Глава №1. Организация эксперимента при исследовании сложной системе.

Глава №1. Организация эксперимента при исследовании сложной системе.

Каждый объект характеризуется числом возможный состояний.

Система называется простой, если при имеющихся средствах можно рассмотреть все возможные состояния системы.

Система называется средней сложности, когда можно проанализировать только основные состояния.

Система называется сложной, когда можно учесть только меньшую часть возможных состояний системы.

 

Проблемы экспериментального исследования в металлургии и металловедение.

Для металлов и сплавов характерно:

1) Многомерность, т.е. большое число параметров характеризующих объект:

- химический состав,

- физические свойства,

- механические свойства,

- технологические характеристики.

2) Статистический характер показателей, т.е. большинство параметров имеет случайный характер и их приходится определять с помощью вероятностных или экспериментальных характеристик.

3) Высокая степень корреляции между параметрами.

Отсюда возникают задачи:

1) Изучение зависимости, состав, свойства.

2) Оптимизация процесса.

3) Выделение наиболее информативных факторов, когда среди множества характеристик необходимо найти более важный.

4) Компактное описание свойства объекта, т.е. выбор такой математической модели, которая с достаточной точностью описывает объект.

 

Типы наблюдаемых данных.

Совокупность факторов и откликов называется наблюдаемыми данными. Все остальные величины называются параметрами. Все виды данных подразделяются на 3 группы:

1) Количественные данные, которые представляют результаты физических измерений, выраженных в числовой форме.

2) Качественные данные, которые указывают в какой степени качественно проявляется тот или иной признак или свойства объект, и не смотря на то, что им часто приписывают числовые оценки, это не говорит о том, что они становятся количественными данными.

3) Категорированные данные. Они определяют принадлежность объекта к определенной группе или классу. Для количественных данных определяются все математические данные (операции) и операции сравнения. Для качественных определены только операции сравнения. А для категорированных нет.

 

Глава 2. Интегральный показатель качества

Постановка задач.

В качестве объекта будем рассматривать некоторую модель.

 

Y=F(X)

……….. ………

.

 

Выделим среди откликов ту часть, которая характеризует наиболее важные свойства объекта (частные показатели). Y₁, Y₂, Y₃ …Y_i

Отметим задачи нахождения наиболее эффективных в отрыве от конкретных потребительских требований не существует. Если имеются некоторые показатели качества одного объекта, то нужно выбрать один главный либо найти величину одну, которая является функцией этих показателей.

r₁, r₂, … r_i, …r_k

 

Сплав	Показатели качества
R1	R2
S1
S2

 

1) r_j – единственный;

2) I=f(r₁, r₂, … r_i, …r_k) – выразить функцию.

 

Такое определение интегрального качества предполагает построение по определенному признаку.

 

Выбор моделей

Виды моделей

Истинной моделью называют такую, которая адекватно отражает экспериментальные результаты. При выборе моделей обычно используют следующие критерии:

1) адекватность;

2) простота.

 

Если из двух моделей, которые адекватны, с требуемой точностью эксперимента выбирают ту, которая проще.

Поэтому построение модели начинают с более простой, критерий адекватности выбирают в качестве отношения дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости:

 

В организации эксперимента различают 3 типа моделей:

1) регрессионная модель;

2) полиномиальная;

3) факторная.

 

Регрессионная модель

Модель вида y=b₀* f₀ ()+ b₁* f₁ ()+…+ b_m* f_m () называют регрессионной моделью, здесь b₀ b₁ …b_m неизвестные постоянные коэффициенты, f₀ f₁ … любые сколь угодно сложные, но вычисляемые функции.

Если вид функции известен f₀, f₁, f_m, то задача построения модели сводится к нахождению неизвестных b₀, b₁, b_m в уравнении регрессии.

Главное, что неизвестные коэффициенты регрессионной модели всегда линейны. Если модель не является регрессионной y= b₀* тогда соответствующим преобразованием нужно привести ее к регрессионному виду, самое здесь простое логарифмирование:

=

z= +

z= +

3.3. Полиномиальная модель.

Частный случай регрессионной модели, когда функцией факторов являются полиномами факторов.

y= + + + + +

 

Представляем эту функцию в виде полинома. В полиноминальной модели следует изучать факторность и порядок моделей. Факторность – число факторов модели, а порядок модели – это максимальная степень полинома.

 

При большом числе факторов число коэффициентов значительно возрастает, особенно при увеличении числа факторов.

 

m n

 

Поэтому всегда следует ограничивать число коэффициентов, необходимо выбрать такую модель, чтобы она имела не более 10-12 коэффициентов.

 

Факторная модель.

Факторная модель является частным случаем полиномиальной модели, причем факторная модель – это полиномиальная модель, выполняющая условие невырожденности плана эксперимента.

 

3.4. План эксперимента.

Пусть число факторов к=3, тогда модель будет иметь вид:

 

y=f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+b_nf_n(x₁,x₂,x₃)

 

Допустим, что ошибки измерения отсутствуют, то есть, известны точные значения функции y при любых заданных значениях факторов.

Построим план эксперимента для этих трех факторов.

 

N	x1	x2	x3	y
	x11	x12	x13	y1
	x21	x22	x23	y2
	x31	x32	x33	y3
n	xn1	xn2	xn3	yn

 

Эта таблица представляет собой план эксперимента, причем

 

y₁=b₀f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+b_mf_m(x₁,x₂,x₃)

y_n=f₀(x₁,x₂,x₃)+b₁f₁(x₁,x₂,x₃)+...+b_mf_m(x₁,x₂,x₃)

 

Представляет собой систему из n-уровней, причем часть таблицы, образованная значениями факторов называют матрицей эксперимента, иначе матрицу, состоящую из n-строк и k-столбцов называют план эксперимента.

Рассмотрим методы перехода от плана к модели. Для этого необходимо построить регрессионную модель, то есть получить математическую модель объекта. При этом должны выполняться следующие условия:

1) Если n>m+1, тогда число коэффициентов больше чем число опытов и такой план называется вырожденным. Необходимо выполнять условие невырожденности, то есть когда коэффициенты модели b_i однозначно определяется в случаи отсутствия ошибок эксперимента.

2) Если фактов варьируется (меняется) на r-уровнях, то есть задаем определенную градацию определенных факторов. Следует учесть, что этот фактор входит в полиномиальную модель в степени (r-1), то есть Х_i^(r-1). Число коэффициентов модели должно быть равно произведению числа уровней на число факторов. Это следствие невырожденности плана эксперимента. Число опытов должны быть не меньше числа коэффициентов. Естественно оно может быть равно числу экспериментов, когда ошибкой можно пренебречь.

Построение модели необходимо с min-го порядка уравнения регрессии, и только в случаи неадекватности линейной модели следует приступать к построению модели более высокого порядка.

В этом случаи точка плана не обязательно является одним экспериментом, а может представлять совокупность опытов.

 

Глава 4. Оптимальные опыты.

Обобщенная дисперсия.

Допустим имеется несколько случайных величин х, которые распределены на множестве Х с некоторой дисперсией Д(х).

Величина дисперсии, …. оценка дисперсии

 

Если имеются два объекта, которые характеризуются соответствующими дисперсиями Д₁(х) и Д₂(х) и между этими величинами (объектами) наблюдается взаимозависимость, тогда вводится понятие о коэффициентах корреляции r(x₁,x₂), причем

|r(x₁,x₂)| <1

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости одной величины от другой. Для любой функции коэффициент корреляции будет представлять отношение линейной части функции ко всему его значению

 

 

Ковариации между случайными величинами х₁ и х₂ называют следующие произведение:

 

Причем

 

Таким образом, случайные величины характеризуются следующими числами

- дисперсией

 

- ковариацией k= (x₁,x₂)

Для выборочных оценок можем записать

-для дисперсии

 

-для корреляции

-ковариация

 

Корреляционная матрица

Это такая матрица, на главной диагонали которой находится соответствующие дисперсии, а остальные коэффициенты представляют ковариации соответствующих величин.

Определитель такой матрицы представляет собой обобщенную дисперсию.

Обобщенная дисперсия является характеристикой точности математической модели, поэтому планы, которые min-т обобщенную дисперсию называют деоптимальными планами.

Метод наименьших квадратов в большинстве случаев обеспечивает оптимальность модели.

 

Построение оптимальных планов

П1 Нормирование факторов

Все планы составляют для нормированных значений факторов, т.е. максимальному значению уровня, фактору присваивают +1, минимальному -1, центр плана при этом равен нулю.

Вычисление оценок коэффициентов и проверка адекватности модели производится также в нормированных величинах, но интерпретация полученных результатов модели проводится только в реальных значениях факторов.

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂….

y=a₀+a₁g_(c)+a₂g_(Ni)….

Обозначим через Xн - нормированное значение фактора,

Xр – реальное значение фактора.

Тогда для перехода к нормированным значениям справедлива формула

Xн=

- верхний и нижний уровни факторов.

Xр=1/2()+Xн()

 

Структура оптимальных планов.

Она определяется теоремой Кифера, которая гласит, что для n-наблюдений, когда факторы нормированы и варьируются от +1 до -1, тогда наблюдение необходимо располагать равномерно в точках плана, которые являются нулями полинома Лежандра, т.е. решением уравнения

 

 

(1-x²)L'_m =0

L'_m – полином Лежандра,

m – степень полинома Лежандра.

Таблица оптимальных точек по теореме Кифера

m	Точки плана на отрезке +1…-1 ()
	В каждой точке плана проводится () опытов
	1;
	1; 0
	1; 0,4272;
	1; 0,6547; 0;
	1; 0,7651; 0,2852;
	1; 0,8302; 0,4689; 0;

 

1. Отсюда следует, что число точек плана находится как (m+1)

2. Оставшиеся после равномерного распределения опытов, по точкам плана необходимо размещать как можно ближе к границам изменения факторов.

 

 

Глава 5 Факторное планирование эксперимента.

5.1 Полный двухуровневый факторный план вида 2^к .(ПФЭ2^к)

Пусть даны два фактора x1, x2, предполагаем наличие линейной модели вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂; Оптимальный факторный план должен иметь четыре точки плана, т.е. N=2^k-2=4, тогда ПФП будет иметь вид.

 

n	x0	x1	x2	x12	y
		-1	-1	+1	y1
		+1	-1	-1	y2
		-1	+1	-1	y3
		+1	+1	+1	y4

n - номер точки плана

x₀ - нормальный фактор

y₁…y₄ – результаты.

Подсчитаем сумму элементов в каждом столбце. Такие планы кроме условия оптимальности являются ортогональными, т. е. позволяют рассчитывать оценки для коэффициентов моделей и обеспечивают независимость этих оценок, тогда коэффициенты модели полного факторного плана рассчитывают по формуле.

bj=

₀= (y₁+y₂+y₃+y₄)

~ оценка

₁= (-y₁+y₂-y₃+y₄)

₂= (-y₁-y₂+y₃+y₄)

₁₂= (y₁-y₂-y₃+y₄)

Таким образом находим оценки коэффициентов в уравнении регрессии после чего в любой точке факторного пространства можно найти значения параметра (величины) y в области определения факторов

= ₀ + ₁ x₁+ ₂ x₂ + ₁₂ x₁x₂

Для трехфакторного эксперимента, когда даны три фактора x₁x₂x₃, построение плана вида ПФЭ2^к заключается составлением таблицы позволяющих найти оценки для моделей вида

y=b₀+d₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃

общее число точек плана N=2^к=3=8

Построим план эксперимента

n	x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	y
		-1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	y1
		+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	y2
		-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	y3
		+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	y4
		-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	y5
		+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	y6
		-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	y7
		+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y8

Оценки находятся по формуле

_j=

Таким образом мы можем определить оценку любого коэффициента модели по соответствующему столбцу плана, такой эксперимент, в котором реализуется все N=2^к опытов называются полным факторным экспериментом, отметим в ряде случаев нет необходимости построения модели, которая учитывает все эффекты взаимодействий факторов, а можно ограничится только оценками линейных эффектов. Такая задача решается путем построения дробных факторных планов.

 

Смешивание эффектов.

Определяющий контраст.

Для построения первой реплики трехфакторного эксперимента мы воспользовались генератором плана вида x₃=x₁∙x₂, но квадрат фактора x₃∙ x₃=│ x₃│= 1 = x₁∙x₂∙ x₃, это значение принято называть определяющий контраст (I).

I = x₁∙x₂∙ x₃ ≡ 1

С помощью определяющего контраста можно определить какие оценки полной факторной модели содержат смешивание эффектов.

 

Полный факторный план позволяет построить модель вида:

Y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+b₂₃x₂x₃+b₁₂₃x₁x₂x₃

A ДФЭ2^3-1: Yʹ = b₀^’+b₁^’∙x₁+ b₂^’∙x₂+ b₃^’∙x₃

Поэтому коэффициенты ДФЭ содержат в себе коэффициенты или оценки коэффициентов ПФЭ. Определить смешивание эффектов можно с помощью определяющего контраста плана.

b₀^’ = b₀x₀+ b₁₂₃x₁x₂x₃

b₀^’ = b₀⁺ b₁₂₃

b₁^’= b₁⁺ b₂₃

b₂^’= b₂⁺ b₁₃

b₃^’= b₃⁺ b₁₂

К сожалению все значительно усложняется при увеличении количества факторов.

 

Построение ДФЭ для четырех факторов (k=4) (1/2 реплики)

K=4

в ПФЭ N=2⁴=16

в ДФЭ Nʹ=2^4-1=16

N	b0	b1	b2	b3	b4
x0	x1	x2	x3	x4
		-	-	-	-
		+	-	+	+
		-	+	-	+
		+	+	-	-
		-	-	+	+
		+	-	+	-
		-	+	+	-
		+	+	+	+

 

x₄ = x₁x₂x₃

b₀^’ = b₀⁺ b₁₂₃₄

b₁^’= b₁⁺ b₂₃₄

b₂^’= b₂⁺ b₁₃₄

b₃^’= b₃⁺ b₁₂₄

b₃^’= b₃⁺ b₁₂₄

b₄^’= b₄⁺ b₁₂₃

b₁₂^’= b₁₂⁺ b₃₄

b₁₃^’= b₁₃⁺ b₂₄

b₂₃^’= b₂₃⁺ b₁₄

 

Основной уровень фактора.

Основной уровень фактора, т. е. его начальное значение, с которого начинается эксперимент для его выбора необходим анализ априорной информации.

Начальный уровень фактора должен был располагаться в области определения факторов, таким образом, чтобы сочетание факторов не приводили к появлению нежелательных эффектов или к нарушению технологических режимов. Нормированное значение уровня фактора принимается равное нулю, т.е.

=0

=

 

Шаг изменения фактора.

Это величина, на которую изменяют фактор от опыта к опыту, т.е. интервал дискретности фактора.

Внутри шага фактор не может принимать значения, величина шага выбирается с учетом двух противоположных факторов (условий):

1. Увеличение шага, уменьшает содержательность и точность модели.

2. Уменьшение шага, увеличивает число опытов и стоимость эксперимента.

Шаг изменения фактора должен быть больше разрешающей способности измерительных приборов, и определяется возможностью изготовления образцов с заданной точностью. Т.е. желательно знать заранее, сколько образцов можно (изготовить) провести, каким временем располагаем: интервал варьирования равен половине рабочего диапазона.

Изменение фактора:

Ј_i = ,

Интервал варьирования определяет возможные изменения фактора и диапазона, в которых происходит исследования.

Начальный уровень фактора, интервал варьирования и шаг на каждом этапе эксперимента неизменны, и только на завершающем этапе исследования (при построении нелинейной модели) можно изменить эти величины.

Если при движении в факторном пространстве, значения какого либо фактора достигают границу области определения, то этот фактор исключается из рассмотрения, фиксируя его на граничном уровне.

 

Рандомизация.

Рандомизация заключается в случайном расположении точек плана, т.е. последовательности выполнения опытов в соответствии с оптимальным планом.

В следующей системе все факторы можно разделить на две группы:

I группа: изучаемые факторы это x₁x₂x₃

II группа: мешающие факторы (помехи) влияние, которых мы не учитываем в эксперименте.

Для исключения влияния факторов II группы и применятся рандомизация.

 

 

n	x1	x2	x3	y
	-	-	-	y1+ε
	+	-	-	y2+ε
	-	+	-	y3+ε
	+	+	-	y4+ε
	-	-	+	y5+ε
	+	-	+	y6+ε
	-	+	+	y7+ε
	+	+	+	y8+ε

n число опытов

ε ошибка (не учитываем)

Допустим для 3 опыта

₃= (-4ε+ )=b₃- ε.

 

Вычисление оценок.

Для ортогонального плана, вычисления соответствующих оценок производится по формуле

_j= ,

т.е. равны суммам произведений откликов на элементы соответствующего столбца плана.

При вычислении оценок необходимо соблюдать высокую точность вычислений (не менее 4 знаков после запятой) округление допускается только конечного результата.

Для контроля правильности вычислений необходимо рассчитать следующие суммы:

²

Теоретически должно выполняться соотношение

=N ²

Из-за округлений в процессе вычисления накапливаются ошибки и возможны отклонения от этой формулы

 

0,1

Если это выполняется, то считаем что вычисления выполнены верно и не содержат ошибок.

 

Глава 7.

Регрессионный анализ.

Цель регрессионного анализа – проверка адекватности полученной модели, проверка значимости оценок коэффициентов модели.

Поставленная цель достигается при следующих допущениях:

1. Параметр оптимизации Y является случайной величиной с нормальным законом распределения.

2. Дисперсия Y не зависит от величины Y, т.е. постулируется однородность дисперсий в различных точках факторного пространства.

3. Значение факторов не является случайными величинами, т.е. имеется возможность устанавливать каждый фактор на определенном уровне, точнее чем ошибка воспроизведения.

 

Статистический анализ

Дублирование опытов повышает точность эксперимента данных и надежность полученных моделей.

Различают равномерное и неравномерное дублирование.

Равномерное дублирование – это когда в каждой точке плана производится одинаковое число опытов, то есть каждой строчке плана соответствует одинаковое число значение у_i.

Если не делать различия между этими значениями, то это эквивалентно увеличению числа строк в матрице «весов»

P=En

Е- единичная матрица

n- число измерений в каждой точке

P=

С учетом матрицы весов решение системы нормальных уравнений имеет вид

Для дисперсии адекватности

дисперсия воспроизводимости.

Проверяется значимость коэффициентов

Таким образом, для случая статического анализа коэффициентов с равнопеременным дублированием опыта применяется та же схема обработки результатов, но учитывающая усреднение значения У.

Определим дисперсию адекватности и дисперсии коэффициентов, значимость коэффициентов уравнения регрессии.

 

Интерпретация результатов

Получено уравнение регрессии у=f(x_i)

Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_kx_k+b_k+1x₁x₂+…+b_k+m(x_k-1x_k)

1.Учет знаков при коэффициенте max

Интерпретация моде зависит от того, что мы определяем max или min функции y

2. Учитывается величина коэффициентов.

Их надо учитывать по силе воздействия на функцию отклика b₂>b

Статистически не значимые факторы не рассматриваются. Следует учесть, что изменение интервалов варьируется, приводит к изменению коэффициентов регрессии, так как величина коэффициента пропорциональна соответствующему интервалу варьирования |b_i|~|I_i|

Но коэффициенты могут изменять знак на обратный, если в ходе эксперимента случайно прошли max.

3. Построение уравнения регрессии для натуральных значений факторов. При этом изменяется величина всех коэффициентов и исчезает возможность их сравнения по величине.

Интерпретация взаимодействий неоднозначна, так как необходимо учитывать знаки основных эффектов. Причем если они различны, то следует исключить самый сложный эффект

y=b₀+b₁x₁+...

 

Критерий остановки

Движение по grad целесообразно пока приращение параметра оптимизации достигает max.

Но так как всегда имеются случайные ошибки Δy=Δy᷈+δy

Всякое движение по grad становится бессмысленным при отрицательном grad, то есть должно выполняться условие, что Δy>0.

Проверка этой гипотезы сводится к проверке выполнения неравенства

- Коэффициент Стьюдента

bi- коэффициент уравнения регрессии

f=N-k-1

Если это условие выполняется, то движение по grad становится не эффективно, следовательно, данное неравенство может служить критерием остановки при движении по grad.

 

Глава10. План 2-го порядка

Общие понятия

Планы 2-го порядка предполагают уравнение регрессии вида

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_kx_k+b₁₁x₁²+b₂₂x₂²+b_kkx_k²+b₁₂x₁x₂+b₁₃x₁x₃+…+b_k-1,kx_k-1x_k

Уравнение для двухфакторной модели:

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₁x₁²+b₂₂x₂²+b₁₂x₁x₂

Общее число уравнение и число неизвестных коэффициентов модели =n+1=6.

Оценки коэффициентов модели содержат функции независимых факторов типа с x_i².

Этот фактор должен принимать, по крайней мере, три различных значения, то есть мы должны использовать так называемые трехуровневые факторные планы вида 3^k.

Подсчитаем число опытов для различного числа опытов:

k N

1 9

2 27

3 81

4 243

5 729

6 2187

7 6561

Уменьшить количество опытов по сравнению с трехуровневым планированием можно путем построения центральных композиционных планов второго порядка.

Для квадратичной модели композиционный план может быть получен путем добавления некоторого количества специальных точек к ядру плана, в качестве которого используются ПФП для линейной модели.

Таким образом, если к ядру плана вида ПФЭ 2^k добавить одну точку в центре плана и добавить 2k так называемых «звездных» точек, то получим центр композиционный план Бокса. Координаты звездных точек представляют собой (±α,0,0,0,0…) (0,±α,0,0)

(0,0,±α,0…) (0,0…±α).

Общее число точек центра композиционного плана Бокса:N=2^k+2k=1≤3k.

Построим матрица планирование для трехфакторного эксперимента.

 

N	X1	X2	X3
	+	+	+
	-	+	+
	+	-	+
	-	-	+
	+	+	-
	-	+	-
	+	-	-
	-	-	-
	+α
	-α
		+α
		-α
			+α
			-α

Ядро плана ПФП 2^k

 

 

Звездные точки 2k α-плечо звездной точки

 

Центр плана

10.2 Ортогональные центральные композиционные планы

При построении ортогональных композиционных планов величина α выбирается таким образом, чтобы обеспечить ортогональность плана, т.е. диагонализировать матрицу X^ТX.

Для выполнения этого условия уравнение модели необходимо преобразовать к виду.

y=a₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_кx_к+…+b₁₁(x₁²-β)+b₂₂(x₂²-β)+…

...+b_кк(x_к²- β)…+b₁₂x₁x₂+…+b_к-1x_к-1x_к,

В этом уравнении величина β рассчитывается из условия

β= или β=

где N общее число точек плана,

 

-число точек в ядре плана,

- размах или плечо звездной точки композиционного плана.

Переход к уравнению регрессии от преобразованного уравнения производится с помощью формулы.

b₀=a₀-β

в этом случае получится

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b₁₁x₁²+b₂₂x₂²+…

необходимо учесть следующее, для ортогональных центральных композиционных планов также как и для факторных планов Iго порядка обеспечивается независимость вычисления всех коэффициентов в уравнении регрессии, кроме b₀.

Оценку значения коэффициента b₀ необходимо пересчитать после отбрасывания незначимых квадратичных коэффициентов.

Несколько осложняется расчет дисперсии для различных коэффициентов, поскольку разные коэффициенты b₀,b_i,b_ii,b_ij, рассчитывается с различными степенями свободы. Поэтому для каждого композиционного плана пользуясь справочными данными матрицы дисперсий ковариации.

Для ортогонального плана необходимо, чтобы парные взаимодействия не были смешаны с линейными эффектами. Поэтому в качестве ядра плана при к 4, используется только ПФЭ2^к , при к 4 допускается использование ДФП2^к-р.

 

<

	j	x0	x1	x2	xк	x12-β	x22-β	x122-β	x1x2	xк-1xк
Ядро плана			-1	-1	-1	1-β	1-β	1-β
			-1	-1	1-β	1-β	1-β	-1	-1
		-1		-1	1-β	1-β	1-β	-1
…		…	…	…	…	…	…	…	…
2к-р					1-β	1-β	1-β
Звездные точки	2к-р +1		+α			α2-β	-β	-β
		-α			α2-β	-β	-β
	…	…	…	…	…	…	…	…	…
			+α		-β	α2-β	-β
			-α		-β	α2-β	-β
				+α	-β	-β	α2-β
2к-р +2к				-α	-β	-β	α2-β