Канонический анализ уравнения регрессии

Приведение уравнения к канонической форме и его анализ подробно излагается в курсе аналитической геометрии. Рассмотрим задачу с двумя независимыми переменными [2]:

². (6)

В канонической форме (6)имеет вид:

(7)

Эта запись соответствует переносу начало координат в точку S и замене старых координатных осей х ₁ и х ₂ новыми осями Х ₁ и Х ₂, повернутыми на некоторый угол относительно старых осей. Y_s – значение выхода в новом начале координат S. Придавая Y некоторые фиксированные значения получаем контурные кривые равного выхода.

Возможны четыре типа контурных кривых: эллипсы, гиперболы, параллельные прямые, параболы.

Эллипсы: B ₁₁ и B ₂₂ имеют одинаковые знаки. Центр фигуры максимум, если коэффициенты отрицательны и минимум, если они положительные. Если B ₂₂ по абсолютной величине меньше, чем B ₁₁, то эллипс вытянут по оси Х ₂. Поверхность отклика представляет собой эллиптический параболоид (рисунок 1).

Гиперболы: B ₁₁ и B ₂₂ имеют разные знаки. Если | B ₁₁| < | B ₂₂|, то контурные кривые вытянуты по оси X ₂. Выход увеличивается при движении от центра S по одной оси и падает при движении вдоль второй оси. Центр фигуры - седло. Поверхность отклика представляет гиперболический параболоид. Попав в седловину исследователь изучает поверхность отклика в направлении осей Х ₂ если его интересует максимум или оси Х ₁, если его интересует минимум. Здесь, как и в методе крутого восхождения, намечаются мысленные опыты, и часть из них реализуется.

Х1

Х2

60%

80%

Х1

Х1

Х2

80%

80%

60%

60%

 

 

Эллипсы Гиперболы

 

Рисунок 1 – Кривые равного выхода поверхности отклика

(типа эллипса и гиперболы)

 

Параллельные кривые. Один из коэффициентов равен нулю B ₂₂=0. Y_s – выход в любой точке на оси Х ₂. Под определение центра фигуры попадает любая точка на оси Х ₂. Поверхность отклика представляет стационарное возвышение (рис. 2).

X2

80%

80%

70%

70%

60%

60%

60%

Рисунок 2 – Стационарное возвышение В ₂₂=0, B ₁₁<0.

 

Параболы. Один из коэффициентов равен нулю В ₂₂=0, центр находится на бесконечности. Перенеся начало координат, в какую нибудь выбранную точку S^/ вблизи центра эксперимента, получаем уравнение параболы:

 

(8)

 

Центр находится в бесконечности, B ₂ - крутизна наклона возвышения (рис. 3).

Практически возможны случаи, когда центр фигуры удален за перделы области, в которой варьировались переменные и один из коэффициентов В ₁₁ или В ₂₂ мало отличается от нуля [2]. В этом случае поверхность отклика, в зависимости от наклона возвышения, будет аппроксимироваться стационарным или возрастающим возвышением.

Условный экстремум в части факторного пространства, где проводиться эксперимент, может отыскиваться при ограничениях, накладываемых:

- сферой с центром в особой точке S;

- сферой с центром эксперимента;

- радиусом который задается точками планирования.

 

Х1

Х2

80%

60%

40%

Рисунок 3 – Возрастающее возвышение, В ₁₁<0, B ₂₂=0, центр

в бесконечности.

 

Для отыскания условного экстремума в заданной области можно так же воспользоваться методом перебора всех комбинаций факторных переменных, квантуя переменные некоторым образом.

Пример 2.

Для описания поверхности отклика использовалось ротатабельное планирование второго порядка с величиной звездного плеча, равного α =2,0. Стационарная область описывалось уравнением регрессии:

 

 

Была найдена каноническая форма уравнения:

 

 

Центр фигуры S имеет координаты:

 

.

 

попадающие в область варьирования факторных переменных. Зависимая переменная в центре новых координат S имеет величину .

Переход от старых координат к новым задается соотношениями:

 

 

Исследуемая поверхность отклика относиться к типу «минимакса»: при движении в направлении новых осей Х ₁ и Х ₃ переменная У увеличивается, а в направлении Х ₂ и Х ₄ – уменьшается.

Для поиска максимума y =100% надо «выползать» из точки S, двигаясь вдоль Для нахождения координат: это четырех точек нужно решить системы уравнений:

 

 

Проводя восхождение, находим точки локального экстремума:

 

 

Подставляя координаты этих точек в исходное уравнение регрессии, находятся выходы 100.32%; 100,73%; 99,78%; 100,78%. Из четырех точек только одна оказалась далеко удаленной от области факторного пространства, в которой производились эксперименты.