VII. Задачи на смеси и сплавы.

Решение задач на смеси и сплавы вызывают затруднения при решении у многих учащихся. Многие из них такие задачи не решают, а ставят ответы наугад. Поэтому необходимо уделить особое внимание этой теме.

Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание».

Концентрацией вещества называют отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава).

Концентрация вещества выражается в процентах. Задачам этого типа уделялось большое внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л.Ф. Магницкого. Старинный способ решения задач позволяет получить правильный ответ.

Задача.

У некоторого человека были продажные масла: одно ценною 10 гривен за ведро, другое 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Решение:

Друг над другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них, примерно посередине, стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединив записанные числа черточками, получим такую схему:

6

7

Рассмотрим пары 7 и 6; 7 и 10; В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, результат запишем в конце соответствующей черточки.

Получится такая схема:

6 3

7

10 1

Из этой схемы ясно, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого. Т.е. для получения одного ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого ведра, а дешевого ведра.

Обоснование старинного способа решения задач на смеси.

Пусть требуется смешать а%-й и b%-й растворы кислот, чтобы получить с%-й раствор. Пусть х г - масса а%-го раствора, у г – масса b%-го раствора.

г – масса чистой кислоты в 1 растворе.

г – масса чистой кислоты во 2 растворе.

г – масса чистой кислоты в смеси.

Получаем , откуда ax + by = c(x +y), сгруппируем слагаемые с х и у, получим (b – c)y = (c – a)x. Отсюда получаем пропорцию:

x: y = (b – c): (c – a).

Такой же вывод дает схема:

а b - c

с

b c - a

x: y = (b – c): (c – a).

Современные задачи на смешение тоже могут быть решены этим старинным способом.

Задача:

Имеются два раствора 68% и 78% серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100 г 70%-го раствора серной кислоты?

Изобразим схему:

68 8

70

78 2

Найдем, в каком отношении нужно взять каждого раствора. Из схемы ясно, что 68%-го раствора следует взять 8 частей, 78%-го раствора – 2 части.

100: 10 = 10г – на 1 часть,

10 = 80г – 68% кислоты,

10 = 20г – 78% кислоты.

Аналогично можно решить следующие задачи:

1. Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40% меди, второй -32% меди. Какого веса должны быть эти слитки, чтобы после их совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35% меди?

Ответ: 3 кг; 5 кг;

Решение: изобразим схему

40 3

35

32 5

Из схемы ясно, что первого следует взять 3 части, а второго 5 частей.

3+5=8, 8:8=1кг-на одну часть, следовательно первый слиток должен быть весом 3кг, второй 5кг.

(№800 2006г. Тестовые задания, Кокшетау)

 

2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5 % и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

А) 40т; 85т.

В) 40т; 100т.

С) 35т; 150т.

D) 45т; 105т.

Е) 50т; 120.

(Вариант-13 №14 2003г.)

 

3. Один раствор содержит 30% (по объему) азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы получить 100л 50%-ного раствора азотной кислоты?

А) 25л; 75л.

В) 20л; 80л.

С) 40л; 60л.

D) 30л; 70л.

Е) 22л; 78л.

(Вариант-34 №14 2003г.)

(Вариант-14 №17 2006г.)

Коды правильных ответов

3кг; 5кг	B	B

 

Вот одна из часто встречаемых задач на практике:

Имеется 240г 70%-ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% -ый раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение:

Изобразим схему:

 

0 64

6

70 6

 

240: 6 = 40г составляет одна часть, т.к. из схемы ясно, что уксусной кислоты следует взять 6 частей, воды 64 части.

40 = 2560г воды.

Ответ: 2560г воды.

Аналогично можно решить задачи, предложенные в тестах при подготовке к ЕНТ.

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды необходимо добавить к морской, чтобы содержание соли в последней составило 4%?

А) 15кг.

В) 20кг.

С) 17кг.

D) 22кг.

Е) 18кг.

(Вариант-31 №30 2003г.)

 

2. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

А) 10л.

В) 12л.

С) 15л.

D) 8л.

Е) 7л.

(Вариант-31 №14 2003г.)

 

3. Морская вода содержит 5% (по массе) соли. К 40 кг морской воды добавили пресной воды и содержание соли в полученной воде составило 2%. Масса добавленной пресной воды равна:

А) 60кг.

В) 16кг.

С) 40кг.

D) 28кг.

Е) 80кг.

(Вариант-35 №2 2004г.)

 

4. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 5 л морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

А) 40л.

В) 25л.

С) 42л.

D) 30л.

Е) 35л.

(Вариант-17 №2 2004г.)

 

5. Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?

А) 122кг.

В) 121кг.

С) 120кг.

D) 123кг.

Е) 130кг.

(Вариант-34 №26 2005г.)

(Вариант-4 №25 2006г.)

 

6. К 15 литрам 10% раствора соли добавили 5% раствор соли и получили 8% раствор. Какое количество литров 5% раствора добавили?

А) 15л.

В) 10л.

С) 7л.

D) 8л.

Е) 12л.

(Вариант-25 №27 2005г.)

 

7. Чтобы получить 50% раствор кислоты, надо к 30 г 15%раствора кислоты добавить 75% раствор этой же кислоты. Найти количество 75% раствора кислоты, которое надо добавить.

А) 42г.

В) 6г.

С) 150г.

D) 3г.

Е) 9г.

(Вариант-15 №25 2007г.)

 

8. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 80кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 4%?

А) 22кг.

В) 15кг.

С) 17кг.

D) 18кг.

Е) 20кг.

(Вариант-14 №25 2007г.)

Коды правильных ответов

B	A	A	E	C	B	A	E