При решении ряда систем двух уравнений с двумя переменными можно применять теорему, обратную теореме Виета.

Например:

 

1. Решите систему уравнений

Чаще всего эту систему решают способом подстановки. Но её можно решить более рациональным путём. Из условия следует, что и являются корнями некоторого приведенного квадратного уравнения . Корни этого уравнения 8 и -1.

Получаем:

х = 2, у = -1.

 

или:

х = -1, у = 2.

 

Ответ: (2; -1), (-1; 2).

 

2. Решите систему уравнений

Возведем в куб обе части первого уравнения:

,

 

Используя теорему, обратную теореме Виета, получаем .

Корни этого уравнения 3 и 1.

х = 27, у = 1

или:

х = 1, у = 27

Ответ: (27; 1), (1; 27).

 

Этот метод можно применять при решении систем в тестах:

1. Решите систему уравнений

Решение:

Из условия следует, что х и у² являются корнями некоторого приведённого квадратного уравнения а² -7а +12 =0. Корни этого уравнения 3 и 4. Получаем: х=3, у²=4, у=±2, или х=4, у²=3, у = ± .

А) (5; ), (5; - ), (3; 2), (3; -2).

В) (4; ), (4; - ), (3; 2), (3; -2).

С) (3; ), (3; - ), (3; 2), (3; -2).

D) (2; ), (2; - ), (3; 2), (3; -2).

Е) (5; ), (3; - ), (3; 2), (3; -2).

(Вариант-23 №24 2003г.)

 

2. Решите систему уравнений

А) (-1; 2), (2; -1).

В) (-1; 3), (1; -1).

С) (-2; 1), (-1; 2).

D) (2; 1), (-1; -2).

Е) (2; -1), (-1, 1).

(Вариант-8 №27 2003г.)

(Вариант-13 №26 2007г.)

(Вариант-25 №27 2006г.)

 

3. Решите систему уравнений

Указание к решению: переходим к системе уравнений .

А) (1; 1).

В) (3; 5), (5; 3).

С) (15;3), (3;15).

D) (-3; -5), (-5; -3).

Е) нет решения.

 

(Вариант-13 №15 2004г.)

 

4. Решите систему уравнений

А) (5; 1), (1; 5).

В) (2; 4), (4; 2).

С) (0; 6).

D) (3; 3).

Е) (6; 0).

 

(Вариант-25 №15 2004г.)

(Вариант-14 №20 2005г.)

5. Решите систему уравнений

А) (2; 0).

В) (1; 1); (.

С) (-1; 1).

D) (-1; 1); (.

Е) (-1; 0).

(Вариант-21 №25 2005г.)

(Вариант-15 №26 2006г.)

Коды правильных ответов

B	A	B	B	B

 

При решении квадратных неравенств (и неравенств, сводящихся к ним), с которыми приходится часто иметь дело при подготовке к ЕНТ, удобно пользоваться свойством квадратного трехчлена , сформулированного следующим образом: «Если корни квадратного трехчлена действительные числа, то квадратный трехчлен имеет знак коэффициента при на всей числовой оси, за исключением замкнутого интервала между его корнями - , обращается в нуль в концах этого интервала, а внутри этого интервала знак квадратного трехчлена противоположен знаку коэффициента при ». Это свойство можно использовать при решении неравенств:

 

1. Решите неравенство: 5

Решение: 5х²+9х-2=0, х₁=-2, х₂= . Так как квадратный трёхчлен имеет различные корни, то знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком коэффициента а (а=5>0) во всех точках промежутков (- ; -2) и (; ), и противоположен знаку коэффициента а во всех точках промежутка (-2; ).

Ответ: х (-2; ).

А) (-2; ).

В) (; 2).

С) (- ; ).

D) (-2; 5).

Е) (- ; ).

(Вариант-23 №8 2006г.)

 

2. Решите неравенство: 7

А) (- ; - ).

В) ().

С) (- ; ).

D) (- ).

Е) (; ).

(Вариант-34 №8 2004г.)

 

3. Решите неравенство:

А) (- ;3,2).

В) ().

С) (- .

D) (- .

Е) (0; 3,2).

(Вариант-12 №8 2007г.)

4. Определите верное решение неравенства:

 

Ответ:

1 2 х

(Вариант-14 №18 2007г.)

 

5. Определите верное решение неравенства: .

 

А) [-2; 1].

В) [-1; 2].

С) .

D) .

Е) .

(Вариант-15 №18 2007г.)

 

6. Решите неравенство:

А) (- ; -4) .

В) [ ).

С) [-6; -4) (2; 4].

D) [-6;4].

Е) (-4; 2).

(Вариант-6 №18 2007г.)

 

7. Решите неравенство: .

А) нет решений.

В) [3; ).

С) (-1; 1 .

D) [-1; 1 .

Е) [-1; 3].

(Вариант-9 №18 2005г.)

 

8. Решите неравенство: .

А) 2.

В) 1\2.

С) (1; 6).

D) .

Е) 1.

(Вариант-12 №19 2005г.)

 

Коды правильных ответов

A	D	E	D	E	C	D	D

 

III. Метод Крамера.

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными можно решать методом подстановки, методом сложения, а можно применять метод Крамера или метод определителей. Учащимся, интересующимся математикой, этот метод нравится, и они его используют при подготовке к ЕНТ.

 

некоторые числа

,

По коэффициентам системы составляются три определителя:

 

 

1) Если , а или , то система не имеет решений.

2) Если , то система имеет бесконечное множество решений.

3) Если , то система имеет единственное решение: .

 

Например:

Решите систему уравнений

 

= -10 + 42 = 32

 

= 72 - 8 = 64

, у =

 

Ответ: (-1; -2).

 

Этим методом можно решить системы:

 

1. Решите систему уравнений:

А) (-1; 0).

В) (2; 3).

С) (-2; -1).

D) (6; 7).

Е) (4; 5).

 

(Вариант-19 №5 2003г.)

 

2. Решите систему уравнений:

Указание к решению: от данной системы переходим к системе .

А) (3; 3).

В) (7; 8).

С) (-3; -1).

D) (-3; -3).

Е) (-1; 3).

 

(Вариант-26 №24 2003г.)

3. Решите систему уравнений:

А) (-13; -5).

В) (-1; -3).

С) (-7; -4).

D) (5; -2).

Е) (11; -1).

(Вариант-19, №15, 2004г.)

 

4. Решите систему уравнений:

А) (-3; 5).

В) (5; 3).

С) (-5; -3).

D) (3; 5).

Е) (3; -5).

(Вариант-24, №15, 2004г.)

 

5. Решите систему уравнений:

А) (-5; -3).

В) (-3; 5).

С) (5; 3).

D) (3; 5).

Е) (3; -5).

(Вариант-2, №6, 2005г.)

 

6. Решите систему уравнений:

А) (2; -7).

В) (7; 2).

С) (5; 0).

D) (0; 4).

Е) (4; -5).

(Вариант-26, №6, 2005г.)

7. Решите систему уравнений:

А) (1; 7).

В) (-6; 0).

С) (5; 3).

D) (0; 6).

Е) (-5; 3).

(Вариант-23, №19, 2007г.)

 

8. Решите систему уравнений:

А) (2; 4).

В) (1\6; 0).

С) (-2; -1).

D) (4; 2).

Е) (-1; -2).

(Вариант-15, №14, 2004г.)

Коды правильных ответов

B	A	D	D	A	E	C	E