Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…, (1) где a_n>0. Признак сходимости Лейбница: теорема: Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: a₁>a₂>a₃>…и общий член ряда стремится к нулю: lim a_n = 0, то ряд сходится.

n®¥

Док-во: Пусть дан ряд (1) и пусть a_n>a_n+1 и a®0 при n®¥. Рассмотрим частичную сумму ряда с чётным числом членов S_2n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=(a₁-a₂)+(a₃-a₄)+…+(a_2n-1-a_2n). Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S_2n}является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S_2n в виде

S_2n=a₁-[(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+…+(a_2n-2-a_2n-1)+a_2n]. Отсюда следует, что S_2n<a₁ для любого n, т.е. {S_2n} ограничена. Итак, последовательность {S_2n} возрастающая и ограниченна, следовательно, она имеет предел lim S_2n=S.

n®¥

Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечётного числа членов сходится у тому же пределу S. Действительно, S_2n+1=S_2n+a_2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n®¥ и используя второе условие (a_n®0 при n®¥), получаем:

lim S_2n+1 = lim (S_2n + a_2n+1) = lim S_2n + lim a_{2 +1} = S + 0 = S.

n®¥ n®¥ n®¥ n®¥

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.

 

Знакопеременные ряды, их сходимость.

Знакопеременный ряд: a₁ + a₂ +a₃+…+a_n+…= åa_n (1), где числа а₁…могут быть как

n=1

положительными, так и отрицательными, причём расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассматривается ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

¥

½а₁½+½а₂½+½а₃½+…+½а_n½+…=å½а_n½ (2).Такой признак сходимости – теорема:

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через S_n частичную сумму ряда (1), а через s_n частичную сумму ряда (2): S_n= a₁ + a₂ +a₃+…+a_n; s_n =½а₁½+½а₂½+½а₃½+…+½а_n½.Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {s_n} имеет предел lim s_n=s, при этом для любого n имеет место неравенство s_n £s (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны.

Обозначим через S’_n сумму положительных членов, а через S’’_n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме S_n. Тогда: S_n = S’_n - S’’_n(4), s_n = S’_n + S’’_n (5). Очевидно, последовательности { S’_n } и { S’’_n } не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S’_n £s_n £s и S’’_n £s_n £s. Следовательно, существуют lim S’_n = S’ и lim S’’_n = S’’. Но в таком случае, в

n®¥ n®¥

силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел:

lim S_n = lim (S’_n - S’’_n)= lim S’_n - lim S’’_n = S’_n – S’’_n.

n®¥ n®¥ n®¥ n®¥

Это означает, что ряд (1) сходится.

Степенные ряды.

¥

Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nxⁿ+…=åa_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

n=0

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х =0. Очевидно, что частичная сумма S_n (х)= a₀ + a₁x +…+a_nxⁿ является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определённой в области

сходимости ряда:

¥ ¥

S=S(x)= åa_nxⁿ (или f(x)= åa_nxⁿ).

n=0 n=0

 

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀¹ 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию я½ х½<½ х₀½.

2) Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию ½х½<½х₁½.

¥

Док-во: 1)т.к. по условию числовой ряд åa_nx₀ⁿ сходится, то его общий член a_nx₀ⁿ ®0 при

n=0

n®¥, откуда следует, что последовательность { a_nx₀ⁿ } ограничена, т.е. существует число M>0 такое, что ½ a_nx₀ⁿ ½<M, n =0, 1, 2… (2) Перепишем ряд (1) в виде

a₀ + а₁х₀ (х/х₀) + а₂х²₀ (х/х₀)² +…+ а_n хⁿ₀ (х/х₀)ⁿ +… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: ½a₀½+ ½а₁х₀½½х/х₀½ + ½а₂х²₀½½х/х₀½² +…+ ½а_n хⁿ₀½½х/х₀½ⁿ +… (4).

Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

М+ М½х/х₀½ + М½х/х₀½² +…+М½х/х₀½ⁿ +… (5) При ½ х½<½ х₀½ ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=½х/х₀½<1 и, следовательно, сходится.

Т.к. члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5) то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при ½ х½<½ х₀½ сходится абсоютно.

По условию, в точке x₁ ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех x, удовлетворяющих условию ½ х½>½ х₁½. Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении х таком, что ½ х½>½ х₁½, ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке х ₁, т.к. ½ х₁½<½ х½. Но это противоречит тому, что в точке х ₁ ряд расходится.

Теорема Абеля утверждает, что если х₀ – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (-½х₀½,½ х₀½), этот ряд сходится абсолютно, а если х₁ – точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (-½х₁½,½ х₁½), ряд расходится.