Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-09-30 | 276 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задачи, рассмотренные в двух предыдущих параграфах, можно сформулировать так: задана система, требуется узнать, как проходят через нее случайные сигналы. Это задачи анализа готовой системы. На практике часто приходится решать другую задачу: заданы условия, которым должна удовлетворять система, требуется построить соответствующую систему. Такая задача называется задачей синтеза системы.
Наиболее простая задача синтеза системы может быть сформулирована так. Из каких-то конкретных соображений определена структурная схема системы, но один или несколько параметров в этой схеме неизвестны. Требуется так выбрать эти параметры, чтобы удовлетворить заданным требованиям. Эта задача носит название задачи ограниченного синтеза. В более общем случае необходимо выбрать структуру системы и ее параметры. При этом нужно выбрать систему, наилучшую в том или ином отношении, т. е оптимальную систему.
На вход реальной системы могут поступать различные сигналы и помехи. Как бы ни была спроектирована система, она в одних условиях ведет себя наилучшим образом, а в других случаях – не наилучшим. Это означает, что можно построить систему, которая в этих условиях имела бы лучшие показатели. Поэтому выбор оптимальной системы, работающей при случайных воздействиях, правильно осуществлять на основе статистическою критерия оптимальности. Например, можно назвать лучшей систему, которая в среднем работает наилучшим образом. Для такой системы критерием оптимальности будет среднее значение соответствующего показателя. Статистические критерии оптимальности могут быть различными для различных задач.
Пусть требуется на выходе системы иметь сигнал Y 0{t), который мы будем считать идеальным. Реальная система из-за искажений и помех обеспечивает выходной сигнал Y(t). т. е. существует погрешность (ошибка), значение которой
|
e(t)= Y 0{t) - Y(t)
Систему можно считать тем лучшей, чем меньше величина ошибки e(t).
О качестве системы целесообразно судить не непосредственно по величине ошибки, а по некоторой зависящей от ошибки функции I, определяемой конкретными требованиями к системе, Функцию ошибок, характеризующую качество системы, называют функцией потерь([функцией риска), а ее значение — потерями (риском).
Наиболее часто в качение такой функции используется среднеквадратическая ошибка, т. е. математическое ожидание квадрата ошибки
Y(t) —эргодический случайный процесс, то
Как правило, на входе управляющего устройства одновременно действуют управляющий сигнал u(t) и помеха (шум) fш(t) Так, например, на входе следящей системы радиолокатора, которая предназначена
для измерения координат летящих самолетов, помимо полезного управляюшего сигнала u(t), действуют помехи fш. Следящая система (рис. 7.5) должна с максимальной точностью воспроизвести на выходе входной сигнал. Ошибка системы в этом случае равна
z(t)=u(t)-y(t)
где y(t) – выходная координата объекта.
Результирующим внешним воздействием на входе управляющего устройства будем считать разность управляющего сигнала и помехи, т. е. помеха уменьшает входной сигнал и мешает управлению. Если Wоб(s) и Wуу(s) – соответственно, передаточные функции объекта и управляющего устройства, то изображение выходной величины объекта:
где W(s)=Wоб(s)Wш(s), Fш(s)– изображение функции fш(t).
Найдем изображение ошибки
или
Отсюда следует, что ошибка слежения является суммой двух ошибок – ошибки воcпроизведения управляющего сигнала EY(s) и ошибки, вызванной действием помехи. Здесь, несмотря на то, что управляющий сигнал и помеха приложены в одной и той же точке системы, влияние их на ошибку различно.
Если управляющий сигнал и помеха приложены в разных точках системы, то можно методами, рассмотренными в главе 2 перенести оба сигнала к одному входу.
|
Так как ошибка системы зависит от передаточной функции разомкнутой системы W(s), то, естественно, желательно выбрать W(s) так, чтобы свести к минимуму влияние помехи. Рассмотрим в общих чертах, как выбирают параметры схемы системы, которая при совместном действии на нее полезного сигнала и помехи обеспечивает минимальную величину средней квадратичной ошибки, т. е. как определить параметры W(s), при которых достигается минимум M[ε2(t)].
Пусть управляющий сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями, статистически независимыми друг от друга. Выразим дисперсию суммарной ошибки через передаточную функцию W(s)и спектральные плотности сигнала SY(ω) и помехи Sш(ω). Используя предыдущие формулы, можно написать
После интегрирования и подстановки пределов получим дисперсию как функцию параметров системы, т. е. как функцию от постоянных времени и коэффициентов усиления звеньев системы. Оптимальные параметры системы, соответствующие минимальному значению σ2, можно находить методами определения экстремума функции многих переменных.
Математическая модель взаимодействия элементов сложной системы
Определение агрегата.
Рассмотренные нами приемы и методы моделирования систем с управлением не всегда могут быть использованы для исследования процессов в сложных системах, поскольку приводят, по мере возрастания сложности задач, к значительному увеличению трудоемкости подготовки моделей.
В этих условиях зачастую одним из эффективных методов является метод имитационного моделирования.
При выборе той или иной схемы формализации процесса функционирования сложной системы основную роль играют два соображения: а) обеспечить требуемую точность решения задачи; б) получить как можно более простую модель.
Ни для одного из этих требований (точности и простоты) не могут быть предложены формальные критерии, позволяющие проверить, действительно ли полученная формализация обеспечивает заданную точность и является достаточно простой.
В то же время, желание дать единое математическое описание всем элементам сложной системы и тем самым добиться решения ряда важных теоретических и практических вопросов системного анализа приводит к возникновению все более общих абстрактных схем, предназначенных для формализации реальных объектов.
|
Одной из таких схем является схема функционирования сложной динамической системы, которая была названа агрегатом.
Под динамической системой, в широком смысле, понимается объект, находящийся в каждый момент времени t (t T) в одном из возможных состояний zt (zt Z) и способной переходить (во времени) из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин, совершая при этом движение z(t).
Динамическая система (в широком смысле) как математический объект содержит в своём описании следующие механизмы:
1) механизм изменения состояний под действием внутренних причин, без вмешательства внешней среды;
2) механизм приёма входного сигнала и изменение состояний под действием этого сигнала;
3) механизм формирования выходного сигнала, как реакция динамической системы на внутренние и внешние причины изменения состояния.
Обычно эти механизмы описываются операторами переходов и выходов, реализующих отображение:
H: T×Z×X → Z
G: T×Z×X → Y
где T – множество моментов времени, Z – множество состояний, X – множество входных сигналов, Y – множество выходов.
Для формального описания элементов сложной системы часто используют математическую схему динамической системы в широком смысле, дополняя её так называемым дискретным вмешательством случая. Чтоб задать конкретный пример общей динамической системы с дискретным вмешательством случая необходимо указать:
- уравнение границы области Z;
- уравнение движения точки z(t) внутри области Z;
- соотношение для расчёта распределения вероятностей скачка состояния при выходе на границу;
- соотношение для расчёта координат выходных сигналов;
- соотношения для расчёта распределения вероятности скачка состояний при поступлении входного сигнала.
Эти уравнения и соотношения называются характеристиками общей динамической системы с дискретным вмешательством случая.
Элементы такой сложной системы находятся в постоянном взаимодействии.
Под взаимодействием элементов сложной системы будем понимать режим совместного функционирования элементов, при котором поведение или свойство одного элемента в общем случае зависит от условий, определяемых поведением или свойством других элементов.
|
Пусть рассматривается система S, состоящая из элементов C1, C2, …, CN. Влияние элемента Cj на элемент Ck определяется сигналами, поступающими от элемента Cj к элементу Ck. Выходной сигнал элемента Cj сформированный с учётом условий функционирования этого элемента трансформируется при передаче его по реальному каналу связи и поступает к элементу Ck в качестве входного сигнала, вызывающего изменение в поведении этого элемента.
Для формального описания взаимодействия элементов Cj и Ck сложной системы достаточно иметь следующие 4 модели:
1. формирования выходного сигнала элемента Cj;
2. сопряжения элементов сетью каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между ними;
3. трансформации сигнала в процессе прохождения через реальный канал связи;
4. приёма входного сигнала и поведения элемента Ck под воздействием этого сигнала.
В этом контексте агрегат может быть определен следующим образом.
В каждый момент времени tÎ(0,T) агрегат находится в одном из возможных состояний. Состояние агрегата является элементом некоторого множества Z. Если состояния z=(z1, z2,…,zl*) оказываются действительными векторами, zl обычно называются фазовыми координатами. Когда аргумент пробегает значения в интервале (0,T), состояние z изменяется как функция времени z(t). В дальнейшем функции z(t) мы часто будем называть фазовыми траекториями.
В общем случае функции z(t) представляют собой реализации случайных функций Z(t), исчерпывающее вероятностное описание которых требует знания всей совокупности многомерных законов распределения L[Z(t)]. Кроме того, функции z(t) (или их вероятностные характеристики) могут зависеть от ряда параметров, которые будем обозначать bm, m=1, 2, …, m*. В начальный момент времени t0 состояния z имеют значения, равные z0, задаваемые законом распределения L0[Z(t0), который получается из совокупности L[Z(t)] (L0[Z(t0) одномерный закон распределения процесса z(t), соответствующий моменту времени t0.).
Состояние агрегата z(t) для произвольного момента времени t>t0 определяются по предыдущим состояниям случайным оператором H:
z(t)= H [z(t0), t] (1)
Это означает, что данному z(t0) ставится в соответствие в общем случае не одно определенное z(t), а множество значений z(t) с некоторым законом распределения, зависящим от вида оператора H. Конкретное значение состояния z(t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения. Наряду с z(t) будем рассматривать также z(t+0), считая, что для любого t1>t момент t+0 принадлежит полуинтервалу (t, t1].
|
Агрегат имеет входные контакты, способные воспринимать воздействия внешней среды, на которые в моменты времени tj, j=1, 2, …; tj+1³tj, поступают входные сигналы. Входной сигнал x является элементом некоторого множества X. Будем считать, что входной сигнал x является вектором, размерность которого равна числу входных контактов, и на каждый контакт поступает "своя" координата входного сигнала. При этом сами сигналы могут иметь произвольную природу. Аналогичное замечание верно и для управляющих, а также выходных сигналов.
В общем случае последовательности вида (tj, xj) оказываются реализациями случайных последовательностей (qj, Xj) с законом распределения L[q, X].
Агрегат имеет особые входные контакты, к которым в моменты времени t поступают управляющие сигналы. Управляющий сигнал g является элементом множества Г. В общем случае последовательности вида (ti, gi) оказываются реализациями случайных последовательностей (qj, gj) с законом распределения L[q, g].
На выходе агрегата образуются выходные сигналы. Выходной сигнал y является элементом некоторого множества Y и определяется по состояниям агрегата z(t) при помощи оператора G.
Состояния агрегата. Формы оператора переходов и оператора выходов.
Будем предполагать, что за конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов, а также выдается конечное число выходных сигналов.
Оператор H обычно называют оператором переходов, а оператор G – оператором выходов.
Вид оператора H зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты так называемых особых состояний агрегата. При этом под особым состоянием агрегата понимаются его состояния в моменты получения входного либо управляющего сигнала или выдачи выходного сигнала. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.
Пусть z(t*) – некоторое особое состояние агрегата, а gs – последний управляющий сигнал gs ÎГ. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператора Н и определяющих состояния агрегата в момент t*+0. Если t* - момент поступления в агрегат входного сигнала х, то
(2)
Аналогично, если t* - момент поступления в агрегат управляющего сигнала g, то
(3)
При одновременном поступлении входного х и управляющего g сигналов
(4)
Наконец, если t* – момент выдачи выходного сигнала y, то
(5)
В интервалах между особыми состояниями значение z(t) определяется при помощи операторов , вид которых в общем случае зависит от особого состояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:
(6)
Здесь t* - момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени.
Естественно, замечание о том, что Н является случайным оператором, без изменений переносится на его частные виды U, V', V'', V и W.
Перейдем к рассмотрению оператора G. Во множестве Z состояний z(t) агрегата выделяется система подмножеств {Zy}, обладающая следующими свойствами. Выходной сигнал y выдается в момент t' в тех случаях, когда: 1) состояние z(t') принадлежит подмножеству Zy, но при достаточно малых e>0 значение z(t'-e) не принадлежит подмножеству Zy, и 2) состояние z(t'+0) принадлежит подмножеству Zy, но z(t') не принадлежит подмножеству. Таким образом, оператор G можно себе представить в виде совокупности двух операторов – G', вырабатывающего выходной сигнал
(7)
и G'', проверяющего для каждого t принадлежность z(t) к одному из подмножеств Zy. В общем случае оператор G' является случайным оператором.
В некоторых случаях в качестве одной из составляющих z(t), например, z1(t), можно рассматривать время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда оператор G'' проверяет неравенство z1(t)>0.
Агрегат функционирует следующим образом. В начальный момент времени t0 заданы начальное состояние агрегата z0 и начальное значение управляющего сигнала g0.
Пусть t1 и t2 – моменты поступления первого x1 и второго x2 входных сигналов, t1 – момент поступления первого управляющего сигнала g1 и, для определенности, t1<t< t2. Рассмотрим полуинтервал (t0, t1]. Состояния агрегата изменяются с течением времени по закону
до тех пор (оператор G''), пока в момент t' (пусть t'<t1) состояние z(t') не окажется принадлежащим подмножеству Z'y, хотя состояние z(t'-e) не принадлежало Z'y при достаточно малых e>0. В этом случае в момент t' выдается выходной сигнал y', вырабатываемый оператором G'. Вместе с тем закон изменения состояний (6) агрегата нарушается и
.
Прежде чем рассматривать дальнейшие изменения состояний агрегата во времени, необходимо проверить (оператор G''), не удовлетворяет ли состояние z(t'+0) условиям выдачи выходного сигнала, или, другими словами, не принадлежит ли (в смысле условий 1) и 2), упомянутых выше) состояние z(t'+0) некоторому новому подмножеству Z''y. Если состояние z(t'+0) удовлетворяет условиям выдачи выходного сигнала (принадлежит подмножеству Z''y), то в момент t' выдается второй выходной сигнал y'' (оператор G'0), а состояние агрегата описывается соотношением
(8)
и т.д.
В силу принятого выше соглашения в момент t' (как и в любой момент времени) может быть выдано конечное число выходных сигналов. Это свойство агрегата является ограничением, накладываемым на структуру подмножеств Zy и оператор W. Предположим теперь, что z(t'+0) не принадлежит никакому из подмножеств Zy. Поэтому далее состояние агрегата изменяется в соответствии с законом
(9)
Аналогично решается вопрос о выдаче последующих выходных сигналов и изменении состояний с течением времени.
Пусть теперь в момент t1 поступает входной сигнал x1. Проследим поведение агрегата в момент t1 при различных вариантах возможных ситуаций.
Если при достаточно малых e>0 в момент t1-e состояние агрегата z(t1) не принадлежало подмножеству Z*y, а в момент t1 – принадлежит этому подмножеству, то условимся, что в момент t1 выдается выходной сигнал y*, а состояние агрегата есть
z(t1+0)=W[z(t1), g0] (10)
Вместе с тем действие входного сигнала x1 приводит к тому, что
z(t1+0+0)= V' [z(t1+0), x1, g0]= V' { W [z(t1),g0], x1, g0} (11)
Очевидно, что состояние z(t1+0+0) должно быть проверено (оператором G'') по отношению к условиям выдачи выходного сигнала. Предположим теперь, что в момент t1 не было оснований для выдачи выходного сигнала y*. Тогда вместо (10) и (11) в силу действия входного сигнала x1 состояние агрегата имеет вид
z(t1+0)= V' [z(t1), x1, g0] (12)
а в дальнейшем, если состояние (12) не соответствует выдаче выходного сигнала:
(13)
Пусть в момент t1 в агрегат поступает управляющий сигнал g1. Тогда состояние агрегата имеет вид
z(t1+0)= V'' [z(t1), g1] (14)
если в момент t1 не происходит выдача выходного сигнала, или
z(t1+0+0)= V'' { W [z(t1), g0], g1} (15)
если в момент t1 не выдается выходной сигнал.
Необходимо отметить, что управляющий сигнал g в общем случае является параметром, определяющим операторы H и G, или, что то же самое, операторы V', V'', W, U(ti), G', G''. Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего сигнала g0 в этих операторах должно использоваться значение g1 до тех пор, пока не поступит следующий управляющий сигнал g2. Например, в полуинтервале (t1, t2], если нет оснований для выдачи выходного сигнала,
(16)
В частном случае операторы H и G могут оставаться неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала. Аналогично оператор U может быть одним и тем же при любых выходных сигналах (при попадании z(t) в любые подмножества Zy).
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!