Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-09-30 | 1057 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрический смысл производной. Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.
Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке , равен значению производной функции при , т.е. .
Уравнение этой касательной имеет вид
.
Пример 1. Составить уравнение касательной к параболе у= в точке, абсцисса которой равна 2.
Решение. Найдем ординату точки касания:
у(2)= .
Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:
Угловой коэффициент касательной
k=
Воспользовавшись уравнением, , получим:
у+3=2(х−2)
2х−у−7=0.
Если прямые параллельны, то угол между ними φ=0 => => . Таким образом, если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны между собой.
Если прямые перпендикулярны, то угол между ними φ=900 =>tgφ не существует => 1+ => . Таким образом, если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением .
Поскольку нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент k= .
Уравнение нормали имеет вид
.
Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции у= в точке с абсциссой .
Решение. Найдем значение функции при х=−3:
f(−3)= .
Найдем производную данной функции:
Уравнение касательной:
у−2=−2(х+3)
2х+у+4=0
Уравнение нормали:
у−2=−
у−2=
х−2у+7=0
Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону s=s(t), то за промежуток времени ∆t (от момента t до момента t+∆t) оно пройдет некоторый путь ∆s. Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени ∆t.
|
Скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути ∆s к приращению времени ∆t, когда приращение времени стремится к нулю:
v(t)= .
Следовательно, производная пути s по времени t равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:
.
Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функции y=f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:
v(t)= .
Пример 3. Закон движения точки по прямой задан формулой s= (s−в метрах, t−в секундах). Найти скорость движения точки в конце пятой секунды.
Решение.
v = ,
v =375−30=345 (м/с).
Пример 4. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где −начальная скорость, g−ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени t. Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если .
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени t равна производной пути s по времени t:
.
В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:
За 40/g секунд тело поднимется на высоту
s=40
Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:
а(t)= .
Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.
Пример 5. Точка движется прямолинейно по закону s=3 . Найти скорость и ускорение в момент времени t=3.
Решение.
v(t)=
v .
а . [2]
Упражнения для закрепления
1. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=2.
2. Составить уравнения касательной и нормали к линии у=4х− в точке с абсциссой х=1.
3. Составить уравнения касательной и нормали к линии у= в точке с абсциссой х=−1.
|
4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у= в точке
(0; −2).
5. Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x)= в точках х=0,5; х=1; х=1,5.
6. На графике функции f(x)= найдите точку, в которой касательная к нему образует с осью Ох угол π/4.
7. К графику функции f(x)= проведена касательная, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты точки касания.
8. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением s= , t=2.
9. Пуля вылетает из автомата вверх со скоростью 500м/с. Найдите скорость пути через 12с и определите, сколько времени поднимается вверх (сопротивление воздуха не учитывать).
10. Скорость прямолинейного движения тела выражается законом v=t2−4t+5 (v− в м/с, t− в секундах). В какой момент времени ускорение будет равно нулю?
11. Тело масса которого m=3кг, движется прямолинейно по закону s=t2+t+1 (s− в метрах, t−в секундах). Найдите кинетическую энергию тела (mv2/2) через 5с после начала движения.
12. Количество электричества, протекающее через проводник начиная с t=0, определяется по формуле Q=0,5t3+0,2t2+t+1 (Q− в кулонах, t− в секундах). Найдите силу тока при t=10с.
Контрольные вопросы
1. Какой механический смысл имеет производная?
2. Сформулировать геометрический смысл производной.
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!