Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-09-28 | 243 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц – одна из наиболее сложных задач линейной алгебры, возникающих в процессе моделирования и анализа процессов функционирования динамических систем, статистического моделирования. Так, например, собственные векторы ковариационной матрицы случайного вектора определяют направления главных осей гиперэллипсоида рассеивания значений этого вектора, а собственные числа – растяжение или сжатие гиперэллипсоида по его главным осям. В механике собственные векторы и числа тензора инерции характеризуют направление главных осей и главные моменты инерции твёрдого тела.
Различают полную (алгебраическую или, иначе, матричную) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар некоторой матрицы , и частичные проблемы собственных значений, состоящие, как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел и, возможно, соответствующих им собственных векторов . Чаще всего, в последнем случае речь идет о нахождении наибольшего и наименьшего по модулю собственных чисел; знание таких характеристик матрицы позволяет, например, делать заключения о сходимости тех или иных итерационных методов, оптимизировать их параметры и т.д.
Задачу на собственные значения можно сформулировать так: для каких ненулевых векторов и чисел линейное преобразование вектора с помощью матрицы не изменяет направления этого вектора в пространстве, а сводится лишь «растяжению» этого вектора в раз? Ответ на этот вопрос заключается в нетривиальных решениях уравнения
, (1.2)
где – единичная матрица. Теоретически эта задача легко решаема: нужно найти корни так называемого характеристического уравнения
|
(1.3)
и, подставляя их поочередно в (1.2), получать из соответствующих переопределенных систем собственные векторы.
Практическая реализация такого подхода сопряжена с рядом трудностей, возрастающих с ростом размерности решаемой задачи. Трудности эти обусловлены развертыванием определителя и вычислением корней получающегося при этом многочлена n -й степени, а также поиском линейно независимых решений вырожденных систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим, такой непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений обычно применяют лишь при очень малых размерах матриц (n = 2, 3). Уже при n > 4 на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач, один из которых, опирающийся на матричное преобразование подобия, будет рассмотрен далее. Напомним, что подобными называются матрицы и , где С – произвольная невырожденная матрица.
Перечислим кратко основные свойства собственных чисел и векторов:
1. Если – собственная пара матрицы А, а – некоторое число, то также является собственной парой для А. Это означает, что каждому собственному числу соответствует бесчисленное множество собственных векторов, различающихся лишь скалярным множителем.
2. Пусть – собственная пара матрицы , где – некоторое действительное число. Тогда – собственная пара матрицы А. Таким образом, прибавление к данной матрице А диагональной матрицы не изменяет ее собственных векторов и смещает спектр исходной матрицы на число (влево при ). Спектром матрицы называется множество всех ее собственных значений.
3. Если – собственная пара обратимой матрицы , то – собственная пара матрицы .
4. Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются их диагональные элементы, т.к. характеристическое уравнение (1.3) с учётом (1.1) для таких матриц может быть записано в виде:
.
Последнее равенство показывает, что диагональные и треугольные вещественные матрицы имеют только вещественные собственные значения (ровно n с учетом возможной их кратности). Вещественность собственных чисел присуща и очень важному в приложениях классу симметричных матриц, к числу которых относятся ковариационные матрицы и тензоры инерции.
|
5. Если – собственная пара матрицы , то – собственная пара матрицы А Таким образом, преобразование подобия сохраняет неизменным спектр любой матрицы.
6. Пусть А – матрица простой структуры размерности , а матрицы и образованы из ее собственных чисел и собственных векторов соответственно. Тогда справедливо равенство . Так как для диагональной матрицы , образованной из собственных чисел, собственными векторами могут служить единичные векторы исходного базиса (, ), то, используя свойство 5 и принимая и (т.е. ), свойство 6 можно сформулировать иначе: если является собственной парой матрицы , то есть собственная пара матрицы А.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!