Дробный факторный эксперимент.

С увеличением числа факторов резко возрастает число точек плана, а следовательно число опытов, поэтому полный факторный план практически не применяется при к 6, главная задача организация экспериментального исследования – это сокращение числа опытов для этого применяют дробные факторные планы вида ДФЭ2^к-m (дробный факторный эксперимент).

Всякий факторный план, который содержит меньшее число факторов, чем полный план, называют дробным экспериментом или репликой.

Если число опытов в реплике кратно число уровней факторов, то реплика называется регулярной, иначе нерегулярной.

Пусть двухфакторный план и к=6, тогда полный факторный эксперимент 2⁶=64, поэтому дробный факторный эксперимент 2^6-1=32, дробный факторный эксперимент 2^6-2=16.

 

Минимальная регулярная реплика.

В двухуровневом факторном плане число линейных эффектов равно l=к+1, поэтому минимальное число опытов в дробном факторном плане N=2к-m l=к+1, пролагорифмируем и получим

к-m

m к- ,

причем к и m – целые числа.

 

Генератор плана.

Возникает вопрос: «как формализовать выбор реплики?»

ПФЭ2^k N=2^k

ДФЭ2^k-m N'=2^k-m

Если k=3, то N=2³=8

N	X1	X2	X3	Yi
	-	-	-	Y1
	+	-	-	Y2
	-	+	-	Y3
	+	+	-	Y4
	-	-	+	Y5
	+	-	+	Y6
	-	+	+	Y7
	+	+	+	Y8

 

ДФЭ2^k-m если k=3, то m=1 → N=4

Генератор плана: x₃=x₁∙x₂ или x₃^’= - x₁∙x₂

 

N	X1	X2	X3
	-	-	+
	+	-	-
	-	+	-
	+	+	+

N	X1	X2	X3
	-	-	-
	+	-	+
	-	+	+
	+	+	-

 

Смешивание эффектов.

Определяющий контраст.

Для построения первой реплики трехфакторного эксперимента мы воспользовались генератором плана вида x₃=x₁∙x₂, но квадрат фактора x₃∙ x₃=│ x₃│= 1 = x₁∙x₂∙ x₃, это значение принято называть определяющий контраст (I).

I = x₁∙x₂∙ x₃ ≡ 1

С помощью определяющего контраста можно определить какие оценки полной факторной модели содержат смешивание эффектов.

 

Полный факторный план позволяет построить модель вида:

Y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃

A ДФЭ2^3-1: Yʹ = b₀^’+b₁^’∙x₁+ b₂^’∙x₂+ b₃^’∙x₃

Поэтому коэффициенты ДФЭ содержат в себе коэффициенты или оценки коэффициентов ПФЭ. Определить смешивание эффектов можно с помощью определяющего контраста плана.

b₀^’ = b₀x₀+ b₁₂₃x₁x₂x₃

b₀^’ = b₀⁺ b₁₂₃

b₁^’= b₁⁺ b₂₃

b₂^’= b₂⁺ b₁₃

b₃^’= b₃⁺ b₁₂

К сожалению все значительно усложняется при увеличении количества факторов.

 

Построение ДФЭ для четырех факторов (k=4) (1/2 реплики)

K=4

в ПФЭ N=2⁴=16

в ДФЭ Nʹ=2^4-1=16

N	b0	b1	b2	b3	b4
x0	x1	x2	x3	x4
		-	-	-	-
		+	-	+	+
		-	+	-	+
		+	+	-	-
		-	-	+	+
		+	-	+	-
		-	+	+	-
		+	+	+	+

 

x₄ = x₁x₂x₃

b₀^’ = b₀⁺ b₁₂₃₄

b₁^’= b₁⁺ b₂₃₄

b₂^’= b₂⁺ b₁₃₄

b₃^’= b₃⁺ b₁₂₄

b₃^’= b₃⁺ b₁₂₄

b₄^’= b₄⁺ b₁₂₃

b₁₂^’= b₁₂⁺ b₃₄

b₁₃^’= b₁₃⁺ b₂₄

b₂₃^’= b₂₃⁺ b₁₄

 

Составление ДФЭ для 5,6,и 7 факторного эксперимента.

Порядок минимальной регулярной реплики для этих планов можно записать в следующем виде:

k = 5, то m=2 → N= 2^5-2=8 (1/4 реплика)

k = 6, то m=3 → N= 2^6-3=8 (1/8 реплика)

k = 7, то m=4 → N= 2^7-4=8 (1/16 реплика)

Т.е. мы можем проведя всего восемь опытов построить дробный факторный план и получить оценки модели для числа факторов до 7. Причем чем больше число факторов, тем больше должно быть число генератора плана, т.е. для каждого фактора нужно придумать генератор плана.

Для k=5 нужно генератор плана для x₄ и x₅=x₁x₂

k=6 → x₄, x_5, x₆= x₁x₃

k=7 → x₄, x_5, x₆, x₇= x₂x₃

 

Глава 6 Проведение эксперимента.

Основной уровень фактора.

Основной уровень фактора, т. е. его начальное значение, с которого начинается эксперимент для его выбора необходим анализ априорной информации.

Начальный уровень фактора должен был располагаться в области определения факторов, таким образом, чтобы сочетание факторов не приводили к появлению нежелательных эффектов или к нарушению технологических режимов. Нормированное значение уровня фактора принимается равное нулю, т.е.

=0

=

 

Шаг изменения фактора.

Это величина, на которую изменяют фактор от опыта к опыту, т.е. интервал дискретности фактора.

Внутри шага фактор не может принимать значения, величина шага выбирается с учетом двух противоположных факторов (условий):

1. Увеличение шага, уменьшает содержательность и точность модели.

2. Уменьшение шага, увеличивает число опытов и стоимость эксперимента.

Шаг изменения фактора должен быть больше разрешающей способности измерительных приборов, и определяется возможностью изготовления образцов с заданной точностью. Т.е. желательно знать заранее, сколько образцов можно (изготовить) провести, каким временем располагаем: интервал варьирования равен половине рабочего диапазона.

Изменение фактора:

Ј_i = ,

Интервал варьирования определяет возможные изменения фактора и диапазона, в которых происходит исследования.

Начальный уровень фактора, интервал варьирования и шаг на каждом этапе эксперимента неизменны, и только на завершающем этапе исследования (при построении нелинейной модели) можно изменить эти величины.

Если при движении в факторном пространстве, значения какого либо фактора достигают границу области определения, то этот фактор исключается из рассмотрения, фиксируя его на граничном уровне.

 

Рандомизация.

Рандомизация заключается в случайном расположении точек плана, т.е. последовательности выполнения опытов в соответствии с оптимальным планом.

В следующей системе все факторы можно разделить на две группы:

I группа: изучаемые факторы это x₁x₂x₃

II группа: мешающие факторы (помехи) влияние, которых мы не учитываем в эксперименте.

Для исключения влияния факторов II группы и применятся рандомизация.

 

 

n	x1	x2	x3	y
	-	-	-	y1+ε
	+	-	-	y2+ε
	-	+	-	y3+ε
	+	+	-	y4+ε
	-	-	+	y5+ε
	+	-	+	y6+ε
	-	+	+	y7+ε
	+	+	+	y8+ε

n число опытов

ε ошибка (не учитываем)

Допустим для 3 опыта

₃= (-4ε+ )=b₃- ε.

 

Вычисление оценок.

Для ортогонального плана, вычисления соответствующих оценок производится по формуле

_j= ,

т.е. равны суммам произведений откликов на элементы соответствующего столбца плана.

При вычислении оценок необходимо соблюдать высокую точность вычислений (не менее 4 знаков после запятой) округление допускается только конечного результата.

Для контроля правильности вычислений необходимо рассчитать следующие суммы:

²

Теоретически должно выполняться соотношение

=N ²

Из-за округлений в процессе вычисления накапливаются ошибки и возможны отклонения от этой формулы

 

0,1

Если это выполняется, то считаем что вычисления выполнены верно и не содержат ошибок.

 

Глава 7.

Регрессионный анализ.

Цель регрессионного анализа – проверка адекватности полученной модели, проверка значимости оценок коэффициентов модели.

Поставленная цель достигается при следующих допущениях:

1. Параметр оптимизации Y является случайной величиной с нормальным законом распределения.

2. Дисперсия Y не зависит от величины Y, т.е. постулируется однородность дисперсий в различных точках факторного пространства.

3. Значение факторов не является случайными величинами, т.е. имеется возможность устанавливать каждый фактор на определенном уровне, точнее чем ошибка воспроизведения.