История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-09-28 | 193 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
введите число разбиений n отрезка [t0, tn]
Р Е З У Л Ь Т А Т Ы
N числ.реш.
100 38.062661
аналитическое решение tr= 38.065081
Ошибка метода
Абсолютная 0.002420
Относительная 0.000064
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл от точки
А (0; 0) до точки В (1; 1) по кривым а) у = х, б) у = х 2, в) у = (см. рис.6).
program ivanov_kri2_1; {по трем кривым АВС (рис.6)}
Var
a,b,dx,dy1,dy2,dy3,xi,xc,yc1,yc2,yc3,s1,s2,s3,tr1,tr2,tr3: real;
n,i: integer;
function piv(x,y,dx,dy: real): real; {подынтегральное выражение}
Begin
piv:= y*dx+2*dy;
end;
function put1(x: real): real; {кривая интегрирования y=x }
Begin
put1:= x;
end;
function put2(x: real): real; {кривая интегрирования y=x2}
Begin
put2:= x*x;
end;
function put3(y: real): real; {кривая интегрирования y=x1/3}
Begin
put3:= exp(ln(x)/3);
end;
Begin
{аналитическое решение}
tr1:=5/2; { по кривой y=x}
tr2:=7/3; { по кривой y=x2}
tr3:=11/4; { по кривой y= x1/3}
writeln (‘введите число разбиений n отрезка [0,1]’);
read (n); {ввод n }
writeln (‘n=’, n:5);
writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 20 пробелов}
writeln;
writeln (“:13,‘кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3’);{5,10,6 пробелов}
writeln;
a:=0; {абсцисса точки А }
b:=1; {абсцисса точки B }
dx:=(b–a)/n;
s1:=0; {интегральная сумма для кривой y=x }
s2:=0; {интегральная сумма для кривой y=x*x }
s3:=0; {интегральная сумма для кривой y=e(ln(x)/3}
xi:=a; {начальная точка частичных отрезков}
xс:=xi–dx/2; {серединная точка частичных отрезков}
for i:=1 to n do
Begin
xс:=xc+dx;
yc1:=put1(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x }
yc2:=put2(xc); {знач. подынтегр. ф-ции в серединной точке для y=x*x }
yc3:=put3(xc); {зн. подынтегр. ф-ции в серединной точке для e(ln(x)/3 }
dy1:= put1(xi+dx) – put1(xi); {приращение пути для y=x}
dy2:= put2(xi+dx) – put2(xi); {приращение пути для y= x*x}
dy3:= put3(xi+dx) – put3(xi); {приращение пути для y= e(ln(x)/3}
s1:= s1+ piv(xc,yc1,dx,dy1);
s2:= s2+ piv(xc,yc2,dx,dy2);
s3:= s3+ piv(xc,yc3,dx,dy3);
xi:=xi+dx;
|
end;
writeln (‘численные’, s1:20:6, s2:14:6, s3:14:6);
writeln;
writeln (‘аналитические’, tr1:16:6, tr2:14:6, tr3:14:6);
readln;
readln;
end.
Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:
Введите число разбиений n
n= 100
Р Е З У Л Ь Т А Т Ы
кривая y=x y=x*x y=e(ln(x)/3)
Численные 2.500000 2.333325 2.750122
Аналитические 2.500000 2.333333 2.750000
Пример 5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом
x = a cos t, y = b sin t.
Площадь S области D, ограниченной кривой L, находят по формуле
S = .
program petrov_kri2_2; {площадь эллипса}
Var
t0,tn,dt,dx,dy,ti,tc,xi,yi,xi1,yi1,xc,yc,s,tr: real;
n,i: integer;
const a=2;
const b=3;
function piv(x,y,dx,dy: real): real; {подынтегральное выражение}
Begin
piv:= x*dy–y*dx;
end;
procedure put (t: real; var x,y: real); {кривая интегрирования }
Begin
x:=a*cos(t);
y:=b*sin(t);
end;
Begin
tr:=pi*a*b; {аналитическое решение}
{пределы интегрирования t0, tn}
t0:=0;
tn:=2*pi;
write (‘введите число разбиений n =’);
read (n); {ввод n }
writeln;
writeln (‘ Р Е З У Л Ь Т А Т Ы’);{впереди 12 пробелов}
writeln;
writeln (‘ числ.реш. аналит.реш.’);{6,7 пробелов}
dt:=(tn–t0)/n;
s:=0; {интегральная сумма}
ti:=t0; {начальная точка частичных угловых отрезков}
tс:=t0–dt/2; {серединная точка частичных угловых отрезков}
for i:=1 to n do
Begin
tс:=tc+dt;
put (tc,xc,yc); {знач. x и y в серед. точке част. угловых отрезков }
put (ti,xi,yi); { знач. x и y в начальной точке част. угловых отрезков }
put (ti+dt,xi1,yi1); { знач. x и y в конечной точке част. угловых отрезков }
dx:= xi1–xi; {приращение x на част. угловом отрезке}
dy:= yi1–yi; {приращение y на част. угловом отрезке}
s:= s+ piv(xc,yc,dx,dy); {интегральная сумма}
ti:=ti+dt;
end;
s:=s/2;
writeln (s:15:6, tr:16:6);
writeln;
writeln (‘ошибка метода’);
writeln (‘абсолютная’, abs(s–tr):18:6);
writeln (‘относительная’, abs((s–tr)/tr):15:6);
readln;
readln;
end.
Окно вывода отлаженной программы должно иметь вид:
введите число разбиений n=100
Р Е З У Л Ь Т А Т Ы
Числ.реш. аналит.реш.
18.846455 18.849556
Ошибка метода
Абсолютная 0.003100
Относительная 0.000164
Четвертый этап работы заключается в записи в отлаженную
программу (в раздел описания функций) описания «своего» подынтегрального выражения (в предложенных выше программах это piv), «своей» кривой интегрирования (put) и «своего» аналитического решения (tr). После отладки программы ее необходимо «пропустить» со значениями n, равными 5, 10, 25, 100,1000.
|
При записи «своих» выражений следует обратить внимание на операцию деления. Например, правильная запись дроби может иметь вид sqr(a)*a*b*c/(r*t*sqr(s)), или sqr(a)*a*b*c/ r / t / sqr(s), или a*a*a*b*c/(r*t*s*s), или какой-либо другой, но обязательно знаменатель должен быть в скобках или его множители должны быть отделены друг от друга операцией / (деление). Числитель брать в скобки нужно в случае, если это многочлен.
Другая особенность данного этапа состоит в ограниченности библиотеки встроенных функций PASCALя. Для записи встречающихся в заданиях функций используются функции
sin(x), cos(x), sqr t(x) (), sqr(x) (x 2), atan(x) (arctg x), ln(x), abs(x) (| x|),
а также постоянная pi (π).
Для записи других функций следует пользоваться тождественными формулами:
tg x = , arcsin x = arctg , xa = ea ln x ,
arcctg x = – arctg x, arccos x = arcctg .
Еще два замечания:
1) Так как встроенная функция sqr(x) выполняется значительно дольше, чем операция * (умножение), то при возведении в целую степень при небольших значениях показателя степени желательно использовать операцию умножения.
2) Если в выражении функции некоторая степень встречается несколько раз, ее желательно вычислить один раз и в дальнейшем использовать вычисленное значение. Например, функцию y = x 5 + sin(x 5 + x 4 – x 3) можно описать так:
function primer (x: real): real;
y: real;
Begin
y:= x*x*x*x*x;
primer:= y+sin(y+y/x–y/x/x)
end;
Пятый этап представляет собой защиту работы.
При этом необходимо:
1. Знать определения криволинейных интегралов первого и второго рода,
методы аналитического и численного вычисления данных интегралов (в пределах данной методички).
2. Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на оценку интеграла число разбиений отрезка интегрирования.
3. Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.
4. Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.
5. При небольшом значении n вручную получить приближенное значение какого-нибудь простого криволинейного интеграла, предложенного преподавателем. Для этого может быть использован список таких заданий, предложенный в приложении 1. Желательно, чтобы интеграл в данном задании отличался по роду и виду интегральной функции от основного интеграла лабораторной работы. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором или Mathcad’ом.
|
Примеры выполнения таких заданий представлен ниже.
Примеры выполнения задания ручного счета.
1. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где АВ – отрезок прямой у = х от точки А (0, 0) до точки В (4, 3) при n = 4.
Так как, согласно определению, криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги кривой) есть предел интегральных сумм вида
Sn = Δ li,
не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ на частичные дуги, ни от выбора точек Ri (ξi, ηi), то для приближенного вычисления заданного в условии задачи интеграла построим интегральную сумму следующим образом:
1) разобьем кривую АВ на четыре (n = 4) частичных дуги так, чтобы их проекции на ось Ох ([ х 0; х 1], [ х 1; х 2], [ х 2; х 3], [ х 3; х 4]) равнялись между собой. В нашем случае х 0 = 0, х 4 = 4;
2) абсциссы точек Ri (ξi, ηi) (i = 1, 2, 3, 4), а именно ξi будем выбирать (согласно выбранному алгоритму) в серединах отрезков [ хi –1; хi ], а их ординаты ηi – это ординаты точек кривой АВ, соответствующие абсциссам ξi;
3) длину частичной дуги Δ li заменим длиной хорды, соединяющей конечные точки данной дуги: Δ li ≈ Δ si = .
Разобьем отрезок [0; 4] (по х) на 4 равных частичных отрезка: [0; 1],
[1; 2], [2; 3], [3; 4]. При этом: х 0 = 0, х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3, х 4 = 4. Длина каждого из этих отрезков Δ х = Δ хi = хi – хi –1 = 1 (i = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем значения у в граничных точках данных отрезков:
уi = хi (i = 0, 1, 2, 3, 4): у 0 = 0, у 1 = , у 2 = , у 3 = , у 4 = .
Приращение у на каждом i –м частичном отрезке (i = 1, 2, 3, 4) Δ уi = уi – уi –1 :
Δ у 1 = – 0 = ; Δ у 2 = – = ; Δ у 3 = – = ; Δ у 4 = – = .
Срединные точки частичных интервалов ξi = xi *= (i = 1, 2, 3, 4):
х 1* = = , х 2* = = , х 3* = = , х 4* = = .
Значения у в этих срединных точках ηi = уi * = xi * (i = 1, 2, 3, 4):
у 1* = ∙ = , у 2* = ∙ = , у 3* = ∙ = , у 4* = ∙ = .
Полученные результаты сведем в таблицу
i | xi | yi = xi | Δ хi = хi – хi –1 | Δ yi = yi – yi –1 | xi * = | уi * = xi * | Δ si = | f (xi *, уi *) = xi * – уi * | f (xi *, уi *)Δ si |
|
Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно
I ≈ S 4 = f (х 1*, y 1*) ∙Δ s 1 + f (х 2*, y 2*) ∙Δ s 2 + f (х 3*, y 3*) ∙Δ s 3 + f (х 4*, y 4*) ∙Δ s 4 =
= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = = .
Точное значение интеграла
= = = = .
2. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где L – дуга кривой x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2 π, при n = 4.
Разобьем кривую L на четыре (n = 4) частичных дуги Δ li (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы длины частичных интервалов [ t 0; t 1], [ t 1; t 2], [ t 2; t 3], [ t 3; t 4]) равнялись между собой.
Построим таблицу, содержащей следующие графы:
1. i – номер частичного интервала, на которые разбивается отрезок [0, 2 π ] (i = 1,
2, 3, 4);
2. ti – граничные точки частичных интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4). При этом: t 0 = 0,
t 4 = 2 π (отрезок [0, 2 π ] разбивается на 4 отрезка одинаковой длины);
3. xi = ti cos ti – значения функции x = t cos t в граничных точках частичных
интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);
4. уi = ti sin ti – значения функции y = t sin t в граничных точках частичных
интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);
5. zi = ti – значения функции z = t в граничных точках частичных интервалов
(i = 0, 1, 2, 3, 4);
6. Δ ti = ti – ti – 1– приращение параметра t на i – ом частичном интервале
(i = 1, 2, 3, 4). В соответствии с выбранным алгоритмом Δ ti = = ;
7. Δ xi = xi – xi – 1– приращение функции х на i – ом частичном интервале;
8. Δ уi = уi – уi – 1– приращение функции у на i – ом частичном интервале;
9. Δ zi = zi – zi – 1– приращение функции z на i – ом частичном интервале;
10. Δ si = – длина хорды, соединяющей конечные точки
частичной дуги Δ li;
11. ti *= (i = 1, 2, 3, 4) – срединные точки частичных интервалов;
12. xi *= ti * cos ti * – значения функции x = t cos t в срединных точках частичных
интервалов (i = 1, 2, 3, 4);
13. yi *= ti * sin ti * – значения функции y = t sin t в срединных точках частичных
интервалов (i = 1, 2, 3, 4);
14. zi *= ti * – значения функции z = t в срединных точках частичных
интервалов (i = 1, 2, 3, 4);
15. fi *= f (xi *, yi *, zi *) = 2 zi – – значения подынтегральной функции в точках
(xi, уi, zi).
i | ti | xi | yi | zi | Δ ti | Δ xi | Δ yi | Δ zi | Δ si | ti * | xi * | yi * | zi * | fi * |
π | ||||||||||||||
π | – π | π | – π | – | π | – | ||||||||
– | π | – | π | – | – | |||||||||
2 π | 2 π | 2 π | 2 π | π | – |
Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла
I ≈ S 4 = f (x 1*, y 1*, z 1*) ∙Δ s 1 + f (x 2*, y 2*, z 2*) ∙Δ s 2 + f (x 3*, y 3*, z 3*) ∙Δ s 3 + f (x 4*, y 4*, z 4*) ∙Δ s 4 =
= ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ( + 3 + 5 + 7 ) ≈ 77,926.
|
Точное значение интеграла || dl = dt = dt = dt || =
= = = =
= = ( – 1) ≈ 88,103.
3. Вычислить вручную приближенное значение
криволинейного интеграла , где
L – лепесток лемнискаты ρ = 3 , расположенный
в первом координатном углу, при n = 4.
Кривая задана уравнением в полярных координатах, причем угол φ изменяется от 0 до . При переходе к полярным координатам x = ρ cos φ, y = ρ sin φ. Следовательно, подынтегральная функция будет иметь вид f (ρ, φ) = ρ cos φ + ρ sin φ
Разобьем кривую L на четыре (n = 4) частичных дуги Δ li (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы длины частичных угловых интервалов [ φ 0; φ 1], [ φ 1; φ 2], [ φ 2; φ 3], [ φ 3; φ 4]) равнялись между собой.
Построим таблицу, содержащей следующие графы:
1. i – номер частичного углового интервала, на которые разбивается отрезок
[0, ] (i = 1, 2, 3, 4);
2. φi – граничные точки частичных угловых интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4). При этом:
φ 0 = 0, φ 4 = (отрезок [0, ] разбивается на 4 отрезка одинаковой
угловой длины);
3. ρi = 3 – значения функции ρ = 3 в граничных точках частичных
интервалов (i = 0, 1, 2, 3, 4);
4. Δ φi = φi – φi – 1– приращение угла φ на i – ом частичном угловом интервале
(i = 1, 2, 3, 4). В соответствии с выбранным алгоритмом Δ φi = = ;
5. Δ ρi = ρi – ρi – 1= 3( – )– приращение функции ρ на i – ом частичном интервале (i = 1, 2, 3, 4);
6. φi *= (i = 1, 2, 3, 4) – срединные точки частичных угловых интервалов;
7. ρi *= 3 – значения функции ρ = 3 в срединных точках
частичных угловых интервалов (i = 1, 2, 3, 4);
8. Δ si = ~ длина хорды, соединяющей конечные точки
частичной дуги Δ li (i = 1, 2, 3, 4);
9. fi *= f (ρi *, φi *) = ρi *cos φi * + ρi *sin φi *– значения подынтегральной функции в точках
(ρi *, φi *);
10. fi *∙ Δ si
i | φi | ρi | Δ φi | Δ ρi | φi * | ρi * | Δ si | fi * | fi *∙ Δ si |
2,523 | 2,523 | 1,856 | 2,626 | 2,182 | 5,73 | ||||
0,477 | 2,884 | 1,229 | 4,916 | ||||||
2,523 | –0,477 | 2,884 | 1,229 | 4.916 | |||||
–2,523 | 1,856 | 2,626 | 2,182 | 5,73 |
Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно
I ≈ S 4 = f (ρ 1*, φ 1*) ∙Δ s 1 + f (ρ 2*, φ 2*) ∙Δ s 2 + f (ρ 3*, φ 3*) ∙Δ s 3 + f (ρ 4*, φ 4*) ∙Δ s 4 =
= 5,73 + 4,916 + 4,916 + 5,73 = 21,292.
Точное значение интеграла: = = = || ρ ¢ = , = = = || =
= = 9 = 9(sin φ – cos φ) = 18.
4. Вычислить вручную приближенное значение криволинейного интеграла , где L – отрезок параболы у = х 2 от точки А (0, 0) до точки В (1, 1) при n = 4.
Замечание. При вычислении криволинейного интеграла второго рода составляются таблицы, аналогичные таблицам, составляемым при вычислении криволинейного интеграла первого рода, за исключением того, что не вычисляются значения Δ si,а вместо значений f (xi *, уi *) вычисляются значения P (xi *, уi *) и Q (xi *, уi *). После составления таблицы приближенное вычисление интеграла производится по формуле
S 4 = Δ xi + Q (хi *, yi *)).
i | xi | yi =(xi)2 | Δ хi = хi – хi –1 | Δ yi = yi – yi –1 | xi * = | уi * =(xi *)2 | P (xi *, уi *) = xi * ∙ уi * | Q (xi *, уi *) = 1 | P (xi *, уi *)Δ xi + Q (xi *, уi *)Δ yi |
+ | |||||||||
+ | |||||||||
+ | |||||||||
+ |
Таким образом, искомое приближенное значение криволинейного интеграла равно
I ≈ S 4 = P (х 1*, y 1*) ∙Δ x 1 + Q (х 1*, y 1*) ∙Δ y 1 + P (х 2*, y 2*) ∙Δ x 2 + Q (х 2*, y 2*) ∙Δ y 2 +
+ P (х 3*, y 3*) ∙Δ x 3 + Q (х 3*, y 3*) ∙Δ y 3 + P (х 4*, y 4*) ∙Δ x 4 + Q (х 4*, y 4*) ∙Δ y 4 =
= + + + + + + + = + = 1,242.
Точное значение интеграла
= = = + 1 = = 1,25.
5. Вычислить вручную приближенное значение работы силы = yx + (y + x) при перемещении материальной точки по прямой у = х из точки А (0, 0) в точку В (1, 1), при n = 4.
С точки зрения физики криволинейный интеграл второго рода вдоль некоторой кривой равняется работе переменной силы при перемещении материальной точки вдоль этой кривой. Т.о., в нашем случае для вычисления искомого значения работы необходимо вычислить
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!