Таким образом, приходим к выводу, что факторы являются пересекающимися, когда все уровни одного из них повторяются на каждом уровне другого.

Если для каждого уровня каждого фактора получено не более одного результата наблюдения, то имеет место анализ с одним наблюдением в ячейке, в противном случае – с несколькими наблюдениями.

Если в процессе наблюдения фиксируется один отклик, то анализ является одномерным, в противном случае – многомерным. Наконец, если результаты наблюдений получены для всех уровней всех факторов, то имеет место дисперсионный анализ с полным планом наблюдений, иначе – с неполным.

Однофакторный дисперсный анализ.

Для ознакомления с типовыми процедурами дисперсионного анализа рассмотрим случай, когда объект подвергается воздействию одного управляемого фактора и на выходе фиксируется один отклик.

Фактор проявляется на m заданных уровнях (k = ). На каждом уровне фиксируется n значений отклика (j = ). .

Таким образом, имеем случай однофакторного одномерного дисперсионного анализа с фиксированными уровнями фактора, n наблюдениями в ячейке, с полным планом наблюдений. Условия испытаний и их результаты представлены в таблице 11.2.

Таблица 11.2

Условия и результаты испытаний.

Уровни фактора	Результаты испытаний	Средний результат по уровням
	…	j	…	n
	Y11	…	Y1j	…	Y1n	Y1
…	…	…	…	…	…	…
k	Yk1	…	Ykj	…	Ykn	Yk
…	…	…	…	…	…	…
m	Ym1	…	Ymj	…	Ymn	Ym

 

Обработку полученных результатов целесообразно начинать с определения средних значений – среднего по уровням и общего среднего :

 

На втором этапе анализа определим общую сумму квадратов отклонений отдельных результатов Y_kj от общего среднего :

 

Где Q1=

Q2=

 

Как видно, общая сумма Qo разбивается на две составляющие Q1 и Q2, из которых первая характеризует внутриуровневый разброс опытных значений отклика, т.е. разброс относительно средних по уровням, а вторая – межуровневый, т.е. разброс средних по уровням относительно общего среднего. Если влияние исследуемого фактора на отклик является малозначимым, то значение общего среднего будет близким к значениям среднего по уровням и сумме Q2 в целом не будет статистически значимой. Другими словами, если фактор слабо влияет на разброс отклика, то доминирующим будет влияние латентных факторов. Чтобы подтвердить или опровергнуть это, необходимо от сумм Q0, Q1 и Q2 перейти к оценкам соответствующих дисперсий, а затем воспользоваться теорией статистических гипотез о дисперсиях. Поэтому следующим этапом анализа является определение оценок общей дисперсии S0, внутриуровневой дисперсии S1 и межуровневой дисперсии S2, для чего необходимо суммы Q0, Q1 и Q2 разделить на соответстующие каждой из них число степеней свободы V0, V1 и V2:

V0 = mn-1

V1 =m(n-1)

V2 =m-1

Значения V0 и V2 очевидны, а при определении V1 исходят из предположения о равенстве внутриуровневых дисперсий, для оценок которых Sk число степеней свободы Vk=n-1. Тогда определения по уровням оценка S1 будет иметь V1=m(n-1). Предположение о равенстве внутриуровневых дисперсий нуждается в подтверждении на основе полученных опытных данных. Поскольку речь идет о нескольких (всего m) дисперсиях, то для такого подтверждения необходимо воспользоваться критериями Кохера, если nk=n k ∇k= , или критерием Бартлетта в противном случае, где nk – число опытов на k -m уровне фактора.

В итоге будут получены оценки дисперсий:

;

;

.

 

О значимости влияния фактора должна свидетельствовать значимость в различии оценок и , что проверяется на основе гипотезы:

 

Для проверки используется критерий Фишера с числом степеней свободы для числителя и для знаменателя, т.к. обычно > .

Если основная гипотеза противоречит опытным данным, то влияние фактора следует считать значимым.

В заключение отметим, что в случаях многофакторного дисперсного анализа сущность рассмотренных процедур сохраняется с той лишь разницей, что она распространяется на большее число сумм квадратов отклонений.