Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-10-09 | 440 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Очевидно, что подвижная граница не обязательно должна быть вертикальной прямой: если экстремаль имеет дополнительную степень свободы, то естественно допустить, что она может принадлежать любой кривой (не исключается случай вертикальной и горизонтальной прямой).
Рассмотрим задачу в общей постановке.
Пусть в вариационной задаче об отыскании экстремума функционала
(10)
одна граничная точка фиксирована , а вторая – – может перемещаться по некоторой кривой . Тогда класс кривых, на которых ищется экстремум, расширяется, но вариационная задача остается содержательной. Функционал в этом случае начинает зависеть, вообще говоря, от трех переменных: функции и параметров .
Пусть – экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям , ; здесь – вторая граничная точка. В силу необходимого условия экстремума . Вычисляя вариацию функционала (10), получаем:
.
Полагая , получаем, что должно быть выполнено основное необходимое для достижения экстремума в задаче с неподвижными границами условие – функция является решением уравнения Эйлера. Значит, на функции уравнение
обращается в тождество. А тогда в формуле для вариации функционала (10) первое интегральное слагаемое обращается в нуль и вариация приобретает вид
.
Теперь положим , получим следующее условие
,
которому, если (то есть экстремаль пересекает кривую , а не касается ее!), удобнее придать вид:
.
Полученное равенство называется условием трансверсальности.
Аналогичное условие возникнет и на левом конце, если ему разрешить меняться на какой-нибудь кривой.
Замечание. Условию трансверсальности часто удается придать простой геометрический смысл: например, для функционалов вида
(11)
(функция ), имеем:
.
Отсюда следует, что условие трансверсальности эквивалентно требованию
,
что означает ортогональность кривых и в точке их пересечения.
Итак, для решения вариационной задачи с подвижной границей следует:
Пример 7. Исследовать на экстремум функционал
при условии , а вторая граница принадлежит прямой .
Решение. Во-первых, составим и решим уравнение Эйлера. Данный функционал имеет специальный вид: функция не зависит от переменной . Следовательно, уравнение Эйлера допускает первый интеграл
,
представляющий собой дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной. Разрешая его относительно , получаем уравнение в разделяющихся переменных
,
интегральными кривыми которого являются окружности
.
Во-вторых, учтем первое граничное условие . Получим .
В-третьих, множество, которому принадлежит свободная граница, представляет собой кривую, значит, нужно использовать условие трансверсальности, но наш функционал имеет вид (11) и для него, согласно вышеприведенному замечанию, условие трансверсальности совпадает с условием ортогональности. Следовательно, прямая должна быть ортогональна окружности, что возможно только тогда, когда прямая лежит на диаметре окружности .
Значит, центр этой окружности находится в точке (5,0) пересечения прямой с осью .
Итак, экстремалями данной задачи являются две ветви окружности: и (рис.2).
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!