Вариационные задачи на условный экстремум

Вариационными задачами на условный экстремум называются задачи, в которых экстремум функционала находится в предположении, что на функции, от которых зависит функционал, накладываются некоторые дополнительные условия (связи).

Например, пусть ищется экстремум функционала

 

(12)

 

при наличии условий

 

. (13)

 

Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы (13), уравнения которой считаем независимыми, относительно каких-нибудь переменных – например, относительно – и подстановки найденных переменных в (12). При этом функционал будет зависеть уже от переменных , которые уже независимы, и следовательно, задача свелась к исследованию функционала на безусловный экстремум. К этой задаче применимы методы, изложенные в предыдущих разделах.

Легко, однако, заметить, что этот метод срабатывает далеко не всегда, поскольку задача явно выразить переменные через остальные может оказаться очень трудной (если вообще разрешимой). Поэтому для решения вариационных задач на условный экстремум чаще применяют метод, известный как метод множителей Лагранжа.

Этот метод состоит в построении вспомогательной функции

 

, (14)

 

в терминах которой и формулируется решение задачи на условный экстремум.

Теорема. Пусть функции реализуют экстремум функционала (12) при условиях связи (13). Тогда функции являются решением системы уравнений вида:

 

(15)

 

Таким образом, для решения задачи на условный экстремум следует:

1. Составить вспомогательную функцию по формуле (14).
2. Записать и решить для нее систему уравнений Эйлера, дополненную условиями связи (15).
3. Найти произвольные постоянные из граничных условий (они могут быть любого вида, как жестко закрепленные, так и подвижные).

 

В процессе реализации этой программы, как правило, находятся еще и вспомогательные функции , которые не обязательны для построения решения, но могут оказаться полезными при решении системы (15).

 

Пример 8. Найти экстремум функционала

 

,

 

если переменные подчинены условию связи и удовлетворяют граничным условиям: .

 

Решение. Составим вспомогательную функцию по формуле (14):

 

.

 

Система уравнений Эйлера для функции имеет вид:

 

 

Для этой системы нет общего метода решения, так как функция зависит от , а вид ее неизвестен. Поэтому попытаемся получить дополнительную информацию о функциях и из условия связи. Так как , то из условия связи следует, что , то есть . Следовательно, переменную можно заменить на , то есть , а тогда . Переходя к новым переменным, приводим систему уравнений Эйлера к виду:

 

 

Домножая первое уравнение на , а второе на и вычитая из первого уравнения второе, получаем: , откуда следует, что , то есть , а функции и имеют вид: , . Из граничных условий получаем: , следовательно, или ; , следовательно, , где – целое число. Подставляя найденные постоянные в выражение для и , получаем бесконечное множество экстремалей:

 

, , где .

 

Изопериметрическая задача

Интересный класс задач на условный экстремум образуют так называемые изопериметрические задачи. Классической задачей такого вида (давшей название всему классу задач) является задача Дидоны: найти замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь при заданном периметре. При этом и минимизируемый функционал (площадь) и ограничение (периметр) задаются определенными интегралами.

Рассмотрим задачу в общей постановке. Пусть на кривых с фиксированными концами , функционал

 

 

достигает своего минимального (максимального) значения, причем интегралы

 

 

обладают заранее заданными значениями . Функции и считаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

На первый взгляд кажется, что интегральные ограничения существенно усложняют задачу, и к изопериметрической задаче неприменимы методы предыдущего раздела. Однако оказалось, что изопериметрическую задачу остроумным приемом можно свести к задаче на условный экстремум с функциональными условиями связи.

Обозначим

 

.

 

Тогда

 

 

– новые условия связи, уже дифференциально-функционального вида, а изопериметрические условия превращаются в граничные условия:

 

.

 

Таким образом, задача свелась к задаче на условный экстремум, для которой выше был приведен алгоритм решения. Следуя ему, составляем вспомогательную функцию

 

,

 

для которой система уравнений Эйлера имеет вид:

 

.

 

Но так как , то , а тогда

 

.

 

Следовательно, для изопериметрической задачи в качестве функции Лагранжа можно взять функцию

 

 

с постоянными множителями . Далее для функции , как и ранее, выписывается и решается система уравнений Эйлера, а для определения произвольных постоянных и параметров используются граничные и изопериметрические условия. То обстоятельство, что множители оказываются постоянными, безусловно, упрощает решение задачи.

Пример 9. Найти экстремум функционала

 

 

на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям , и дополнительному условию .

 

Решение. Поставленная задача, очевидно, относится к классу изопериметрических задач, поэтому, согласно приведенной выше схеме, запишем вспомогательную функцию , для которой составим уравнение Эйлера: . Так как знак неизвестен, решение уравнения Эйлера следует провести для каждого из трех случаев: , и .

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

.

 

Подставляя граничные условия, находим , то есть . Но это решение не удовлетворяет условию , следовательно, при решений у задачи нет.

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

,

 

из граничных условий снова получаем , а , то есть при задача также не имеет решений.

1. Пусть , тогда решение уравнения Эйлера имеет вид

 

,

 

подставляя граничные условия, находим , – любое число, . Следовательно, , где . Определим через изопериметрическое условие:

 

.

 

Получаем , то есть . Так как , то можно оставить перед функцией один знак. Окончательно получаем, что данная вариационная задача имеет бесконечное множество решений вида:

 

.

Примеры решения некоторых вариационных задач

В качестве иллюстрации построенной теории решим три классические задачи: задачу Дидоны, задачу о брахистохроне и задачу о минимальной поверхности вращения. Каждую из этих задач сначала переформулируем в вариационных терминах, то есть поставим ее как задачу отыскания минимума функционала с заданными граничными условиями, а затем решим ее разработанными выше методами вариационного исчисления.

Задача Дидоны

Вспомним задачу, о которой говорилось в начале курса: мы оставили Дидону в тот момент, когда ей нужно было ограничить шнуром фиксированной длины максимальную площадь. Мы уже освоили вариационное исчисление настолько хорошо, что можем помочь Дидоне.

Рассмотрим множество функций , определенных на отрезке , таких, что при всех , а (рис. 3). Вместе с отрезком график каждой функции ограничивает площадь, задаваемую функционалом

 

.

 

Потребуем дополнительно, чтобы кривые имели фиксированную длину, то есть постоянное значение сохранял функционал вида:

 

.

 

Мы получаем, таким образом, изопериметрическую задачу, для которой нам уже известны методы решения.

Выстраиваем вспомогательную функцию и записываем для нее уравнение Эйлера. Функция не зависит от переменной , следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл

,

 

представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных, интегральными кривыми которого являются окружности:

 

.

Учитывая граничные условия, находим, что , а . Не нарушая общности, можем считать, что интересующая нас дуга окружности не больше ее половины, тогда центр окружности лежит ниже оси , и . Для определения параметра , то есть радиуса искомой окружности, используем условие постоянства периметра.

 

.

 

Уравнение эквивалентно уравнению где , , . Из геометрических соображений ясно, что задача содержательна лишь при условии , следовательно, , а тогда уравнение всегда имеет на отрезке единственный корень (рис. 4).

Отсюда находим радиус искомой окружности и координаты ее центра: .

Задача о брахистохроне

Предположим, что точки и лежат в плоскости с осью , направленной вниз (рис.5). Положим и и пусть – уравнение дуги, соединяющей точки и так, что , , , . Скорость движения вдоль кривой пусть равна . Тогда время спуска равно

.

 

Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохранения энергии:

 

,

 

где — начальная скорость движения частицы. Тогда

 

,

 

и задача свелась к выбору функции , для которой интеграл

 

 

достигает наименьшего значения из всех возможных.

Так как функция зависит только от и , то уравнение Эйлера допускает первый интеграл:

 

.

 

Разрешая это уравнение относительно , находим

 

,

 

где мы положили . Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в разделяющихся переменных. Решая его, имеем:

.

 

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой

 

. Тогда

.

 

Мы пришли к решению в параметрической форме

 

 

Это и есть кривая наибыстрейшего спуска, известная под названием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных и позволяет провести циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина не является произвольной постоянной.