Лабораторных работ при работе на персональном компьютере

1. Каждый приступающий к работе в лаборатории должен ознакомиться с инструкцией по охране труда, получить у руководителя инструктаж и расписаться в журнале по технике безопасности.

2. Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с оборудованием и инструментом.

3. Все работы в лаборатории могут производиться только с разрешения преподавателя, проводящего занятия, или лаборанта.

4. Если по ходу работы установку требуется неоднократно отключать или включать, то эта операция должна быть поручена одному лицу бригады.

5. Запрещается:

· включать силовые и осветительные рубильники без разрешения руководителя (преподавателя);

· касаться токоведущих частей, находящихся под напряжением переменного или постоянного тока;

· оставлять без надзора под напряжением приборы;

· работать с приборами в лаборатории одному;

· ходить по лаборатории без дела.

6. При несчастном случае немедленно оказать пострадавшему первую помощь и сообщить руководителю занятий.

7. По окончании работы приборы должны быть отключены. Рабочее место должно быть приведено в порядок. Лабораторию можно покинуть с разрешения преподавателя.

 

Лабораторная работа № 1

Методы решения систем линейных уравнений

 

Задание. 1) Решить систему по формулам Крамера.

2)Используя схему Гаусса, решить систему уравнений с точностью до 0,001.

 

Задание №1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Теоретическая часть.

Метод Крамера - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.

Описание метода

 

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

 

 

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов).

Обра́тная ма́трица - такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

 

Свойства обратной матрицы

, где обозначает определитель.

для любых двух обратимых матриц А и В

, где обозначает транспонированную матрицу

для любого коэффициента

 

Варианты заданий.

№1.

1)

2)

2(A+B)(2B-A),

 

где А= , В=

 

4) *X= .

 

№2.

1)

 

2)

 

3A-(A+2B)B,

 

где А= , В= .

 

4) X* = .

№3.

1)

 

2)

 

2(A-B)( +В),

 

где А= , В = .

 

4) * X = .

№4.

1)

 

2)

 

( - )(А+В),

 

где А = , В = .

 

4) X* = .

№5.

1)

 

2)

 

(A- )(2А+В),

 

где А = , В = .

 

4) = .

№6.

1)

 

2)

 

(A- )А+2В,

где А = , В = .

4) * = .

№7.

1)

 

2)

 

2(A-0,5 )АВ,

 

где А = , В = .

 

 

4) = .

 

№8.

1)

 

2)

 

(A- )А+3В,

где А = , В = .

 

 

4) * = .

 

№9.

1)

 

2)

 

2 A –( )В,

где А = , В = .

 

4) = .

№10.

1)

 

2)

 

3( )-2AВ,

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

 

№11.

1)

 

2)

 

(2 )(3A+B)-2AВ,

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№12.

1)

 

2)

 

A( )-2(B+A)В,

 

где А = , В = .

 

= .

№13.

1)

 

2)

 

A+B) (2A+3B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№14.

1)

 

2)

 

(2A+ )-B(A-В),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№15.

1)

 

2)

 

(A+ )(AB-2A),

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№16.

1)

 

2)

 

A -(A+B)(A-B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№17.

1)

 

2)

 

+3 (AB-2A),

 

где А = , В = .

 

4) X * = .

№18.

1)

 

2)

 

(A+B)-2AB,

где А = , В = .

 

4) = .

№19.

1)

 

2)

 

2A-AB(B-A)+B,

где А = , В = .

 

4) = .

№20.

 

2)

 

)(A-3B),

 

где А = , В = .

 

4) = .

 

№21.

1)

 

2)

 

B(A+2B)-3AB,

 

где А = , В = .

 

4) X * =

 

№22.

1)

 

 

2) 3(A+B)-(A-B)A,

 

где A = B = .

 

4) * X = .

№23.

1)

 

2)

 

3) A(A-B)+2B(A+B),

 

где A = B = .

 

4) X * =

 

№24.

1)

 

2)

 

3) (2A+B)B-0.5A,

 

где A = B = .

 

4) X * =

№25.

1)

 

2)

 

3) AB-2(A+B)A,

 

где A = B = .

 

4) * X =

№26.

1)

 

2)

 

3) (A+2B)(3A-B),

 

где A = B = .

 

4) X * =

№27.

1)

 

2)

 

3) 2AB+A(B-A),

 

где A = B = .

4) X * =

№28.

1)

 

2)

 

3) (3A+0.5B)(2B-A),

 

где A = B = .

 

4) * X =

№29.

1)

 

2)

 

3) 2A(A+B)-3AB,

 

где A = B = .

4) X * =

 

№30.

1)

 

2)

3) 3AB+(A-B)(A+2B),

где A= B= .

4) *X=

Образец выполнения задания №1

1)∆= = =

=-(105+16+56-98+10+96)=-185;

= = =

=-(-33+234-35+91-22+135)=-370;

= = =

=-(360-91-700+36-700+910)=185;

= = =

 

=-(75-44+728-70+130-264)=-555

 

= = =

 

=-(455-40+88-154+416-25)=-740;

 

= = =2; = = =-1;

 

= = =3; = = =4;

 

Ответ:

 

2) = ;

 

∆= =24-24-15-27+16+20=-6;

 

= ;

 

;

 

Ответ:

 

3 ) 3A+B= ;

2A-B= ;

(3A+B)*(2A-B)= .

 

1) Имеем AX=B, откуда X= B. Находим

 

∆=

 

 

 

 

= ;

 

=

= .

Задание №2.Используя метод Гаусса, решить систему уравнений с точностью до 0,001.

Теоретическая часть.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

 

Описание метода.

Пусть исходная система выглядит следующим образом

, (1)

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных x_j1, …, x_jr.

Тогда переменные x_j1, …, x_jr называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число β_i≠0, где i>r, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть β_i=0 для любых i>r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом где — номер строки):

,
где i=1, …, r, k=i+1, …, n.

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Варианты заданий

№1. .

 

№2.

 

№3.

 

№4.

 

№5.

 

№6.

 

№7.

 

№8.

 

№9.

 

№10.

№11.

 

№12.

 

№13.

 

№14.

 

№15.

 

№16.

 

№17.

 

№18.

 

№19.

 

№20.

 

№21.

 

№22.

 

№23.

 

№24.

 

№25.

 

№26.

 

№27.

 

 

№ 29.

 

№30.

 

Образец выполнения задания №2

 

 

Вычисления производим по схеме единственного деления представленного в таблице №1.

Таблица №1

Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены	Контрольные суммы ∑	Строчные Суммы ∑’
0,68	0,05	-0,11	0,08	2,15	2,85	2,85
0,21	-0,13	0,27	-0,8	0,44	-0,01	-0,01
-0,11	-0,84	0,28	0,06	-0,83	-1,44	-1,44
-0,08	0,15	-0,5	-0,12	1,16	0,61	0,61
	0,0735	-0,0618	0,1176	3,1618	4,1912	4,1912
	-0,1454	0,30398	-0,8242	-0,22398	-0,89015	-0,8901
	-0,8319	0,2622	0,0729	-0,4822	-0,97897	-0,97896
	0,1559	-0,5129	-0,1106	1,4129	0,9453	0,9453
		-2,0906	5,6719	1,5404	6,1221	6,1217
		-1,47697	4,79139	0,7992	4,1140	4,1136
		-0,18697	-0,9948	1,1723	-0,00913	-0,0095
			-3,2441	-0,5411	-2,7854	-2,7851
			-1,6013	1,0711	-0,5299	-0,5302
				-0,6689	0,3309	0,3311
2,8264	-0,3337	-2,7110	-0,6689
3,8263	0,6664	-1,7119	0,3309

 

Ответ:

Контрольные вопросы

 

1). Привести общий вид системы линейных алгебраических уравнений.

2). Дать определение обратной матрицей.

3).Перечислить свойства обратной матрицы.

4). Описать метод Крамера.

5). Дать определение ранга матрицы.

6). Объяснить соотношение между числом неизвестных решений и рангом системы.

 

Лабораторная работа № 2