Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-09-30 | 302 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Требуется найти минимум функционала
(1)
среди кусочно-гладких линий, соединяющих точки y(x1) = y1 и y(x2) =y2, .
Считая, что функция y=y(x) доставляет локальный минимум функционалу, находят условия, которым y=y(x) должна удовлетворять.
Первая и вторая вариации функционала. Если произвольная кусочно-гладкая функция, удовлетворяющая условиям , то однопараметрическое семейство функций
при достаточно малых значениях параметра, принадлежит некоторой окрестности функции y=y(x). Функционал
на указанном однопараметрическом семействе функций является функцией параметра α
имеющей минимум при α=0.
В силу необходимых условий минимума функции имеем: , .
Дифференцирование по параметру дает:
(задание на дом: найти выражение для )
Проинтегрируем второй член по частям:
и т.к.
(2)
Производная функции в точке α= 0 называется первой вариацией функционала (3.1) и обозначается символом :
|
Вторая вариация функционала (1) определяется как вторая производная функции в точке α =0
|
Необходимые условия минимума (максимума) функционала (1):
Применяя к выражению (2) лемму Дюбуа-Реймона о том, что из соотношения ортогональности:
где M(x) кусочно-непрерывная, а η(x) – произвольная кусочно-гладкая функция, следует, что M(x)=0, получим уравнение Эйлера-Лагранжа в дифференциальной форме:
, (3)
которое является первым необходимым условием экстремума функционала .
Рассмотрим три частных случая для уравнения (3).
Из последнего уравнения можно определить как функцию x и затем – искомую функцию как интеграл от этого решения.
|
2. , т.е. F не зависит явно от x. Заметим, что выражение
в этом случае принимает вид
а уравнение Эйлера-Лагранжа
Умножив обе части уравнения на получим
откуда .
Это уравнение принято называть первым интегралом Эйлера.
3. Допустим, что F зависит только от . В этом случае уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид:
,
следовательно, =const = k, и уравнения экстремалей запишутся как
y = kx + b
т.е. экстремали будут прямыми линиями.
Общее решение уравнения Эйлера-Лагранжа содержит две неопределенные постоянные, для определения которых требуется удовлетворение двум условиям. Как правило, в качестве таких условий задаются значения функции y(x) в начале и конце интервала y(x1) и y(x2).
Таким образом, экстремальная задача сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка с переменными параметрами, т.к. в общем случае функция F нелинейна относительно y и y' и поэтому решить его не удается. Кроме того, для справедливости этого уравнения требуется непрерывность как первой, так и второй производных функции y(x), что не дает возможности рассматривать очень важные для приложений функции управления в виде ступенчатых кривых с насыщением (кусочно-постоянных). Такая возможность появляется с применением принципа максимума Понтрягина и метода динамического программирования Беллмана.
Рассмотрим теперь два классических примера на применение уравнения Эйлера-Лагранжа.
Пример 1. Задача о длине кривой.
и следовательно, уравнение Эйлера имеет вид: т.е. y” =0
и y = C1 x + C2 – это уравнение прямой, т.е. как и следовало ожидать, минимальное расстояние между двумя точками есть прямая линия.
Пример 2. Задача о брахистохроне (линии наискорейшего спуска). Задача поставлена Иоганном Бернулли в 1696 г. (1-е решение – Якоб Бернулли, 2-е – Лопиталь, 3-е – Ньютон).
Длина ; скорость
Найти экстремали функционала
Подинтегральная функция явно от x не зависит, поэтому воспользуемся первым интегралом Эйлера .
|
; ;
Подстановка дает
Таким образом в параметрическом виде экстремаль задается уравнениями . Это циклоиды.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!