История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-10-09 | 212 |
5.00
из
|
Заказать работу |
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
. (3)
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов:
. (4)
Пример. Вычислить .
На основании свойств 1 и 2 получаем
3. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования
. (5)
Это следует из того, что
, а .
4. Теорема о среднем. Между точками a и b имеется такая точка c, что
. (6)
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница . Применим к первообразной формулу Лагранжа: . Но , следовательно . Итак,
.
5. Если и , то
. (7)
Действительно, в этом случае и , и из формулы (6) получаем
.
6. Если и , то
. (8)
Действительно,
.
По условию и по свойству 5:
.
Следовательно,
.
7. Если , то
. (9)
Это следует из того, что .
Приложения определенного интеграла
Рассмотрим приложения интеграла к вычислению площадей, объемов, механической работы.
Вычисление площадей
Пусть – непрерывная на функция, . Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху графиком функции , снизу – отрезком оси Ox, с боков – прямыми , .
Рис. 1 |
Эту фигуру называют криволинейной трапецией. Площадь S этой фигуры вычисляется по формуле
. (1)
Приведем обоснование этой формулы. Для того чтобы определить площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 2), изучим поведение площади переменной фигуры ABMN, заключенной между начальной ординатой и ординатой, соответствующей произвольно выбранному на значению x. Площадь этой криволинейной трапеции ABMN есть функция, зависящая от x; обозначим ее через .
Рис. 2 |
Вычислим производную этой функции . Для этого придадим x приращение D x. Тогда площадь получит приращение D S, равное площади фигуры . Если приращение D x мало, то D S приблизительно равно площади прямоугольника , равной . Рассмотрим отношение . Оно приблизительно равно . Если , то приближенное равенство перейдет в точное
.
Итак, переменная площадь есть первообразная для . Следовательно, если – какая-нибудь первообразная для , то
.
Положим . Очевидно, . Следовательно,
.
Поэтому
.
При получаем
.
Но это означает, что
.
Пример 1. Найти площадь фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной параболой , прямыми , и осью Ox.
Решение.
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Решение. Очевидно, эти линии пересекаются в точках с абсциссами и . Искомая площадь есть разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно линиями и : |
.
В примере 2 рассмотрен частный случай вычисления площади фигуры, ограниченной одной кривой сверху, другой кривой – снизу.
Вообще, если фигура ограничена сверху кривой , снизу – кривой , а с боков – соответственно прямыми , , то ее площадь выражается формулой:
. (2)
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!