История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-10-11 | 456 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Вид любого закона распределения зависит только от комплекса условий D, изменение которого, вызванное изменением значения некоторого параметра , может привести к изменению вида закона распределения . В этом случае параметр можно рассматривать как параметр закона распределения случайной величины . Необходимо получить оценку значения параметра при условии, что тип закона распределения известен, но при этом не известно значение его параметра. Оценка параметра производится на основе выборки , которая представляет собой последовательность из результатов испытаний при неизвестном, но одном и том же значении параметра . В качестве оценки выбирается такое значение параметра, которое чаще всего появляется при полученной в результате опыта выборке. Это значение называется оценкой по максимуму апостериорной (послеопытной) вероятности и вычисляется как . К сожалению, на практике возникают проблемы с определением вида функции и поэтому чаще всего пользуются правдоподобной оценкой, которая строится следующим образом. Параметр и выборку можно рассматривать как две зависимые случайные величины с двухмерным законом распределения , причем принадлежит выборочному пространству, а пространству параметров. По формуле умножения вероятностей имеем: . Отсюда следует, что , где - априорный (доопытный) закон распределения параметра .
Если параметр подчиняется равномерному закону распределения, то const на пространстве параметров и функции и достигают своего максимального значения при одном и том же значении параметра . В этом случае функция называется функцией правдоподобия и обозначается как , а значение параметра , которое доставляет максимум функции правдоподобия , называется правдоподобной оценкой. Следует напомнить, что выборка постоянна в процессе вычисления оценки параметра.
|
Пример. Вычислить оценки максимального правдоподобия для дисперсии и математического ожидания гауссова закона распределения .
Решение. Поскольку элементы выборки считаем независимыми, то многомерный закон распределения равен произведению одномерных: . Это выражение является в то же время функцией правдоподобия , если ее аргументами считать и , при постоянном значении выборки . Функции и достигают своего максимального значения при одних и тех же значениях аргументов, поскольку логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому, с целью упрощения вычисления оценок, целесообразнее использовать функцию
.
Чтобы найти максимум, берем производные от ln по и и приравниваем их к нулю:
= 0
= 0
После упрощения получим систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, получим
,
где - выборочное среднее, - выборочная дисперсия.
Метод моментов
Все параметры закона распределения можно разделить на две группы: моменты и все остальные. Считаем, что моменты можно оценить экспериментально по выборке . Такие оценки называются выборочными. Тогда оценку параметра можно получить как функцию выборочного момента, например . Для этого достаточно теоретический момент приравнять эмпирическому моменту того же порядка, в результате чего получится уравнение, которое устанавливает связь между параметром и выборочным моментом. Если неизвестным является один параметр, то достаточно одного уравнения. В противном случае приходится решать систему уравнений, в которых участвуют разные моменты. Выбор моментов осуществляется экспериментально.
Пример. Вычислить точечные оценки неизвестных параметров и равномерного распределения, плотность которого
Решение. Поскольку неизвестных параметров два, то необходимо иметь два линейно независимых уравнения. Выражения для выбранных теоретических моментов дисперсии и математического ожидания имеют вид или . Решая систему уравнений, получим Подставляя вместо и их оценки, получим оценки параметров: и .
|
Выборочные оценки . Следует отметить, что оценки, полученные методом моментов, не всегда являются оптимальными.
Выражение для дисперсии можно получить следующим образом. Если случайную величину умножить на некоторый масштабный коэффициент , то дисперсия изменится в раз. Дисперсия равномерного на отрезке закона распределения равна . Поскольку дисперсия не зависит от математического ожидания, то остается зависимость только от длины интервала , которая является масштабным коэффициентом по отношению к случайной величине, определенной на единичном отрезке . Поэтому дисперсия .
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!