Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-28 | 954 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод вращений Якоби предполагает решение полной проблемы собственных значений для симметричных вещественных матриц. Для таких матриц собственные вектора образуют полную ортонормированную систему, т.е. пользуясь обозначениями, введенными в свойстве 6 предыдущего раздела, можно записать:
, (1.4)
Значит, для всякой симметричной матрицы А найдется диагональная матрица , ей ортогонально подобная. Приближенно реализовать равенство (1.4), т.е. найти сразу все собственные числа матрицы А (элементы диагонали матрицы ) и все соответствующие им собственные векторы (столбцы матрицы X), позволяет применение к А последовательности однотипных преобразований, сохраняющих спектр и приводящих в пределе данную матрицу к диагональному виду.
Для этих целей используются преобразования с помощью так называемой матрицы плоских вращений:
(1.5)
Она получается из единичной матрицы заменой двух единиц и двух нулей на пересечениях i-x и j-x строк и столбцов числами с и , как показано в (1.5), такими, что
1. . (1.6)
Условие нормировки (1.6) позволяет интерпретировать числа c и s как косинус и синус некоторого угла , и, так как умножение любой матрицы на матрицу изменяет у нее только две строки и два столбца по формулам поворота на угол в плоскости, отделяемой выбранной парой индексов i и j, то это объясняет название матрицы .
Матрица ортогональна при любых , и значит, матрица
(1.7)
подобна А, т.е. имеет тот же набор собственных чисел, что и матрица А.
Классический итерационный метод вращений, предложенный Якоби (1846 г.), предполагает построение последовательности матриц
с помощью преобразований типа (1.7)
(1.8)
такой, что на -м шаге обнуляется максимальный по модулю элемент матрицы предыдущего шага (а значит, и симметричный ему элемент). Эта стратегия определяет способ фиксирования пары индексов i, j, задающих позиции , , , «существенных» элементов в матрице вращения , и угол поворота , конкретизирующий значения этих элементов:. .и . На каждом шаге таких преобразований пересчитываются только две строки (или два столбца, что неважно в силу симметрии) матрицы предыдущего шага.
|
Пусть – исходная симметричная матрица, а – матрица, получающаяся после одного шага преобразований по формуле (1.7). Обозначим через и двумерные подматрицы этих матриц, определяемые фиксированием позиции некоторого элемента матрицы :
, ,
а через – такую же подматрицу матрицы :
.
Очевидно, что равенство (1.7), записанное для матриц А, В, , будет верным и для их подматриц , , . Рассчитаем с его помощью элементы матрицы :
.
Очевидно, что , если т.е. если
.
Учитывая тригонометрическую интерпретацию чисел и , в соответствии с чем можно считать
, ,
приходим к выводу, что матрица В будет иметь нулевые внедиагональные элементы , если использовать преобразование плоского вращения по формуле (1.7) на угол такой, что
.
(для определенности считают ).
Находить непосредственно угол нет необходимости, поскольку нужные для выполнения преобразований числа с и s можно получить через значение . На этой стадии метода предъявляются наибольшие требования к точности, так как искажение с и s нарушает ортогональность матриц Т, что ведет к неустранимым погрешностям (метод вращений, итерационный по форме, не является итерационным по существу: ему не присуща самоисправляемость методов последовательных приближений).
Нужно отметить, что описанный подход к решению полной проблемы собственных значений эффективен и тогда, когда исходная матрица имеет кратные и, что хуже, близкие собственные числа.
Пользуясь проделанными рассуждениями, запишем последовательность действий, определяющих один шаг метода вращений Якоби (каждый шаг состоит в расчёте матрицы на основе при помощи соотношения (1.8)):
|
1. Выбирается ключевой элемент матрицы (стратегия его выбора рассматривается ниже).
2. Вычисляется , , .
3. Вычисляются значения и : Если то , , (если то лучше ), если же q =0, то .
4. Вычисляются новые диагональные элементы матрицы :
5. Внедиагональные элементы и полагаются равными 0 (для контроля точности их значения можно вычислить по формуле: );
6. При таких, что , вычисляются изменяющиеся внедиагональные элементы:
7. Для всех остальных пар индексов принимается .
Вернёмся теперь к стратегии выбора ключевого элемента . На практике наиболее распространены два подхода:
1. Классический, при котором в качестве ключевого элемента, определяющего индексы и , принимается максимальный по модулю элемент матрицы :
.
В [1] показано, что при таком способе выбора ключевого элемента последовательность подобных матриц сходится к диагональной матрице из собственных значений со скоростью геометрической прогрессии. Однако при больших величинах n его реализация наталкивается на существенные потери машинных ресурсов, связанные с поиском наибольшего по модулю ключевого элемента.
2. Метод барьеров. Стратегия выбора ключевого элемента здесь такова: устраивается циклический перебор всех над- или поддиагональных элементов матрицы , но при этом пропускаются элементы, абсолютные величины которых меньше некоторого заданного положительного числа – барьера. Этот барьер может быть переменным (уменьшающимся по какому-либо осмысленному принципу). Сходимость метода несколько медленней, чем при классическом способе, но существенный выигрыш в быстродействии при выборе ключевого элемента оправдывает его практическое применение.
В завершение, остается вспомнить, что в соответствии со свойствами 6, 7 из предыдущего раздела и проведенными рассуждениями за собственные векторы , , …, матрицы А (имеющие единичную евклидову норму) могут быть приближенно приняты столбцы результирующей матрицы, получающейся справа от А в цепочке преобразований подобия:
т.е. матрицы при некотором .
Критерием окончания процесса вращений Якоби может служить, например, достаточная малость модуля ключевого элемента на -ом шаге: , где – некоторое малое число, определяющее допустимую погрешность вычислений метода.
|
Литература
1. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела (кватернионное изложение). – М.: МФТИ (ГУ), 2000. – 64 с.
2. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория Систем автоматического управления. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – Спб.: Профессия, 2003. – 752 с.
3. Бобронников В. Т., Красильщиков М. Н., Козорез Д. А. и др. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: учебное пособие. / Под общ. ред. М. Н. Красильщикова, В. В. Малышева. – Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Альянс, 2013. – 468 с.
4. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. – М.: Наука, 1973. – 320 с.
5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.
6. Желтов С.Ю., Веремеенко К.К., Ким Н.В. и др. Современные информационные технологии в задачах навигации и наведения беспилотных маневренных летательных аппаратов. / Под ред. М.Н. Красильщикова, Г.Г. Себрякова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 556 с.
7. Осипов Д.Л. – Delphi. Программирование для Windows, OS X, iOS и Android. – Спб.: БХВ-Петербург, 2014. – 464 с.
8. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967. – 664 с.
9. Страуструп Б. Программирование: принципы и практика с использованием С++. – Второе издание. – М.: Вильямс, 2016. – 1328 с.
10. Умнов А. Е., Аналитическая геометрия и линейная алгебра: учебное пособие. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: МФТИ, 2011. – 554 с.
11. Элджер Дж. С++: Библиотека программиста. – Спб.: Питер, 1999. – 320 с.
[1] Более подробно основные понятия и определения линейной алгебры рассматриваются, например, в [10].
[2] Строго говоря, такая интерпретация допустима и для -мерного однородного гиперпространства, но в задачах моделирования процессов функционирования интегрированных систем ЛА такое обобщение, как правило, излишне.
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!