Секундный расход идеального газа через сопло

Массовый расход газа через сопло определяется по уравнению неразрывности

,

где F ₂ – площадь выходного сечения; v ₂ – удельный объем. v ₂ можно определить из соотношения параметров в адиабатном процессе:

.

Подставляя значения удельного объема v ₂ и скорость истечения w в уравнение неразрывности, получаем:

,

 

 

или .

Истечение газа из сосуда неограниченной емкости

Рассмотрим истечение газа из бесконечно большого резервуара (рис. 6.4), в котором параметры газа ; параметры на срезе сопла ; параметры окружающей среды . Начальную скорость в резервуаре принимаем равной нулю ( = 0).

Рисунок 6.4 - Истечение газа из резервуара через суживающееся сопло

 

Если истечение является обратимым адиабатным, то

Таким образом, для данного газа и заданных параметров газа и скорость w и расход газа m зависят только от отношения давления , т.е. от давления во внешнем пространстве, куда истекает газ. Анализ показывает, что при , когда b = 1, скорость истечения газа равна нулю, с уменьшением b скорость все время возрастает и при 0, когда b = 0 оно достигает максимального значения. Расход газа m становится равным нулю при , когда b = 1, и при 0, когда b = 0.

Между этими граничными значениями b расход m больше нуля, а при некотором определенном отношении давлений расход газа m и скорость истечения w становятся максимальными. В точке максимума производная расхода m по b превращается в ноль. Давление , при котором m = m _max и w = w _max, называется критическим . Для определения критического отношения давлений возьмем первую производную от последней зависимости, которая стоит в квадратных скобках под корнем и приравняем ее к нулю.

,

отсюда

(6.20)

Критическое отношение давлений зависит только от показателя адиабаты k, т.е. от физических свойств газа. Для одноатомного газа k = 1,66, b _кр= 0,49; для двухатомного: k = 1,41, b _кр= 0,528; для трехатомного: k = 1,33, b _кр= 0,546.

С учетом изложенного можно записать:

 

. (6.21)

 

Основные условия течения идеального газа по каналам переменного сечения

 

Ранее мы записали уравнение профиля канала:

При дозвуковых скоростях обратимого течения (М < 1) следует, что < 0. Это условие выполняется, если дифференциалы имеют разные знаки:

dF > 0; d w < 0

dF < 0; d w > 0

При скоростях течения больше критических (М > 1) из последнего уравнения следует: > 0. В этом случае дифференциалы dF и d w имеют одинаковые знаки: dF > 0; d w > 0, или dF < 0; d w < 0, т.е. в сверхзвуковом потоке газа при увеличении поперечного сечения трубы скорость газа увеличивается, а при уменьшении поперечного сечения – уменьшается. В том месте канала, где достигается критическая скорость (М = 1): = 0. Следовательно, критическая скорость w _кр = а (М = 1) достигается только для поперечного сечения трубы, где dF = 0.

Для сопла или трубы переменного сечения значение dF = 0 соответствует максимальному поперечному сечению, которое называют критическим сечением трубы или сопла.

Сопло Лаваля

Непрерывное увеличение скорости потока от дозвуковой до сверхзвуковой при непрерывном снижении давления может происходить только в комбинированном канале. В таком канале его сечение по длине изменяется: сначала уменьшается от F ₁ до F _min, а затем расширяется до выходного сечения F ₂.

На рис. 6.5 показаны изменения скорости w и местной скорости звука а по длине канала, а также формы канала. Такой канал называется соплом Лаваля (рис. 6.5). Если в самом узком сечении, где dF = 0 достигается равенство действительной скорости истечения w и местной скорости звука а, т.е. , то в расширяющейся части сопла развивается сверхзвуковая скорость

Рисунок 6.5 - Изменение скорости w и местной скорости звука а по длине канала

 

При известном расходе газа минимальная площадь поперечного сечения сопла Лаваля определяется по формуле:

,

а площадь выходного сечения – по формуле:

.