Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-10-09 | 217 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при :
. (6)
Для доказательства выразим общий член ряда (1) в виде
.
Так как ряд сходится, то существует конечный предел . Но тогда и . Поэтому
Следствие. Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится.
Следует заметить, что рассмотренная теорема дает лишь необходимый признак сходимости ряда, и этот признак не является достаточным. Иначе говоря, если , то из этого еще не следует, что ряд сходится.
Пример. Рассмотрим ряд
, (7)
называемый гармоническим рядом. Очевидно, для него .
Докажем, что, несмотря на это, гармонический ряд расходится. Рассмотрим
,
.
Очевидно,
.
Заменим в правой части слагаемые ,..., на слагаемые ,..., . Тогда
.
Если бы ряд (6) сходился, то было бы
,
следовательно, . А это противоречит тому, что .
Ряды с положительными членами
Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами
(1)
(2)
и пусть для любого n выполняется неравенство
. (3)
Тогда: а) если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1); б) если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Доказывать эту теорему не будем.
Заметим, что при условии (3) ряд (2) называется мажорантой ряда (1), а ряд (1) соответственно минорантой ряда (2).
Примеры:
1. Исследовать сходимость ряда
Сравним члены этого ряда с соответствующими членами гармонического ряда
.
Так как гармонический ряд расходится, то данный ряд также расходится.
2. Исследовать сходимость ряда
Сравним члены этого ряда с соответствующими членами геометрической прогрессии:
Очевидно,
,
и так как геометрическая прогрессия сходится, то данный ряд также сходится.
Заметим, что в рассмотренных примерах мы применяли в качестве эталонов ряды, которые часто используются для сравнения.
|
1) гармонический ряд
(расходится);
2) геометрическая прогрессия
(сходится при , расходится при ).
Добавим к ним
3) обобщенный гармонический ряд
Можно доказать, что обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .
Рассмотрим некоторые признаки сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами
(1)
существует предел отношения (n + 1)-го члена к n -му члену:
.
Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.
(Если , то вопрос о сходимости остается открытым.)
Доказательство этого признака основано на том, что если , то члены ряда (1), начиная с некоторого, меньше соответствующих членов сходящейся геометрической прогрессии.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Вычислим предел
.
По признаку Даламбера ряд сходится.
Признак Коши. Если для ряда с положительными членами
(1)
величина имеет конечный предел при , т.е.
,
то при ряд сходится, а при ряд расходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
Применим признак Коши:
.
Ряд сходится.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!