Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-10-09 | 389 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функционалы, рассматриваемые в части I, имели областью определения множества функций одной переменной. Соответственно, уравнение Эйлера, к которому сводилась вариационная задача, представляло собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.
Предположим, что вариационная задача должна быть поставлена и решена для функции нескольких (ради определенности – двух) независимых переменных: . Тогда, если мы продолжим изучение функционалов интегрального вида, то вместо функции следует рассматривать функцию , а вместо однократного интеграла появится двойной, взятый по некоторой области
. (4)
Уточним условия на функцию . Помимо непрерывности в области вместе со своими частными производными, она должна удовлетворять граничным условиям. Остановимся на этом подробнее. В части I для однозначного определения экстремали задавались значения и , т.е. значения функции на границах отрезка . Для функции двух переменных, продолжая аналогию, естественно задать условия на границе области . Обозначим эту границу и потребуем, чтобы
.
На функционал (4) легко обобщается необходимое условие экстремума.
Обозначим для удобства В этих обозначениях функция примет вид .
Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала (4). Тогда является решением уравнения:
. (5)
Полученное уравнение представляет собой уравнение в частных производных второго порядка. Если функция зависит только от одной переменной, то оно превращается в уравнение Эйлера. В самом деле, если , то , , , и (5) принимает вид
.
Пример 5. Найти экстремаль функционала
где – единичный круг с центром в начале координат, с граничными условиями .
|
Решение. Пользуясь введенными ранее обозначениями, запишем: . Уравнение (5) имеет вид: , то есть представляет собой уравнение эллиптического типа. Область, на которой ищется решение – внутренность круга (ограниченное множество), граница его – окружность, вдоль которой функция обращается в нуль. Следовательно, искомая экстремаль является решением задачи Дирихле для внутренности круга. Для круговых областей естественно переформулировать задачу, перейдя к полярным координатам :
(6)
Заменой переменных сводим уравнение (6) к однородному (с ненулевыми граничными условиями):
(7)
Как известно из курса уравнений математической физики, решение задачи (7) имеет представление в виде ряда:
.
Учитывая граничные условия, получаем:
,
откуда по формуле для коэффициентов ряда Фурье имеем:
. Следовательно,
, а .
Если функция зависит от переменных, то вариационная задача ставится для функционала, который представляет собой кратный интеграл
(8)
по области . Обобщая вышеприведенную теорему, приходим к выводу, что функция, являющаяся экстремалью функционала (8), необходимо удовлетворяет уравнению:
, где
В частности, для случая трехмерной области получаем следующее необходимое условие экстремума.
Теорема. Пусть функция – экстремаль функционала
.
Тогда является решением уравнения:
, где . (9)
Пример 6. Пусть – прямой круговой цилиндр. Найти экстремаль функционала
,
удовлетворяющую граничным условиям: , .
Решение. Для данного функционала уравнение (9) принимает вид . Поскольку область – цилиндр, то задачу удобнее переформулировать в цилиндрических координатах . Из вида граничных условий заключаем, что задача является осесимметричной. Ее решение не зависит от и является функцией двух переменных: . Следовательно, экстремаль данного функционала есть решение следующей задачи:
|
Полученное уравнение является уравнением в частных производных эллиптического типа и в совокупности с условиями на границе образует задачу Дирихле. Ее решение может быть получено методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям в виде . Разделяя переменные, имеем:
.
Учитывая граничные условия, получаем, что функция является собственной функцией задачи Штурма–Лиувилля:
Как известно, собственные числа этой задачи , а соответствующие собственные функции . Для функции получаем уравнение
,
решением которого являются функции Бесселя мнимого аргумента: . Так как рассматриваемое уравнение и граничные условия являются линейными, то ряд, составленный из найденных функций и
,
при любых коэффициентах также является решением уравнения, удовлетворяющим однородным краевым условиям. Для определения используем последнее граничное условие:
.
Применяя теорему Стеклова, получаем: , при , то есть искомая экстремаль имеет вид:
.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!