Приближенное вычисление криволинейного интеграла

Лабораторная работа

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА

 

Теоретическая часть

Криволинейный интеграл первого рода

Определение

Пусть в каждой точке гладкой кривой L = AB в плоскости Оху задана непрерывная ограниченная функция двух переменных f (x, y). Непрерывная кривая x = x (t), y = y (t) называется гладкой на отрезке a ≤ t ≤ β, если функции

x = x (t) и y = y (t) имеют на этом отрезке непрерывные производные x ¢(t) и y ¢(t), одновременно не равные нулю. Произвольно разобьем кривую L на n частей точками А = М ₀, М ₁, М ₂, …, М_n = B. На каждой из полученных дуг М_{i -1}, М_i выберем произвольную точку R_i (ξ_i, η_i) (рис.1) и составим сумму

 

S_n = Δ l_i, (1)

где Δ l_i = М_{i -1} М_i – длина дуги М_{i -1}, М_i.

Сумма (1) называется интегральной

суммой первого рода для функции f (x, y) по

кривой L. Пусть λ = Δ l_i - наибольшая

из длин дуг М_{i -1}, М_i. Если при λ → 0 (n →∞)

существует предел интегральных сумм S_n, Рис.1.

не зависящий ни от способа разбиения

кривой L на части, ни от выбора точек R_i (ξ_i, η_i) на них, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода (или криволинейным

интегралом по длине дуги) от функции f (x) по кривой L и обозначается

 

или .

 

Вычисление

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

1. Если кривая L задана явно непрерывно дифференцируемой функцией у = у (х), х [ a, b ], то

 

= . (2)

 

2. Если кривая L задана параметрически, т.е. в виде x = x (t), y = y (t), где

x = x (t), y = y (t) – непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке [ a, β ], то

= . (3)

3. Если плоская кривая L задана полярным уравнением r = r (φ), где

φ [ a, β ], то

= . (4)

 

Криволинейный интеграл второго рода

Определение

Пусть L = AB – гладкая кривая, а Р (x, y) и Q (x, y) – некоторые функции, определенные в точках кривой L. Разобьем кривую L точками А = М ₀, М ₁, М ₂, …, М_n = B в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг М_{i -1}, М_i с длинами Δ l_i (i = 1, 2, …, n).На каждой из полученных дуг М_{i -1}, М_i выберем произвольную точку R_i (ξ_i, η_i) (рис.2) и составим сумму

S_n = Δ x_i + Q (ξ_i, η_i) Δ y_i ] (2)

где Δ х_i = х_i – х_{i -1} – проекция дуги М_{i -1}, М_i на

ось Ох, а Δ у_i = у_i – у_{i -1} – на ось Оу. Сумма (2)

называется интегральной суммой второго рода

для вектор-функции F (x, y) = Р (x, y) i + Q (x, y) j

по кривой L. Пусть λ = Δ l_i - наибольшая

из длин дуг М_{i -1}, М_i. Если при λ → 0

существует предел интегральных сумм (2),

не зависящий ни от способа разбиения Рис.2.

кривой L на дуги, ни от выбора точек R_i (ξ_i, η_i)

на них, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода (или криволинейным интегралом по координатам) от вектор-функции F (x, y) = Р (x, y) i + Q (x, y) j по кривой L и обозначается

 

+ Q (x, y) dy или + Q (x, y) dy.

Вычисление

1. Если кривая L задана явно непрерывно дифференцируемой функцией у = у (х), х [ a, b ], то

 

+ Q (x, y) dy = . (5)

 

2. Если кривая L задана параметрически в виде x = x (t), y = y (t), где

x = x (t), y = y (t) – непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке [ a, β ], то

+ Q (x, y) dy = . (6)

Var

x0,xn,dx,dy,s,xi,xc,yc,dl,tr: real;

n,i: integer;

function piv(x,y,dl: real): real; {подынтегральное выражение x / y dl }

Begin

piv:=x/y*dl

end;

function put(x: real): real; {кривая интегрирования sqrt(2x)}

Begin

put:= sqrt(2*x)

end;

Begin

writeln (‘введите пределы интегрирования по х: x0 и xn’);

read (x0,xn); {ввод x0,xn }

tr:=(17*sqrt(17) – 5*sqrt(5))/6; (аналитическое решение)}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [a,b]’);

read (n); {ввод n }

writeln( ‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}

writeln;

writeln (‘ n точн.знач. числ.реш. абс.ош. отн.ош’);{4,7,2,3,5 пробелов}

writeln;

dx:=(xn–x0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

xi:=x0; {начальная точка частичных отрезков}

xс:=x0–dx/2; {серединная точка частичных отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

xс:=xc+dx;

yc:=put(xc); {значение подынтегр. функции в серединной точке}

dy:= put(xi+dx) – put(xi); {приращение пути на частичном отрезке}

dl:=sqrt(dx*dx + dy*dy); {≈ длине дуги для частичного отрезка}

s:= s+ piv(xc,yc,dl)

xi:=xi+dx;

end;

writeln (n:6,tr:14:6,s:12:6,abs(s–tr):11:6,abs((s–tr)/tr):12:6);

readln;

readln;

end.

 

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

 

Введите число разбиений n

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

100 9.818743 9.818766 0.000023 0.000002

 

Отлаженную программу необходимо «запомнить» под своим оригинальным именем на своем компьютере и, что очень желательно (во избежание затирания программы другим пользователем), на дискете или на «флэшке».

 

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл , где L –

окружность r = a cos φ (a = 2).

 

 

program ivanov_kri1_2; {полярный}

Var

fi0,fin,dfi,dr,s,fii,fic,rc,dl,tr: real;

n,i: integer;

const a=2;

function piv(r,fi,dl: real): real; {подынтегральное выражение r dl }

Begin

piv:=r*dl;

end;

function put(fi: real): real; {кривая интегрирования acosφ}

Begin

put:= a*cos(fi);

end;

Begin

writeln (‘введите пределы интегрирования по фи: fi0 и fin’);

read (fi0,fin); {ввод fi0,fin }

{т.к. точное значение π/2 в паскале на «черном» экране ввести нельзя, то}

{‘перевводим’ пределы в программе, а требуемые значения вводим}

{ произвольно, например, 0, 0}

fi0:= –pi/2; fin:= pi/2;

tr:=2*a*a; (аналитическое решение)}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [fi0, fin]’);

read (n); {ввод n }

writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}

writeln;

writeln (‘ n точн.знач. числ.реш. абс.ош. отн.ош’);{4,7,2,3,5 пробелов}

writeln;

dfi:=(fin–fi0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

fii:=fi0; {начальная точка частичных угловых интервалов}

fiс:=fi0–dfi/2; {серединная точка частичных угловых интервалов }

for i:=1 to n do

Begin

fiс:=fic+dfi;

rc:=put(fic); {значение подынтегр. функции в серединной точке}

dr:= put(fii+dfi) – put(fii); {приращение пути на угловом интервале }

dl:=sqrt(rc*dfi*rc*dfi+dr*dr); {≈длине дуги для частичного углового интервала}

s:= s+ piv(rc,fic,dl);

fii:=fii+dfi;

end;

writeln (n:6,tr:14:6,s:12:6,abs(s–tr):11:6,abs((s–tr)/tr):12:6);

readln;

readln;

end.

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

 

Введите число разбиений n

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

100 8.000000 8.000219 0.000219 0.000027

 

 

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции трех переменных , где L – дуга кривой, заданной параметрически x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ π.

 

 

program ivanov_kri1_3; {параметрическое задание кривой интегрирования}

Var

t0,tn,dt,dl,dx,dy,dz,s,ti,tc,xi,yi,zi,xi1,yi1,zi1,xc,yc,zc,u,tr: real;

n,i: integer;

function piv(x,y,z,dl: real): real; {подынтегральное выражение}

Begin

piv:=(5*z–2*sqrt(x*x+y*y))*dl;

end;

procedure put(t: real; var x,y,z:real); {кривая интегрирования}

Begin

x:= t*cos(t);

y:= t*sin(t);

z:= t;

end;

Begin

writeln (‘введите пределы интегрирования по t: t0 и tn’);

read (t0,tn); {ввод t0,tn }

{т.к. точное значение π в паскале на «черном» экране ввести нельзя, то}

{‘перевводим’ пределы в программе, а требуемые значения вводим}

{ произвольно, например, 0, 0}

t0:= 0;

tn:= pi;

tr:=sqrt((2+pi*pi)*(2+pi*pi)*(2+pi*pi))–2*sqrt(2); (аналитическое решение)}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [t0, tn]’);

read (n); {ввод n }

writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’); {впереди 13 пробелов}

writeln;

writeln (‘ n числ.реш.’); {5,7 пробелов}

writeln;

dt:=(tn–t0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

ti:=t0; {начальная точка частичных отрезков}

tс:=t0–dt/2; {серединная точка частичных отрезков }

for i:=1 to n do

Begin

tс:=tc+dt;

put(tc,xc,yc,zc); {значения подынтегр. функции в серединной точке отрезка}

put(ti,xi,yi,zi); {значения подынтегр. функции в начальной точке отрезка}

put(ti+dt,xi1,yi1,zi1); {значения подынтегр. функции в конечной точке отрезка}

dx:= xi1–xi;

dy:= yi1–yi;

dz:= zi1–zi;

dl:=sqrt(dx*dx+dy*dy+dz*dz); {≈длине дуги}

s:= s+ piv(xc,yc,zc,dl);

ti:=ti+dt;

end;

writeln (n:7, s:14:6);

writeln (‘аналитическое решение tr=’, tr:10:6);

writeln;

writeln (‘ошибка метода’);

writeln (‘абсолютная’, abs(s–tr):18:6);

writeln (‘относительная’, abs((s–tr)/tr):15:6);

readln;

readln;

end.

 

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

 

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

N числ.реш.

100 38.062661

 

аналитическое решение tr= 38.065081

Ошибка метода

Абсолютная 0.002420

Относительная 0.000064

 

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл от точки

А (0; 0) до точки В (1; 1) по кривым а) у = х, б) у = х ², в) у = (см. рис.6).

 

program ivanov_kri2_1; {по трем кривым АВС (рис.6)}

Var

a,b,dx,dy1,dy2,dy3,xi,xc,yc1,yc2,yc3,s1,s2,s3,tr1,tr2,tr3: real;

n,i: integer;

function piv(x,y,dx,dy: real): real; {подынтегральное выражение}

Begin

piv:= y*dx+2*dy;

end;

function put1(x: real): real; {кривая интегрирования y=x }

Begin

put1:= x;

end;

function put2(x: real): real; {кривая интегрирования y=x²}

Begin

put2:= x*x;

end;

function put3(y: real): real; {кривая интегрирования y=x^1/3}

Begin

put3:= exp(ln(x)/3);

end;

Begin

{аналитическое решение}

tr1:=5/2; { по кривой y=x}

tr2:=7/3; { по кривой y=x²}

tr3:=11/4; { по кривой y= x^1/3}

writeln (‘введите число разбиений n отрезка [0,1]’);

read (n); {ввод n }

writeln (‘n=’, n:5);

writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}

writeln;

writeln (“:13,‘кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3’);{5,10,6 пробелов}

writeln;

a:=0; {абсцисса точки А }

b:=1; {абсцисса точки B }

dx:=(b–a)/n;

s1:=0; {интегральная сумма для кривой y=x }

s2:=0; {интегральная сумма для кривой y=x*x }

s3:=0; {интегральная сумма для кривой y=e(ln(x)/3}

xi:=a; {начальная точка частичных отрезков}

xс:=xi–dx/2; {серединная точка частичных отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

xс:=xc+dx;

yc1:=put1(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x }

yc2:=put2(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x*x }

yc3:=put3(xc); {зн. подынтегр. ф-ции в серединной точке для e(ln(x)/3 }

dy1:= put1(xi+dx) – put1(xi); {приращение пути для y=x}

dy2:= put2(xi+dx) – put2(xi); {приращение пути для y= x*x}

dy3:= put3(xi+dx) – put3(xi); {приращение пути для y= e(ln(x)/3}

s1:= s1+ piv(xc,yc1,dx,dy1);

s2:= s2+ piv(xc,yc2,dx,dy2);

s3:= s3+ piv(xc,yc3,dx,dy3);

xi:=xi+dx;

end;

writeln (‘численные’, s1:20:6, s2:14:6, s3:14:6);

writeln;

writeln (‘аналитические’, tr1:16:6, tr2:14:6, tr3:14:6);

readln;

readln;

end.

 

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

 

Введите число разбиений n

n= 100

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3)

Численные 2.500000 2.333325 2.750122

Аналитические 2.500000 2.333333 2.750000

 

Пример 5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом

x = a cos t, y = b sin t.

 

Площадь S области D, ограниченной кривой L, находят по формуле

S = .

 

program petrov_kri2_2; {площадь эллипса}

Var

t0,tn,dt,dx,dy,ti,tc,xi,yi,xi1,yi1,xc,yc,s,tr: real;

n,i: integer;

const a=2;

const b=3;

function piv(x,y,dx,dy: real): real; {подынтегральное выражение}

Begin

piv:= x*dy–y*dx;

end;

procedure put (t: real; var x,y: real); {кривая интегрирования }

Begin

x:=a*cos(t);

y:=b*sin(t);

end;

Begin

tr:=pi*a*b; {аналитическое решение}

{пределы интегрирования t0, tn}

t0:=0;

tn:=2*pi;

write (‘введите число разбиений n =’);

read (n); {ввод n }

writeln;

writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 12 пробелов}

writeln;

writeln (‘ числ.реш. аналит.реш.’);{6,7 пробелов}

dt:=(tn–t0)/n;

s:=0; {интегральная сумма}

ti:=t0; {начальная точка частичных угловых отрезков}

tс:=t0–dt/2; {серединная точка частичных угловых отрезков}

for i:=1 to n do

Begin

tс:=tc+dt;

put (tc,xc,yc); {знач. x и y в серед. точке част. угловых отрезков }

put (ti,xi,yi); { знач. x и y в начальной точке част. угловых отрезков }

put (ti+dt,xi1,yi1); { знач. x и y в конечной точке част. угловых отрезков }

dx:= xi1–xi; {приращение x на част. угловом отрезке}

dy:= yi1–yi; {приращение y на част. угловом отрезке}

s:= s+ piv(xc,yc,dx,dy); {интегральная сумма}

ti:=ti+dt;

end;

s:=s/2;

writeln (s:15:6, tr:16:6);

writeln;

writeln (‘ошибка метода’);

writeln (‘абсолютная’, abs(s–tr):18:6);

writeln (‘относительная’, abs((s–tr)/tr):15:6);

readln;

readln;

end.

 

Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:

 

введите число разбиений n=100

Р Е З У Л Ь Т А Т Ы

Числ.реш. аналит.реш.

18.846455 18.849556

Ошибка метода

Абсолютная 0.003100

Относительная 0.000164

Четвертый этап работы заключается в записи в отлаженную

программу (в раздел описания функций) описания «своего» подынтегрального выражения (в предложенных выше программах это piv), «своей» кривой интегрирования (put) и «своего» аналитического решения (tr). После отладки программы ее необходимо «пропустить» со значениями n, равными 5, 10, 25, 100,1000.

 

При записи «своих» выражений следует обратить внимание на операцию деления. Например, правильная запись дроби может иметь вид sqr(a)*a*b*c/(r*t*sqr(s)), или sqr(a)*a*b*c/ r / t / sqr(s), или a*a*a*b*c/(r*t*s*s), или какой-либо другой, но обязательно знаменатель должен быть в скобках или его множители должны быть отделены друг от друга операцией / (деление). Числитель брать в скобки нужно в случае, если это многочлен.

Другая особенность данного этапа состоит в ограниченности библиотеки встроенных функций PASCALя. Для записи встречающихся в заданиях функций используются функции

 

sin(x), cos(x), sqr t(x) (), sqr(x) (x ²), atan(x) (arctg x), ln(x), abs(x) (| x|),

а также постоянная pi (π).

 

Для записи других функций следует пользоваться тождественными формулами:

tg x = , arcsin x = arctg , x^a = e^{a ln x} ,

arcctg x = – arctg x, arccos x = arcctg .

Еще два замечания:

1) Так как встроенная функция sqr(x) выполняется значительно дольше, чем операция * (умножение), то при возведении в целую степень при небольших значениях показателя степени желательно использовать операцию умножения.

2) Если в выражении функции некоторая степень встречается несколько раз, ее желательно вычислить один раз и в дальнейшем использовать вычисленное значение. Например, функцию y = x ⁵ + sin(x ⁵ + x ⁴ – x ³) можно описать так:

 

function primer (x: real): real;

y: real;

Begin

y:= x*x*x*x*x;

primer:= y+sin(y+y/x–y/x/x)

end;

Пятый этап представляет собой защиту работы.

 

При этом необходимо:

1. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода,

методы аналитического и численного вычисления данных интегралов (в пределах данной методички).

2. Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на оценку интеграла число разбиений отрезка интегрирования.

3. Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.

4. Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.

5. При небольшом значении n вручную получить приближенное значение какого-нибудь простого криволинейного интеграла, предложенного преподавателем. Для этого может быть использован список таких заданий, предложенный в приложении 1. Желательно, чтобы интеграл в данном задании отличался по роду и виду интегральной функции от основного интеграла лабораторной работы. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором или Mathcad’ом.

Примеры выполнения таких заданий представлен ниже.

 

Примеры выполнения задания ручного счета.

 

1. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где АВ – отрезок прямой у = х от точки А (0, 0) до точки В (4, 3) при n = 4.

 

Так как, согласно определению, криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги кривой) есть предел интегральных сумм вида

 

S_n = Δ l_i,

 

не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на частичные дуги, ни от выбора точек R_i (ξ_i, η_i), то для приближенного вычисления заданного в условии задачи интеграла построим интегральную сумму следующим образом:

1) разобьем кривую АВ на четыре (n = 4) частичных дуги так, чтобы их проекции на ось Ох ([ х ₀; х ₁], [ х ₁; х ₂], [ х ₂; х ₃], [ х ₃; х ₄]) равнялись между собой. В нашем случае х ₀ = 0, х ₄ = 4;

2) абсциссы точек R_i (ξ_i, η_i) (i = 1, 2, 3, 4), а именно ξ_i будем выбирать (согласно выбранному алгоритму) в серединах отрезков [ х_{i –1}; х_i ], а их ординаты η_i – это ординаты точек кривой АВ, соответствующие абсциссам ξ_i;

3) длину частичной дуги Δ l_i заменим длиной хорды, соединяющей конечные точки данной дуги: Δ l_i ≈ Δ s_i = .

Разобьем отрезок [0; 4] (по х) на 4 равных частичных отрезка: [0; 1],

[1; 2], [2; 3], [3; 4]. При этом: х ₀ = 0, х ₁ = 1, х ₂ = 2, х ₃ = 3, х ₄ = 4. Длина каждого из этих отрезков Δ х = Δ х_i = х_i – х_{i –1} = 1 (i = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем значения у в граничных точках данных отрезков:

у_i = х_i (i = 0, 1, 2, 3, 4): у ₀ = 0, у ₁ = , у ₂ = , у ₃ = , у ₄ = .

Приращение у на каждом i –м частичном отрезке (i = 1, 2, 3, 4) Δ у_i = у_i – у_{i –1} :

 

Δ у ₁ = – 0 = ; Δ у ₂ = – = ; Δ у ₃ = – = ; Δ у ₄ = – = .

 

Срединные точки частичных интервалов ξ_i = x_i ^*= (i = 1, 2, 3, 4):

х ₁^* = = , х ₂^* = = , х ₃^* = = , х ₄^* = = .

Значения у в этих срединных точках η_i = у_i ^* = x_i ^* (i = 1, 2, 3, 4):

у ₁^* = ∙ = , у ₂^* = ∙ = , у ₃^* = ∙ = , у ₄^* = ∙ = .

 

Полученные результаты сведем в таблицу

 

i	xi	yi = xi	Δ хi = хi – хi –1	Δ yi = yi – yi –1	xi * =	уi * = xi *	Δ si =	f (xi *, уi *) = xi * – уi *	f (xi *, уi *)Δ si

 

Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно

 

I ≈ S ₄ = f (х ₁^*, y ₁^*) ∙Δ s ₁ + f (х ₂^*, y ₂^*) ∙Δ s ₂ + f (х ₃^*, y ₃^*) ∙Δ s ₃ + f (х ₄^*, y ₄^*) ∙Δ s ₄ =

= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = = .

 

Точное значение интеграла

 

= = = = .

 

2. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где L – дуга кривой x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2 π, при n = 4.

Разобьем кривую L на четыре (n = 4) частичных дуги Δ l_i (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы длины частичных интервалов [ t ₀; t ₁], [ t ₁; t ₂], [ t ₂; t ₃], [ t ₃; t ₄]) равнялись между собой.

Построим таблицу, содержащей следующие графы:

 

1. i – номер частичного интервала, на которые разбивается отрезок [0, 2 π ] (i = 1,

2, 3, 4);

2. t_i – граничные точки частичных интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4). При этом: t ₀ = 0,

t ₄ = 2 π (отрезок [0, 2 π ] разбивается на 4 отрезка одинаковой длины);

3. x_i = t_i cos t_i – значения функции x = t cos t в граничных точках частичных

интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);

4. у_i = t_i sin t_i – значения функции y = t sin t в граничных точках частичных

интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);

5. z_i = t_i – значения функции z = t в граничных точках частичных интервалов

(i = 0, 1, 2, 3, 4);

6. Δ t_i = t_i – t_{i – 1}– приращение параметра t на i – ом частичном интервале

(i = 1, 2, 3, 4). В соответствии с выбранным алгоритмом Δ t_i = = ;

7. Δ x_i = x_i – x_{i – 1}– приращение функции х на i – ом частичном интервале;

8. Δ у_i = у_i – у_{i – 1}– приращение функции у на i – ом частичном интервале;

9. Δ z_i = z_i – z_{i – 1}– приращение функции z на i – ом частичном интервале;

10. Δ s_i = – длина хорды, соединяющей конечные точки

частичной дуги Δ l_i;

11. t_i ^*= (i = 1, 2, 3, 4) – срединные точки частичных интервалов;

12. x_i ^*= t_i ^* cos t_i ^* – значения функции x = t cos t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

13. y_i ^*= t_i ^* sin t_i ^* – значения функции y = t sin t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

14. z_i ^*= t_i ^* – значения функции z = t в срединных точках частичных

интервалов (i = 1, 2, 3, 4);

15. f_i ^*= f (x_i ^*, y_i ^*, z_i ^*) = 2 z_i – – значения подынтегральной функции в точках

(x_i, у_i, z_i).

 

i

ti

xi

yi

zi

Δ ti

Δ xi

Δ yi

Δ zi

Δ si

ti *

xi *

yi *

zi *

fi *

π

π

– π

π

– π

–