Часть 2. Построение эпюры поперечной силы и изгибающего момента на двухопорной балке

Что такое двухопорная балка, и какие особенности существуют при построении эпюр на такой схеме?

Двухопорной является балка, закрепленная на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная или одна опора – жесткая заделка, другая – шарнирно-подвижная, а между ними расположен соединительный шарнир. Для таких схем обязательно определение реактивных усилий в опорах до построения эпюр.

 

1.3.6. Пример решения задачи

Задача

Для данной двухопорной балки построить эпюры поперечной силы Q_y и изгибающего момента М_х.

РЕШЕНИЕ

Т.к. балка закреплена на двух шарнирных опорах, то до начала построения эпюр необходимо определить реакции в опорах (см. Приложение 1, стр. 178). Обозначим буквами опоры: шарнирно неподвижную «Р», шарнирно подвижную «В». Для определения реакции в опоре «P» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры «В»: .

Используем правило знаков для моментов, принятое в Теоретической механике (раздел «Статика»): момент против часовой стрелки принимаем положительным и наоборот. В результате получим: . Подставив численное значение всех входящих величин, выразим из уравнения . Для определения реакции в опоре «В» составим уравнение суммы моментов относительно точки опоры «Р»: , расписывая левую часть уравнения, получим: , откуда . Для проверки правильности определенных реакций составим уравнение суммы проекций сил на вертикальную ось: или . Подставив численное значение сил, получим: .Т.е. реакции определены верно. Теперь можно приступать к построению эпюр.

Разделим балку на участки соответственно определению. Очевидно, что для построения эпюры поперечной силы участков будет меньше. Это участки ВС, CD, DS и SP. Участок DS включает характерное сечение т. «L», т.к. на сосредоточенный момент поперечная сила не реагирует. Для построения эпюры изгибающего момента надо принять пять участков ВС, CD, DL, LS и SP.

Построение эпюры Q_y

Проведем под расчетной схемой базу для эпюры Q_y и разделим ее на четыре участка ВС, CD, DS и SP.

Ый участок (ВС)

Левая граница участка т. «В»: имеется сосредоточенная сила R_B, поэтому на эпюре Q_y будет скачок на величину 17,72кН. Знак скачка определяем, повернув R_B по направлению построения эпюры, т.е. слева направо. Поворот происходит против часовой стрелки: знак скачка «–», откладываем вниз от базы.

Состояние по длине участка: весь участок загружен распределенной нагрузкой, поэтому на эпюре будет наклонная прямая с угловым коэффициентом равным q=-10кН/м, т.к. направление вектора q такое же, как у R_B.

Правая граница участка т. «С»: определим величину силы, на которую произойдет изменение поперечной силы за счет действия распределенной нагрузки на участке, умножив q на длину участка 1 м, получим 10кН. Величина поперечной силы в т. «С» определится как сумма: -R_B-q×1м=-27,72кН. Отложим это значение вниз от базы, т.е. со знаком «–». Соединим ординаты на левой и правой границе участка наклонной прямой.

Ой участок (CD)

Левая граница участка т. «С»: здесь отсутствует сосредоточенная сила, поэтому значение -27,72 кН останется неизменным.

Состояние по длине участка: участок ничем не загружен, т.е. на эпюре будет прямая, параллельная базе.

Правая граница участка т. «D»: значение Q_y=-27,72кН.

Ий участок (DS)

Левая граница участка т. «D»: на левой границе находится сосредоточенная сила F=25кН, на величину которой надо сделать скачок на эпюре в положительную сторону, т.к. сила поворачивается по направлению построения эпюры слева направо по часовой стрелке. В результате получим:

-27,72кН +25 кН= -2,72кН.

Состояние по длине участка: на участке отсутствует распределенная нагрузка, поэтому на эпюре будет прямая, параллельная базе, с ординатой ‑2,72кН.

Правая граница участка т. «S»: ордината, равная -2,72кН, – конец прямой, параллельной базе.

Ый участок (SP)

Направление построения эпюры на этом участке выберем справа налево.

Правая граница участка т. «Р»: здесь находится сосредоточенная сила R_P=27,28кН, которая вызовет на эпюре скачок на эту величину вверх. Почему вверх? Потому, что сила R_P по ходу построения эпюры (справа налево) поворачивается по часовой стрелке. В результате в начале четвертого участка ордината поперечной силы будет равна 27,28кН.

Состояние по длине участка: участок загружен равномерно распределенной нагрузкой 2q=20кН/м, поэтому на эпюре должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным -2q, т.к. вектор интенсивности нагрузки поворачивается против часовой стрелки при движении по участку справа налево.

Левая граница участка т. «S»: здесь у нас уже имеется значение на эпюре, равное -2,27кН, которое не должно меняться, т.к. в данной точке отсутствует внешняя сосредоточенная сила, которая могла бы вызвать скачок. Соединив значения ординат в начале участка 27,28кН в т. «Р» со значением в конце участка -2,72кН в т. «S», получим наклонную прямую.

Построение эпюры М_х

Эпюра М_х строится под эпюрой Q_y. База эпюры предварительно делится на пять участков ВС, CD, DL, LS и SP.

Ый участок (BC)

Левая граница участка т. «В»: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х будет ноль.

Состояние по длине участка: наличие равномерно распределенной нагрузки на эпюре М_х дает параболу, выпуклость которой направлена вверх (навстречу нагрузке). Парабола будет без экстремума, поскольку наклонная прямая на соответствующем участке эпюры Q_y не пересекает базу. Строится по двум точкам, значениям момента на левой и правой границе участка.

Правая граница участка т. «С». Сделаем сечение по правой границе первого участка и оставим для определения момента в сечении «отрезанный» участок ВС. На нем имеется сосредоточенная сила R_B=17,72кН и равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q=10кН/м. Направление обеих сил указывает на положение сжатых волокон от изгиба: они находятся внизу. Момент в сечении «С» от этих двух нагрузок вычислим в табличной форме.

Напоминаем, что вв. означает, что данным моментом сжаты верхние волокна, а нв. – нижние. Полученную величину момента 22,72кНм откладываем в т. «С» вниз от базы и соединяем с нулем в т. «В» параболой без экстремума выпуклостью, направленной навстречу q, т.е. вверх.

Ой участок (CD)

Левая граница участка т. «С»: отсутствует сосредоточенный внешний момент, поэтому на эпюре М_х значение 22,72кНм не изменится.

Состояние по длине участка. Участок ничем не загружен, т.е. на эпюре М_х будет наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным значению поперечной силы данного участка Q_y =-27,72кН.

Правая граница участка т. «D». Сделаем сечение по точке «D», оставим для определения значения момента часть балки BD и вычислим величину М_х, также используя табличную форму.

Откладываем значение 44,896кНм в точке «D» на нижние волокна и соединим со значением момента в т. «С» наклонной прямой.

Ий участок (DL)

Левая граница участка т. «D»: отсутствует внешний сосредоточенный момент, поэтому значение момента 44,896кНм не изменится.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным Q_y этого участка, т.е. -2,72кН. Построим прямую по двум точкам, для чего определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка т. «L»: сделаем сечение по правой границе участка так, чтобы сосредоточенный внешний момент, находящийся в точке «L», не вошел на отсечённую часть балки BL. Рассмотрим на части BL действие силы R_B, равномерно распределенной нагрузки q и силы F. Определим момент в сечении, используя табличную форму:

Почему момент от силы F в таблицу поставлен в столбике на верхних волокнах ? Потому что, воздействуя на балку слева силой F, мы изгибаем ее так, что будут сжаты верхние волокна. На это указывает и направление вектора силы. По полученным значениям момента на левой и правой границах участка, соответственно 44,896кНм и 47,072кНм, строим наклонную прямую.

Ый участок (LS)

Левая граница участка т. «L»: находится сосредоточенный внешний момент М=30кНм, который вызовет скачок вверх по направлению действия момента от значения -47,072кНм на величину 30кНм. Получим значение момента 17,072кНм на нижних волокнах.

Состояние по длине участка: участок пустой, ничем не загружен. На эпюре М_х должна быть наклонная прямая. Построим прямую по двум точкам. Для этого определим значение момента на правой границе.

Правая граница участка т. «S»: Делая сечение по т. «S» оставляем для определения момента правую часть балки – участок «PS». Вычислим величину момента в табличной форме:

Полученный результат 18,42кНм откладываем в т.«S» на нижние волокна и соединяем с ординатой -17,072кНм в т. «L» наклонной прямой.

Ый участок (PS)

Выбираем направление построения эпюры справа налево, т.е. от т. «Р» к т. «S».

Правая граница участка т. «Р». В данной точке отсутствует внешний сосредоточенный момент, поэтому начинаем эпюру моментов с нуля.

Состояние по длине участка: участок загружен равномерно распределенной нагрузкой. На эпюре М_х должна быть парабола, выпуклость которой направлена навстречу направлению интенсивности нагрузки, т.е. вниз. Парабола имеет экстремум в том сечении, где поперечная сила на данном участке пересекает базу. Определим координату экстремума, приравняв функцию поперечной силы на данном участке нулю. Для этого запишем функцию Q_y справа налево, приняв начало координат в т. «Р» и используя уже имеющуюся эпюру поперечной силы: , откуда . Определим экстремальное значение момента, используя табличную форму вычисления.

Левая граница участка т. «S». В этой точке уже был определен момент при работе с участком «LS». М_хS=18,42кНм на нижних волокнах. Скачка здесь быть не может, т.к. в этой точке не действует внешний сосредоточенный момент. Поэтому осталось соединить три ординаты: -18,42кНм, -18,6кНм и 0 параболой с экстремальным значением -18,6кНм.

Проверка правильности построенных эпюр по дифференциальной зависимости

Анализ эпюр проводим слева направо:

1-ый участок «ВС»:

2-ой участок «CD»:

3-ий участок «DL»:

4-ый участок «LS»:

5-ый участок «SP»: до пересечения наклонной прямой базы на эпюре поперечной силы Q_y <0, М_х↓. После пересечения – Q_y >0, а М_х ↑.

Анализ показал полное соответствие поведения функции изгибающего момента дифференциальной зависимости.

Эпюры построены.

 

1.3.7. Задача для самостоятельного решения на занятии

Для данной расчетной схемы построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента, используя основные закономерности и определяя значения внутренних силовых факторов в характерных сечениях.

 

1.3.8. Потренируемся?

· Пройти тестовый тренинг (Приложение 2, тесты к ПЗ №2, стр. 199)

· Решить задачу 1.3. из РПР №1 (Приложение 4, стр. 261)

1.4. Практическое занятие №3
Построение эпюр внутренних силовых факторов на плоских рамах. Часть 1 и часть 2