Определяемому по средней скорости

Основное различие уравнений Бернулли для потока и элемен­тарной струйки заключается в определении скоростного напора в живом сечении. В отличие от элементарной струйки скорости частиц жидкости в различных точках живого сечения неодинаковы, поэтому при определении кинетической энергии через среднюю скорость допускается неточность, которую необходимо учесть.

Кинетическая энергия жидкости в сечении элементарной струйки

dE_к = pgdV, (3.51)

где dV — элементарный объем жидкости, проходящий через жи­вое сечение струйки за время t; dV = tdQ = tu dw. Тогда

dE_к = u³ dw,

Для потока запас кинетической энергии будет Е_к= и скоростной напор Н_ск = (3.52)

Скоростной напор, выраженный через среднюю скорость u (3.11), не равен действительному значению, найденному по урав­нению (3.52). Отношение действительного скоростного напора к подсчитанному по средней скорости называется коэффициентом Кориолиса:

a = (3.53)

Для равномерного турбулентного потока a= 1¸1,13, для равномерного ламинарного потока a = 2. На участках неравномерного движения вследствие искажения поля скоростей коэф­фициент а может иметь различные значения, достигающие 5 и более единиц.

Если в уравнениях (3.47) и (3.48) вместо местной скорости и подставить среднюю скорость u, введя поправку к скоростному напору H_ск= , получим уравнение Бернулли для потока

(3.54) (3.55)

Такие же коррективы нужно внести и для газового потока при r = f (р,Т) в уравнения (3.49) и (3.50). Тогда

 

(4.33)

(4.34)

 

Расход жидкости через поперечное сечение зазора шириной:

(4.4)

Очевидно, что средняя скорость такого фрикционного течения равна половине скорости движения пластинки, т. е. .

При выводе предполагалось, что температура в слое неизменна и, следовательно, вязкость жидкости по­стоянна.

Приведенные рассуждения позволяют вычислить мо­мент трения на вращающемся с постоянной угловой скоростью валу (рис. VIII—4), концентрически располо­женном в подшипнике с малым относительным зазором ,где b — радиальный зазор; В —диаметр вала.

При малом относительном зазоре кривизной слоя жид­кости можно пренебречь, рассматривая движение жид­кости в зазоре как плоскопараллельное. Эпюры скоростей и касательных напряжений будут тогда такими, как по­казано на рис. VIII—5, и момент трения (формула И. П. Петрова)

(4.5)

где и₀ — окружная скорость вала;

b —длина подшипника. Заметим, что фрикционное движение жидкости в за­зоре между валом и подшипником имеет ламинарный характер для чисел Рейнольдса, определяемых неравен­ством , если вращается вал, а подшипник неподвижен. В случае же вращения наружного цилиндра

при неподвижном внутреннем ламинарное движение со­храняется в области чисел Рейнольдса , причем число Рейнольдса определяется как

 

3. Если зазор между соосными цилиндрами одного порядка с диаметром одного из них, то предыдущее реше­ние неприменимо. Рассмотрим общее решение такой за­дачи, определив закон распределения скоростей в зазоре и момент трения на внутреннем цилиндре, если последний расположен соосно с наружным и вращается с постоянной угловой скоростью.

Выделим кольцевой бесконечно малый элемент жид­кости, размер которого в радиальном направлении равен dr, а по образующей l (рис. VIII—6).

Поскольку движение жидкости в зазоре является фрикционным, внешними силами, приложенными к вы­деленному кольцу, являются только касательные силы трения: на его внутренней поверхности и — на наружной.

Составляя уравнение моментов сил трения относительно оси вращения, получаем:

После несложных преобразований и исключения чле­нов более высокого порядка малости последнее уравнение приводится к виду:

или (4.6)

где А — постоянная.

Рассматриваемое плоское дви­жение является криволинейным, поэтому выражение закона Нью­тона (VIII—1) для жидкостного трения здесь неприменимо.

 

 

Получим выражение закона Ньютона для этого случая дви­жения. Выделим во вращающейся жидкости два слоя на радиусах r и r+dr (рис.VIII—7) и определим скорость сдвига одного слоя относительно другого. За некоторый промежуток времени t точка А внутреннего слоя переме­стится в А₁, а точка В, которую примем для простоты рассуждений лежащей на продолжении радиуса точки А, переместится в В₂.

Если скорость внутреннего слоя жидкости принять равной и, и скорость наружного слоя u+du, то очевидно дуга АА₁ = ut, а дуга ВВ₁ =(u+du)t. Следовательно, сдвиг наружного слоя относительно внутреннего

,

а скорость сдвига .

Поэтому касательное напряжение, пропорциональное угловой скорости деформации сдвига

(4.7)

Полученное выражение представляет собой обобщен­ный закон Ньютона в

полярных координатах.

Подставляя в уравнение (6) выражение , полу­чим линейное дифференциальное уравнение , интеграл которого .

Граничные условия задачи: при и при (см. рис. VIII—6), поэтому распределение скоростей

(4.8)

Касательное напряжение на внутреннем цилиндре

(4.9)

и момент трения (4.10)

Если бы мы предположили распределение скоростей
в зазоре линейным: , то имели бы по формуле Петрова следующий момент трения: .

Отношение приближенного и точного выражений моментов:

4. Рассмотрим напорное ламинарное движение жид­кости в трубе круглого поперечного сечения, вызываемое перепадом давлений по длине трубы.

Выделив объем жидкости в виде горизонтального цилиндра, соосного с трубой (рис. VIII—8), и составив уравнение равновесия приложенных к нему сил, при­ходим к следующему дифференциальному уравнению: , где и — скорость жидкости на этом радиусе; р — перепад давлений на длине трубы l; ; r — радиус вы­деленного цилиндра.

Интегрируя дифференциальное уравнение, получаем закон распределения скоростей по сечению трубы:

Определяя постоянную С из граничного условия, что скорость частиц жидкости на стенке равна нулю находим

(4.11)

где R — радиус трубы.

Скорости распределяются в поперечном сечении трубы по параболическому закону, максимум скорости имеет место на оси трубы:

Средняя скорость v равна половине максимальной скорости:

Заменяя в этом выражении R через D/2 и р через , где — потеря напора и — плотность жидкости получаем:

Решая это уравнение относительно ,находим выра­жение потерь напора при ламинарном течении в трубе:

.

Так как , получаем

(4.12)

Формулу (12) можно привести к виду:

(4.13)

где — коэффициент сопротивления трения (, здесь ).

Расход жидкости через поперечное сечение трубы (фор­мула Пуазейля):

(4.14)

Следует заметить, что полученные выше зависимости, справедливые для стабилизированного ламинарного те­чения, неприменимы для входного участка трубы, где происходит формирование ламинарного потока. Длина входного начального участка ламинарного течения зави­сит от диаметра трубы и числа Рейнольдса и определяется выражением:

.

Для приближенного вычисления потерь на начальном участке можно пользоваться формулой (13), прини­мая .

5. Более сложным случаем ламинарного движения является осевое течение жидкости под действием перепада давлений в кольцевом зазоре, образованном двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями (рис. VIII—19).

Чтобы найти закон распределения скоростей по сече­нию зазора, выделим бесконечно малый кольцевой эле­мент, рассмотрим действующие на него силы и составим уравнение его движения:

.

Обозначая р₁ — р₂ = р и пренебрегая членом , имеющим более высокий порядок малости по сравнению с остальными членами, после несложных преобразований получаем; следующее дифференциальное уравнение: , интегрируя которое (с учетом того, что ), находим:

Постоянные С₁ и С₂ находятся из граничных условий при и при и = 0.

Закон распределения скоростей по поперечному сечению кольцевого за­зора будет следующим:

(4.15)

Произведя далее интегрирование скорости по сечению зазора, получим выражение для расхода жидкости:

(4.16)

При R₁ =0 выражение (16) переходит в формулу Пуазейля для труб круглого поперечного сечения:

6. При решении задачи о плоском ламинарном течении в зазоре между неподвижными параллельными пластин­ками (рис. VIII—10) из рассмотрения равномерного движения выделенного элемента жидкости приходим к следующему дифференциальному уравнению:

,

где — перепад давлений на длине зазора l. Интеграл этого уравнения с учетом граничного условия (равенства нулю скорости на стенках) дает

(4.17)

где b — зазор между пластинками.

 

Закон распределения скоростей по высоте зазора — параболический (в пространстве — параболический ци­линдр), средняя скорость

или

Из последней формулы легко получить выражение для расхода жидкости в зазоре между пластинками

(4.18)

и для потери напора

, (4.19)

где В — ширина зазора.

Формулу (19) можно привести к виду

,

где ; — гидравлический диа­метр ().

Если одна из пластинок перемещается параллельно другой с постоянной скоростью и₀, то течение жидкости в зазоре будет более сложным, представляя собой сумму двух течений: фрикционного, наведенного перемещением верхней пластинки, и напорного, вызванного перепадом давлений р = р ₁ — р₂.

Следовательно, эпюра скоростей представляет сумму отдельных эпюр составляющих дви­жений и имеет вид, показанный на рис. VIII—11. Ее урав­нение (при расположении начала координат в середине зазора)

(4.20)

где — максимальная скорость напорного течения на оси зазора.

Имея функцию , можно легко подсчитать расход через поперечное сечение зазора и силу трения на пластинке.

При перемещении пластинки со скоростью и₀, т. е. в противоположном направлении (рис. VIII—12), закон изменения скоростей по сечению зазора будет иметь вид:

(4.21)

7. Полученным решением можно воспользоваться для определения утечек в зазоре между поршнем и цилиндром, если только зазор b мал по сравнению с диаметром D и если поршень расположен в цилиндре соосно.

При неподвижном поршне имеем по формуле (18) после подстановки

(4.22)

 

а при движущемся с постоянной скоростью

, (4.23)

где знак второго слагаемого зависит от направления движения поршня.

Если поршень расположен в ци­линдре с некоторым эксцентриситетом (рис. VIII —13), то зазор b между ними будет величиной переменной в зависимости от угла , причем при малом зазоре

,

Где ; — эксцентриситет.

Рассматривая приближенно каждый элемент зазора, отвечающий приращению угла , как плоский зазор, получаем следующее значение элементарного расхода:

Интегрируя последнее выражение по всей окружности, находим расход в зазоре:

, (4.24)

где — расход в зазоре при соосном расположении поршня в цилиндре.
Из полученной формулы для Q следует, что при максимальном эксцентриситете, т. е. при ,

Заметим, что при турбулентном режиме расход при наибольшем эксцентриситете возрастает приблизительно в 1,2 раза по сравнению с расходом при концентричном кольцевом зазоре.

8. Рассмотрим течение в клиновом зазоре, вызванное перемещением горизонтальной плоскости относительно поверхности неподвижного башмака, который расположен по отношению к этой плоскости под небольшим углом (рис. VIII—14).

Такой случай имеет место в подшипниках и подпятниках скольжения, и поэтому рассматриваемая ниже задача разъясняет существо процесса, происходящего в смазочном слое.

Пусть угол клина равен и нижняя плоскость движется вправо с постоянной скоростью и₀.

Определим расход жидкости в зазоре и закон распределения давления вдоль клина, предполагая поток плоскопараллельным.

Связывая оси координат с неподвижным башмаком и располагая начало координат на уровне нижней движущейся плоскости, выделим в зазоре бесконечно малый элемент жидкости и составим уравнение его движения. Пренебрегая силами инерции по сравнению с силами давления и трения, получаем:

или .

Так как при заданном направлении осей координат ( при )

, получим .

Дважды интегрируя последнее выражение, находим

Для определения постоянных С₁ и С₂ используем следующие граничные условия:

при у = 0; u=0 при у = b.

В итоге получим

Расход жидкости в зазоре (на единицу его ширины)

 

.

 

Из последнего выражения следует, что расход жидкости через поперечное сечение клина представляет сумму фрикционного расхода и расхода, обусловленного градиентом давления вдоль оси х. При некотором значении координаты х = х_м градиент , и эпюра скоростей в этом сечении клина будет линейной. Для всех координат х < х_м, > 0, и суммарный расход жидкости равен разности расходов фрикционного и напорного течения; этому случаю соответствует левая эпюра ско­ростей.

Для всех координат , и суммарный расход будет равен сумме составляющих расходов; эпюра скоростей в поперечном сечении клина показана на рис. VIII—14 справа.

Полагая далее , получим следующий закон распределения давлений по длине башмака:

(4.25)

 

Кривая распределения давлений показана на рис. VIII —14. Исследуя полученную функцию на экстремум, находим, что максимум давления имеет место при и равен

 

Зная закон распределения давлений, можно вычислить подъемную силу на башмаке и координату, центра давления.

8. Случай течения между параллельными пластинками можно приближенно распространить и на задачу о ра­диальном течении в торцовом зазоре, образованном двумя плоскими дисками (рис. VIII—15). Определим расход жидкости в зазоре, если последний равен b, а избыточное давление подводимой жидкости на внутреннем радиусе r₀ равно р₀.

Применяя для кольцевого элемента бесконечно малой радиальной длины выведенное ранее уравнение тече­ния между параллельными пластинками, учитывая осе­вую симметрию течения и пренебрегая силами инерции по сравнению с силами давления и трения, можем написать , откуда Так как при р = 0, то .

Получили закон распределения давления по радиусу зазора. Так как при р = р₀, то очевидно, откуда искомый расход

(4.26)

Разобранная задача встречается при расчете торцовых уплотнений машин, а также при расчете дисковых фрикционных насосов.

10. При установившемся ламинарном течении в цилиндрической трубе с некруглым поперечным сечением

 

задача сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона при условии равенства нулю скорости на границе потока (частный случай дифференциального уравнения Навье — Стокса);

 

где v — скорость потока, ; р — перепад давле­ния; х, у — координаты в плоскости поперечного сечения потока; — вязкость жидкости; l — длина трубы.

Решение задачи оказывается сложным, поэтому дадим здесь только окончательные формулы определения расхода для трех поперечных сечений (рнс. VIII—16):

а) для трубы эллиптического поперечного сечения:

(4.27)

где а и b — полуоси эллипса;

б) для трубы, имеющей поперечное сечение в форме
равностороннего треугольника со стороной а,

(4.28)

 

в) для трубы прямоугольного поперечного сечения

, (4.29)

где — функция, значения которой даны ниже (2а и 2b — стороны прямоугольника):

a/b		1,2	1,5
f (a/b)	2,25	2,2	2,08	1,83	1,4	0,93	0,5

Для труб некруглого сечения расчет удобно также вести по общей формуле (13): или , где — потеря напора; — коэффициент сопротивления трения; — гидравлический диаметр сечения; у — сред­няя скорость потока; р — потеря давления; — плот­ность жидкости.

Значения для кольцевых и прямоугольных сечений даны ниже в виде произведения :

Кольцевое сечение

 

		103	102				2,5
		74,7	80,1	86,3	98,4	92,3	94,7

Прямоугольное сечение

		89,9	84,7	82,3	78,8	72,9	62,2	56,9

11. Вязкость жидкости изменяется при изменении давления температуры. Эти зависимости выражаются формулами и , где — вязкость при давлении р₀ и температуре ; и — опытные коэффициенты, различные для различ­ных жидкостей.

При одновременном учете влияния давления и тем­пературы

(4.30)

Формула (30) позволяет решать задачи ламинар­ного течения, в которых необходимо учитывать перемен­ность вязкости.

Рассмотрим, например, ламинарное течение жидкости в' зазоре между двумя параллельными пластинками (рис. VIII —17) под действием избыточного давления при начальной температуре . Определим закон измене­ния давления вдоль зазора, а также расход жидкости через него.

Так как при движении жидкости работа сил трения переходит в тепло, то между давлением и температурой жидкости в каждом сечении зазора существует определенная зависимость.

Пусть в некотором сечении х от входа избыточное давление р и температура t. Тогда, считая, что все тепло, выделяемое в результате внутреннего трения, восприни­мается жидкостью и не передается стенкам, можно записать:

где С — удельная теплоемкость; — плотность жидкости. Обозначая через k, получаем:

Подставляя этот результат в формулу (4.30) и учи­тывая, что на выходе давление атмосферное (р₀ = 0), получаем:

или

Выделив элементарный участок зазора длиной dх, можем записать по формуле (4.19)

где Q — расход жидкости; В — ширина зазора; b — вы­сота зазора.

Разделяя переменные

после интегрирования и несложных преобразований полу­чаем следующий закон распределения давления по длине зазора (см. эпюру давлений на рис. VIII—17):

 

и расход

 

Введем обозначение , где — расход через зазор, вычисленный в предполо­жении .

Таким образом, окончательно получим:

(4.31)

 

Вопросы для самопроверки.

 

1. Укажите закон распределения касательных напряжений при ламинарном движении.

2. Изобразите закон распределения касательных напряжений и эпюру скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.

3. Каково соотношение максимальной и средней скоростями при ламинарном течении?

4. Чему равно значение коэффициента Кориолиса при ламинарном движении?

5. От каких параметров зависят потери на трение?

6. В чем состоят особенности движения жидкости на начальном участке ламинарного течения? Как определить длину этого участка и потере в нем?

7.Каковы особенности движения жидкости в плоских и цилиндрических зазорах?