Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-09-28 | 1189 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задание:
1) Вычислить интеграл по формуле трапеций.
2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n =8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.
Теоретическая часть
Метод трапеций
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :
Погрешность формулы трапеций:
Метод парабол (метод Симпсона)
Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
,
где
Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Варианты заданий
|
№1. 1) ; 2)
№2. 1) ; 2)
№3. 1) ; 2)
№4. 1) ; 2)
№5. 1) ; 2)
№6. 1) ; 2)
№7. 1) ; 2)
№8. 1) ; 2)
№9. 1) ; 2)
№10. 1) ; 2)
№11. 1) ; 2)
№12. 1) ; 2)
№13. 1) 2)
№14. 1) 2)
№15. 1) 2)
№16. 1) 2)
№17. 1) 2)
№18. 1) 2)
№19. 1) 2)
№20. 1) 2)
№21. 1) 2)
№22. 1) 2)
№23. 1) 2)
№24. 1) 2)
№25. 1) 2)
№26. 1) 2)
№27. 1) 2)
№28. 1) 2)
№29. 1) 2)
№30. 1) 2)
Образец выполнения задания
1) 2)
Задание №1. Решение методом трапеций
Для решения интегралов по методу трапеций необходимо определить значение nтак, чтобы
(*) |
Здесь где
Находим
Положим тогда неравенство (*) примет вид откуда т.е. возьмем .
Вычисление интеграла производим по формуле
Где
Все расчеты приведены в табл. 7.
Таблица 7
0,7 0,73 0,76 0,79 0,82 0,85 0,88 0,91 0,94 0,97 1,00 1,03 1,06 1,09 1,12 1,15 1,18 1,21 1,24 1,27 1,30 | 0,49 0,5329 0,5776 0,6241 0,6724 0,7225 0,7744 0,8281 0,8836 0,9409 1,0000 1,0609 1,1236 1,1881 1,2544 1,3225 1,3924 1,4641 1,5376 1,6129 1,6900 | 1,28 1,3658 1,4552 1,5482 1,6448 1,7450 1,8488 1,9562 2,0672 2,1818 2,3000 2,4218 2,5472 2,6762 2,8088 2,9450 3,0848 3,2282 3,3752 3,5258 3,6800 | 1,1314 1,1686 1,2063 1,2443 1,2825 1,3210 1,3597 1,3986 1,4378 1,4771 1,5166 1,5562 1,5960 1,6356 1,6759 1,7161 1,7564 1,7967 1,8372 1,8777 1,9187 | 0,88386 0,52129 | 0,85572 0,82898 0,80366 0,77973 0,75700 0,73546 0,71501 0,69551 0,67700 0,65937 0,64259 0,62657 0,61140 0,59669 0,58272 0,56935 0,55658 0,54431 0,53253 | |
1,40515 | 12,77022 |
Таким образом,
Задание № 2.Решение методом Симпсона
Согласно условию поэтому
Вычислительная формула имеет вид
где
Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.8.
Таблица 8
i | xi | 2xi-2,1 | sin(2xi-2,1) | xi2+1 | y0,y8 | y1,y3,y5,y7 | y2,y4,y6 |
1,20 | 0,30 | 0,29552 | 2,44 | 0,1211 | |||
1,25 | 0,40 | 0,38942 | 2,5625 | 0,1520 | |||
1,30 | 0,50 | 0,4794 | 2,69 | 0,1782 | |||
1,35 | 0,60 | 0,5646 | 2,8225 | 0,2000 | |||
1,40 | 0,70 | 0,6442 | 2,96 | 0,2176 | |||
1,45 | 0,80 | 0,7174 | 3,1024 | 0,2312 | |||
1,50 | 0,90 | 0,7833 | 3,25 | 0,2410 | |||
1,55 | 1,00 | 0,8415 | 3,4025 | 0,2473 | |||
1,60 | 1,10 | 0,8912 | 3,56 | 0,2503 | |||
∑ | 0,8305 | 0,6368 |
Следовательно,
|
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 9).
Таблица 9
i | yi | ∆yi | ∆2yi | ∆3yi | ∆4yi |
0,1211 0,1520 0,1782 0,2000 0,2176 0,2312 0,2410 0,2473 0,2503 | 0,0309 0,0262 0,0218 0,0176 0,0136 0,0098 0,0063 0,0030 | -0,0047 -0,0044 -0,0042 -0,0040 -0,0038 -0,0035 -0,0033 | 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002 | -0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 -0,0001 |
Так как то остаточный член формулы
Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
Значит, полученные четыре десятичных знака верны.
Контрольные вопросы
1) Способ уменьшения погрешности нахождения интеграла в методе прямоугольников и трапеций.
2) Объяснить какой аппроксимирующей функцией в методе Симпсона заменяется подынтегральная функция.
3) Обязательно ли участок интегрирования разбивать при реализации метода на более мелкие участки.
4) Объяснить, какие изменения произойдут в алгоритме, если для построения аппроксимирующей функции средняя точка берется не в середине участка.
5) Назвать случаи использования автоматического подбора шага интегрирования.
6) Объяснить изменение погрешности нахождения интеграла при уменьшении числа разбиений n.
Лабораторная работа № 5.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!